Producto Cartesiano

1. Producto Cartesiano

2. Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz Definición Dados los conjuntos A, BU, el producto cartesiano o cruz de A, B se define por A B y es igual a Se dice que los elementos de AB son pares ordenados. Para (a, b), (c, d) A B, se tiene que (a, b) = (c, d) si y sólo si, a = c y b = d.

3. Si A, B son finitos, por la regla del producto resulta que A B = . Aunque, en general, no es cierto que A B = B A, se tendrá que . Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz Además aunque A, B U, no es necesario que A B  U, de modo que U no es necesariamente cerrado en esta operación.

4. EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces, a) A B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}. b) B A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}. c) B2=B B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} d) B3=B B B = ; (4, 5, 5)B3. Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz

5. Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz EJEMPLO Si U =R, R R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+R+es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes.

6. Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un solo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E. Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1M2 es un espacio muestral para E.

7. Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol.

8. Capítulo 4. Relaciones 4.1 Producto Cartesiano o Cruz EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro.

9. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición 3.2 Dados los conjuntos A, BU, cualquier subconjunto de AB se denomina relación de A a B. A cualquier subconjunto de AA se denomina relación binaria.

10. Como = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. las siguientes son relaciones de A a B. a)b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)} d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} f)AB.

11. En general, para conjuntos finitos A, B donde = m y . = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación AB. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones

12. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Sea B = {1, 2} N, U = P(B) y A = U ={, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}. Se puede decir que la relación R es una relación de subconjunto donde (C, D)R si y sólo si C, DB y CD.

13. EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos, Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Se observa que (7,7),(7,11)R, y (8,2)R, (7,11)R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

14. EJEMPLO Cuando el compilador Pascal traduce un programa fuente del programa objeto a lenguaje de máquina, éste elabora una tabla de símbolos que contiene los siguientes conjuntos: 1.- S: el conjunto de nombres simbólicos, como variables, constantes y tipos. 2.- A: el conjunto de posibles atributos para los elementos de S, como entero, real, Booleano, carácter. 3.- L: el conjunto de posiciones, o direcciones de la memoria donde se almacenan los elementos de S. La información de la tabla proporciona relaciones de S a A y de S a L.

15. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Para cualquier conjunto AU , A = . (Si A, sea (a, b) A. Entonces, aA y b , lo cual es imposible). Así mismo  A = . El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.

16. Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U. a) b) c) d) Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones

17. Demostración Se demuestra el teorema a) y se deja el resto como ejercicio. • Para cualquier a, b U, (a, b)  • a A y b  • aA y bB, bC • aA, bB, y aA, bC • (a, b) A B y (a, b) AC • (a, b)  (AB)  ( AC).  = (AB)  ( AC)

18. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Una relación R en un conjunto A se denomina reflexiva si para todo xA, (x, x)  R . Se dice que R es reflexiva si cada elemento x de A está relacionado consigo mismo EJEMPLO Para A = {1, 2, 3, 4}, una relación RAA será reflexiva si R{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Por tanto, R1={(1,1), (2,2), (3,3)} no es una relación reflexiva en A, mientras que R2= si es reflexiva en A.

19. EJEMPLO Dado un conjunto finito A con =n, resulta que = n2, de modo que hay relaciones en A. Cuántas son reflexivas?. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones

20. Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si . R . Al considerar los otros n2–n pares ordenados de AA (los de la forma , 1 i, jn, ij) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, y por la regla del producto, hay relaciones reflexivas en A. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones

21. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición La relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) R (y, x) R para x, yA. EJEMPLO Con A = {1, 2, 3}, se tiene que: a)R1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} es simétrica, no reflexiva; b)R2={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}es reflexiva, no simétrica; c)R3={(1,1),(2,2),(3,3)};R4={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} son reflexivas y simétricas.

22. Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an}, se escribe AA como A1A2, donde A1= y A2= de modo que cada par en AA está exactamente en uno de los conjuntos A1,A2. Para A2, . = – = n2–n=n(n–1), un entero par. El conjunto A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1ijn. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por la regla del producto, hay = relaciones simétricas en A. Al contar las relaciones en A que son reflexivas y simétricas, se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A1. De modo que hay , relaciones en A que son reflexivas y simétricas.

23. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Para un conjunto A, una relación R en A se llama transitiva si (x, y), (y, z) R (x, z) R. (De modo que si x “está relacionado con” y e y “está relacionado con” z, se desea “relacionar” x con z, representando y el papel de “intermediario”.)

24. EJEMPLO Defínase la relación R en el conjunto Z+ por a R b si a divide b, por ejemplo, para alguna cZ+, b = ca. Ahora si xRy e yRz, resulta xRz?. xRy y = sx, sZ+; yRzz= ty, tZ+. En consecuencia, z= ty = t(sx) = (ts)x, tsZ+, de modo que xRz y R es transitiva. Además R es reflexiva, pero no simétrica, puesto que 2R6, pero 6R2. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4}, entonces R1={(1,1), (2,3),(3,4),(2,4)} es una relación transitiva en A, mientras que R2={(1,3),(3,2)} no lo es, pues (1,2) R2.

25. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Dada una relación R en un conjunto A, R se denomina antisimétrica si aRb, bRaa = b. (En este caso, la única manera de tener a a “relacionado con” b y a b “relacionado con” a es que a y b sean uno y el mismo elemento de A).

26. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Para un universo dado U defínase la relación R en P(U) por (A, B)R si AB, para A, BU; de modo que R es la relación de subconjunto y si ARB y BRA, entonces se tiene AB, BA, lo que equivale a A = B. En consecuencia, esta relación es antisimétrica, además de reflexiva y transitiva, pero no simétrica. Antes de cometer el error de pensar que “no simétrica” es sinónimo de “antisimétrica”, téngase en cuenta lo siguiente.

27. ¿Cuántas relaciones son antisimétricas en A? Al escribir ={(1,1),(2,2),(3,3)}  {(1,2),(2,1),(1,3), (3,1),(2,3),(3,2)}. Se hacen dos observaciones al intentar construir una relación R antisimétrica en A. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones EJEMPLO Para A ={1, 2, 3}, la relación R en A dada por R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3)} no es simétrica porque (3, 2) R, y tampoco es antisimétrica, pues (1,2), (2,1) R pero 1  2. La relación R1={(1, 1), (2, 2)}es simétrica y antisimétrica.

28. Cualquier elemento (x, x)  puede incluirse o excluirse sin importar si R es o no antisimétrica. • 2. Para un elemento de la forma (x, y), xy, se deben tener en cuenta (x,y) e (y,x) y nótese que hay tres opciones para que R permanezca antisimétrica: a) situar (x, y) en R; b) situar (y, x) en R; c) no situar (x, y) ni (y, x) en R. (Qué sucede si se sitúan (x, y) e (y, x) en R?) Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones

29. De esta manera por la regla del producto, el número de relaciones antisimétricas en A es (23)(33) = (23)( ). Si = n 0, entonces hay relaciones antisimétricas en A. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones

30. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición La relación R en un conjunto A se denomina orden parcial o relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. EJEMPLO la relación de subconjunto es un orden parcial.

31. EJEMPLO Sea nZ+. Para x, yZ, se define la relaciónRde módulon por medio de xRy si y sólo si, x – y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) R pero 3 R 7. Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Definición Una relación de equivalenciaR en un conjunto A es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

32. Para cualquier conjunto A, es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R = . Capítulo 4. Relaciones 4.2 Relaciones Si R es una relación en un conjunto A, entonces R es una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A.

33. Relaciones de Orden

34. N +, * 1+2, 2*3 x + 5 = 2 Z +, *,  Q +, *, , / 2x + 3 = 4 R +, *, , / ,± x2 – 2 = 0 C +, *, , / , x2 + 1 = 0 Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden A medida que se aumenta desde N hasta C se adquiere mayor capacidad para resolver ecuaciones polinomiales, aunque al pasar de R a C se pierde algo.

35. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden En R, dados los números r1, r2 con r1r2, siempre es posible decir si r1r2 o r2r1. No obstante en C, (2+i) (1+2i). Se ha perdido la capacidad de “ordenar” los elementos del sistema numérico.

36. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado.

37. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por xRy, si , es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.

38. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Para construir una casa hay ciertos trabajos, como excavar los cimientos, que deben realizarse antes de poder comenzar otras fases de la construcción . Si A es un conjunto de tareas que deben realizarse para construir una casa o completar un proceso especial de fabricación, se puede definir una relación R en A por xRy si x e y denotan la misma tarea o si la tarea x debe realizarse antes de comenzar la y. De esta manera se asigna un orden a los elementos de A, convirtiéndolo en un conjunto parcialmente ordenado.

39. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por xRy si xy, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2, 4} A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.

40. En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, se dice que A está totalmente ordenado si para toda x, yA se cumple xRy o yRx. En este caso R se denomina orden total.

41. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO En el conjunto N,la relación R definida por xRy si xy es un orden total. La relación de subconjunto aplicada a A = P(U), U = {1, 2, 3} es un orden parcial, pero no total: {1, 2}, {1, 3}A, pero ni {1, 2}  {1, 3} ni {1, 3}  {1, 2}.

42. Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento xA se llama maximal de A si para toda aA, axxRa . Un elemento yA se denomina minimal de A si cuando bA y b y, entonces bRy. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden

43. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U). Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que  es minimal para este conjunto parcialmente ordenado. Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que  es el único elemento minimal.

44. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Con la relación R “es menor o igual que” en el conjunto Z, (Z, ) es un conjunto parcialmente ordenado sin elemento maximal ni minimal. No obstante el conjunto parcialmente ordenado sin elemento maximal ni minimal. No obstante, el conjunto parcialmente ordenado (N, ) tiene elemento minimal 0, pero no maximal.

45. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal y minimal. Demostración Sea a1A. Si no hay elemento aA, aa1 con a1Ra , entonces a1 es maximal. De no ser así, hay un elemento a2A , a2a1, con a1Ra2.

46. Si ningún elemento aA, aa2 , cumple a2Ra, entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede encontrar a3A, a3a2 , a3a1 (¿por qué?) con a1Ra2 y a2Ra3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza un elemento anA con anRa para cualquier aanA, de modo que an es maximal. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden

47. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento xA se denomina elemento mínimo si xRa, para todo aA. El elemento yA se denomina máximo si aRy para toda aA.

48. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto. a) Con A = P(U), (A, ) tiene a  como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.

49. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. ¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?

50. Capítulo 4. Relaciones 4.3 Relaciones de Orden Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único. Demostración Supóngase que x, yA y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yRx. Así mismo, xRy, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y.