Download
1 / 16
E N D
Osiyoxalqarouniversiteti SM8-KT23 guruhtalabasiashrapovshahbozningmatematikanalizfanidanmustaqilishi Mavzu: Segmentda funksiyaning eng kata va eng kichik qiymatini izlash.
Segmentdagifunksiyaningengkattavaengkichikqiymatinitopish Funktsiyagaruxsatbering y =f(X) segmentidauzluksiz [ a, b]. Ma'lumki, ushbusegmentdagibundayfunktsiyaengkattavaengkichikqiymatlargaetadi. Funktsiyaushbuqiymatlarnisegmentningichkinuqtasida ham qabulqilishimumkin [ a, b] yoki segment chegarasida. Segmentdagifunksiyaningengkattavaengkichikqiymatlarinitopishuchun [ a, b] zarur: 1) oraliqdagifunksiyaningkritiknuqtalarini toping ( a, b); 2) topilgankritiknuqtalardafunksiyaqiymatlarinihisoblash; 3) segment oxiridagifunktsiyaqiymatlarinihisoblang, ya'niuchun x=a va x = b; 4) funksiyaningbarchahisoblanganqiymatlaridanengkattasinivaengkichiginitanlang.
Misol. Engkattavaengkichikfunksiyaqiymatlarini toping segmentida. Muhimnuqtalarni toping: Bu nuqtalarchiziqsegmentiningichidayotadi; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1; nuqtada x= 3 vanuqtada x= 0. Qavariqlikvaburilishnuqtasiuchunfunktsiyanitekshirish. Funktsiya y = f (x) chaqirdiyuqorigaqavariqorasida (a, b) uninggrafigishuintervalningistalgannuqtasidachizilgantangensostidayotsavadeyiladiqavariqpastga (botiq) agar uninggrafigitangenschiziqdanyuqoridajoylashganbo'lsa. Qavariqliko'rninibotiqlikbilanalmashtiradiganyokiaksinchanuqtadeyiladi. Qavariqvaburilishnuqtasinio'rganishalgoritmi: 1. Ikkinchiturdagikritiknuqtalarni, ya’niikkinchihosilanolgatengbo‘lganyokimavjudbo‘lmagannuqtalarni toping. 2. Raqamlarchizig‘igakritiknuqtalarnioraliqlargaajratganholdachizing. Harbiroraliqdaikkinchihosilaningbelgisini toping; bo'lsa, u holdafunktsiyayuqorigaqavariqbo'ladi, agar, u holdafunksiyapastgaqavariqbo'ladi. 3. Agar ikkinchiturdagikritiknuqtadano`tayotgandaishorasio`zgarsavabunuqtadaikkinchihosilanolgatengbo`lsa, bunuqtaburilishnuqtasiningabscissasidir. Uningordinatasini toping.
Funksiya grafigining asimptotalari. Asimptotlar uchun funksiyani tekshirish. Ta'rif. Funksiya grafigining asimptotasi deyiladi Streyt, bu xususiyatga ega bo'lib, grafikning istalgan nuqtasidan ushbu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa grafik nuqtasining boshlang'ich nuqtasidan cheksiz masofada nolga intiladi.
Asimptotlarning uch turi mavjud: vertikal, gorizontal va eğimli. Ta'rif. To'g'ri chiziq deyiladi vertikal asimptota funktsiya grafikasi y = f (x) bu nuqtada funksiyaning bir tomonlama chegaralaridan hech bo'lmaganda bittasi cheksizlikka teng bo'lsa, ya'ni bu yerda funksiyaning uzilish nuqtasi, ya’ni aniqlanish sohasiga tegishli emas. Misol. D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞) x= 2 - uzilish nuqtasi. Ta'rif. Streyt y =A chaqirdi gorizontal asimptota funktsiya grafikasi y = f (x) da, agar Misol.
Ta'rif. Streyt y =kx +b (k≠ 0) chaqiriladi qiya asimptota funktsiya grafikasi y = f (x) da, qayerda Funktsiyaning eng katta qiymati bu har qanday uchun tengsizlik haqiqatdir. Eng kichik funktsiya qiymati X oraliqdagi y = f (x) bunday qiymat deyiladi har qanday uchun tengsizlik haqiqatdir. Ushbu ta'riflar intuitivdir: funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati abscissada ko'rib chiqilgan intervaldagi eng katta (eng kichik) qabul qilingan qiymatdir.
