Cap. 3 Il piano Cartesiano

1. Cap. 3 Il piano Cartesiano

2. Retta e punto • Consideriamo una retta r e un punto P su di essa • Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti • Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dall’operazione svolta)

3. Semiretta Si definisce semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto

4. Semiretta orientata Una semiretta si dice orientata se su di essa è stato fissato un verso positivo Verso positivo O r Semiretta orientata

5. Semiretta orientata e graduata • Graduare una semiretta orientata significa far corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore • Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente semplice • Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere dei numeri a caso • Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura (AC =1) • Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C assegno il valore 1

6. Si dice che il punto C è l’immagine di 1 • Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun punto della semiretta un valore ripetendo consecutivamente l’unità di misura • Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà l’immagine di 2 • 3 volte il punto 3 e così via

7. Corrispondenza biunivoca • La corrispondenza biunivoca è una relazione che fa corrispondere a ciascun elemento di un’insieme A (es. i punti di una semiretta) un elemento dell’insieme B (es. i numeri reali) e viceversa (a ciascun elemento dell’insieme B corrisponde un solo elemento dell’insieme A)

8. Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti della semiretta ed il loro valore

9. A ciascun punto della semiretta corrisponde un numero reale e ogni numero reale ha la sua immagine in un punto della semiretta

10. Come ottenere la stessa cosa sul piano • Per ottenere una corrispondenza biunivoca fra punti delle retta ed il loro valore è bastata una retta orientata • Come possiamo fare la stessa cosa su di un piano? • Può bastare una sola retta? • Pensate a quante dimensioni ha un piano e a quante ne ha una retta

11. Il piano cartesiano • In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi • Prendiamo in considerazione un piano a e due semirette orientate e graduate aventi un origine in comune e perpendicolari fra loro • Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo di 90° • Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale • Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy • Se le semirette sono graduate significa che è stata fissata un’unità di misura generalmente (ma non necessariamente) identica per i due assi y x o

12. Si dice asse delle ascisse l’asse x Si dice asse delle ordinate l’asse y Ma a cosa serve tutto questo? Consideriamo un punto P del piano Dal punto P tracciamo la retta verticale r Questa incontra l’asse x nel punto E r E è l’immagine di 2 e prende il nome di ascissa del punto P Asse delle ordinate Come si vede hanno questo valore tutti i punti della retta r perciò il punto P non può essere individuato solo da questo valore Asse delle scisse

13. Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me interessa cioè P • Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s) • Essa incontra l’asse y nel punto F Il punto F è l’immagine di 2 sull’asse delle ascisse e prende il nome di ordinata del punto P A questo punto il gioco è fatto, il punto P risulta determinato senza equivoci dai due numeri di cui E ed F costituiscono l’immagine E ed F prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P e si scrive P (E;F) oppure P(2;2) r Per convenzione si mette prima il valore dell’ascissa e poi quello dell’ordinata

14. Una nuova corrispondenza biunivoca • Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e una coppia di coordinate cartesiane Ad ogni punto del piano sorrisponde una sola coppia di coordinate ad ogni coppia di coordinate corrisponde un solo punto del piano

15. … ma anche gli assi hanno le loro coordinate • Consideriamo il punto G • Anch’esso fa parte del piano perciò avrà la sua coppia di coordinate • L’ascissa è 1 • Ripetiamo il procedimento precedente, se tracciamo la retta orizzontale passante per G troviamo il punto O di coordinate (0;0) come si conviene ad un punto che costituisce l’origine degli assi Questo ci porta alla conclusione che tutti i punti situati sull’asse delle ascisse (asse x) avranno l’ordinata 0 Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per convenzione si mette prima l’ascissa e poi l’ordinata-

16. Consideriamo ora il punto H • Trovandosi sull’asse y avrà come ascissa la stessa del punto cioè 0 • Tutti i punti che si trovano sull’ordinata hanno per ascissa il valore 0 • Le coordinate del punto H saranno H(0;4)

17. Trovare i punti conoscendo le coordinate • trovare il punto P (4;2) • Dal punto di ascissa 4 (asse x) traccio una retta verticale • Dal punto di ordinata 2 (asse y) traccio una retta orizzontale • Vedo che si incontrano in un punto • Quello è il punto P cercato • Punto Q (3;5)