StatsionarnuqtalarFunktsiyahosilasiyo'qolganargumentningqiymatlari.StatsionarnuqtalarFunktsiyahosilasiyo'qolganargumentningqiymatlari. Engkattavaengkichikqiymatlarnitopishdabizgastatsionarnuqtalarnimauchunkerak? Bu savolgaFermateoremasijavobberadi. Bu teoremadankelibchiqadiki, agar differensiallanuvchifunksiyaqaysidirnuqtadaekstremumga (lokal minimum yokimahalliymaksimal) egabo‘lsa, bunuqtastatsionarbo‘ladi. Shundayqilib, funktsiyako'pincha X oralig'idao'ziningengkatta (engkichik) qiymatiniushbuintervaldanstatsionarnuqtalardanbiridaoladi. Bundantashqari, funktsiyako'pinchabufunktsiyaningbirinchihosilasimavjudbo'lmaganvafunktsiyaningo'zianiqlangannuqtalardaengkattavaengkichikqiymatniolishimumkin. Keling, darholushbumavzubo'yichaengkengtarqalgansavollardanbirigajavobberaylik: "Funksiyaningengkatta (engkichik) qiymatinianiqlashhardoimmumkinmi?" Yo'qhardoimemas. Ba'zan X oraliqchegaralarifunksiyaninganiqlanishsohasichegaralarigato'g'rikeladiyoki X oralig'icheksizdir. Cheksizlikdavaaniqlanishsohasichegaralaridaba'zifunktsiyalarcheksizkattavacheksizkichikqiymatlarniolishimumkin. Bundayhollardafunktsiyaningengyuqorivaengkichik qiymati haqidahechnarsaaytishmumkinemas.
Segmentda Birinchi rasmda funksiya segment ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi [-6; 6]. Ikkinchi rasmda ko'rsatilgan ishni ko'rib chiqing. Segmentni ga o'zgartiring. Ushbu misolda funktsiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada, eng kattasi esa intervalning o'ng chegarasiga to'g'ri keladigan abtsissali nuqtada erishiladi. 3-rasmda [-3; 2] segmentining chegara nuqtalari funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlariga mos keladigan nuqtalarning abstsissalaridir.
Ochiq intervalda To'rtinchi rasmda funktsiya ochiq intervalda (-6; 6) joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi. Intervalda eng katta qiymat haqida xulosa chiqarish mumkin emas.
Cheksizlikda Yettinchi rasmda ko'rsatilgan misolda funksiya abscissa x = 1 bo'lgan statsionar nuqtada eng katta qiymatni (max y) oladi va eng kichik qiymatga (min y) intervalning o'ng chegarasida erishiladi. Minus cheksizlikda funktsiyaning qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi. Intervalda funktsiya eng kichik yoki eng katta qiymatga etib bormaydi. O'ng tomonda x = 2 ga moyil bo'lganda, funktsiyaning qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi (x = 2 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir) va abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lganda, funktsiya qiymatlari y = 3 ga asimptotik yondashuv. Ushbu misolning grafik tasviri 8-rasmda ko'rsatilgan.
Segmentdagiuzluksizfunksiyaningengkattavaengkichikqiymatlarinitopishalgoritmi.Segmentdagiuzluksizfunksiyaningengkattavaengkichikqiymatlarinitopishalgoritmi. Segmentdagifunksiyaningengkattavaengkichikqiymatinitopishimkoniniberuvchialgoritmyozamiz. Funktsiyaningdomenini toping vauningbutunsegmentnio'zichigaolganliginitekshiring. Biz birinchihosilamavjudbo'lmaganvasegmentdajoylashganbarchanuqtalarnitopamiz (odatdabundaynuqtalarmodulbelgisiostidaargumentlifunktsiyalardavakasrratsionalko'rsatkichliquvvatfunktsiyalaridatopiladi). Agar bundaynuqtalarbo'lmasa, keyingibandgao'ting. Segmentgakiradiganbarchastatsionarnuqtalarnianiqlang. Buninguchun biz uninolgatenglashtiramiz, hosilbo'lgantenglamaniyechib, tegishliildizlarnitanlaymiz. Agar statsionarnuqtalarbo'lmasayokiularninghechbirisegmentgatushmasa, keyingielementgao'ting. Funktsiyaningqiymatlarinitanlanganstatsionarnuqtalarda (agar mavjudbo'lsa), birinchihosilamavjudbo'lmagannuqtalarda (agar mavjudbo'lsa), shuningdek x = a va x = b uchunhisoblaymiz. Funktsiyaningolinganqiymatlaridan biz engkattavaengkichiknitanlaymiz - ularmosravishdafunktsiyaningkerakliengkattavaengkichikqiymatlaribo'ladi.
Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish misolini yechishda algoritmni tahlil qilaylik. Misol. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping segment bo'yicha; segmentida [-4; -1]. Yechim. Funksiyaning sohasi noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plamidir, ya'ni. Ikkala segment ham ta'rif sohasiga to'g'ri keladi. Funktsiyaning hosilasini toping:
Shubhasiz, funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida va [-4; -1] mavjud. Statsionar nuqtalar tenglamadan aniqlanadi. Yagona haqiqiy ildiz - x = 2. Bu statsionar nuqta birinchi segmentga tushadi. Birinchi holda, biz segmentning uchlarida va statsionar nuqtada, ya'ni x = 1, x = 2 va x = 4 uchun funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz:
Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati x = 1 va eng kichik qiymatda erishiladi - x = 2 uchun. Ikkinchi holda, biz funktsiya qiymatlarini faqat segmentning uchlarida hisoblaymiz [-4; -1] (chunki u bitta statsionar nuqtani o'z ichiga olmaydi):
