1 / 54

Konsep Dasar Probabilitas

Konsep Dasar Probabilitas. 1. Eksperimen Probabilitas , Ruang Sampel , Peristiwa Ekperimen probabilitas (probability experiment ) adalah segala kegiatan di mana suatu hasil / keluaran (outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran (measurement) diperoleh .

yael
Download Presentation

Konsep Dasar Probabilitas

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. KonsepDasarProbabilitas 1. EksperimenProbabilitas, RuangSampel, Peristiwa Ekperimenprobabilitas (probability experiment) adalahsegalakegiatan di manasuatuhasil/keluaran(outcome), tanggapan (response) ataupunukuran (measurement)diperoleh. Himpunanyang memuatseluruhkemungkinanhasil, tanggapan, ataupunukurandarieksperimentersebutdisebutruangsampel (sample space) yang biasanyadinotasikandengan S. Sedangkansebuahperistiwa/kejadian (event) didefinisikansebagaisegalahimpunanbagiandarihasil, tanggapan, ataupunukurandalamsuaturuangsample. Pengertiandi atasseringdiilustrasikandenganmenggunakanbantuandiagram venn.

  2. Contoh: Jikakitamemeriksa 3 buahsikringsatupersatusecaraberurutandanmencatatkondisisikringtersebutdenganmemberinotasi B untuksikring yang baikdan P untuksikring yang putus, makaruang sample padaeksperimenprobabilitaspemeriksaantersebutadalahS = { BBB,BBP,BPB,PBB,BPP,PBP,PPB,PPP}. JikaA peristiwadimanadiperolehsatubuahsikring yang rusak, maka A ={BBP,BPB,PBB}.

  3. Dagramvennprobabilitas:

  4. 2. DefinisiProbabilitas Probabilitasadalahsebuahbilangan yang terletakdiantara 0 dan 1 yang berkaitandengansuatuperistiwaituadalah 1 danjikaperistiwaitumustahilterjadi, makaprobabilitasnyaadalah 0. Adatigadefinisiberbedamengenaiprobabilitas yang seringdigunakan, masing – masingcocokditerapkanpadajenis-jenispenerapantertentu.

  5. 2.1. DefinisiKlasik JikasebuahperistiwaA dapatterjadidengancaradarisejumlah total N cara yang Mutually Exclusive danmemilikikesempatansamauntukterjadi, makaprobabilitasterjadiperistiwa A dinotasikandengan P(A)dandidefinisikansebagai: : Sedangkanprobabilitastidakterjadisuatuperistiwa A komplemen A (seringdisebuatkegagalan A) dinyatakansebagai:

  6. Contoh, Definisiklasikcocokdigunakanmisalnyapadapermainantebakan/undian (games of chance).Misalnyadalamsatu set kartu bridge yang terdiri 52 kartutedapat 4 buahkartu As, makaprobabilitaspengambilansatukartumendapatkankartu As adalah ; P(As)=4/52=1/13=0,077

  7. 2.2. DefinisiFrekuensiRelatif Seandainyapadasebuah experiment yang dilakukansebanyak N kali terjadikejadian A sebanyakfAkali, makajikaeksperimentersebutdilakukanterhingga kali banyaknya(N mendekatitakhingga),nilai limit darifrekuensirelatiffA/Ndidefinisikansebagaiprobabilitaskejadian A atauP(A). Definisiinimungkinadalahdefinisi yang paling populer. Definisiinimemungkinkanuntukditerapkanpadabanyakmasalah-masalahpraktisdimanadefinisiklasiktidakbisadipakai.

  8. Contoh, • Probabilitasmendapatkansebuah motor barumerek "X” yang cacatsaatseseorangmembelinyamungkinsulitdiketahuidenganmenggunakandefinisiklasikprobabilitas. Secarateoritisprobabilitastersebutdapatditentukanjikadapatdiketahuijumlahseluruh (populasi)produk motor baru “X”danjumlahnya yang cacat. • Jikamemakaidefinisifrekuensirelative, makaperludilakukanpemeriksananterhadap sample motor “X” sebanyakmungkin (menujutakhingganamunkarenasaatsulitmengkajijumlah yang takterhinggabanyaknya. Makadapatdigunakanjumlah sample yang memadaidancukupekonomisuntukmenentukan relative tersebut)

  9. 2.3. DefinisiSubjektif (Intuitif) Dalamkasusini, probabilitas P(A) dariterjadinyaperistiwa A adalahsebuahukurandari “derajatkeyakinan”yangdimilikiseseorangterhadapterjadinyaperistiwaA. Definisiinimerupakandefinisi yang paling luasdigunakandandiperlukanjikasulitdiketahuibesarnyaruangsampelmaupunjumlahperistiwa yang dikajimaupunjikasulitdilakukanpengambilansampel (sampling) padapopulasi

  10. Contoh, Suatustrategimemilihsalahsatudiantaradua alternative yang masing-masingmemberikanaktibatberbeda, yaitumenjatuhkanbomkedaerahmusuh. Karenamasing-masing alternative itutidakbisadiujicobasecaraeksperimenuntukmengetahuibagaimanamusuhakanmemberikanreaksi, makakitaharuspercayapada “penilaiandariahli (expert judgement)” untukmenentukanprobabilitasdariakibat yang akanmuncul. Situasi yang samaterjadi pula misalnyadalammeramalkansiapa yang akanmenjuaraisuatuturnamensepakbola. Dalamhalini, interpretasiklasikdanfrekuensidariprobabilitastidakakanbanyakgunanya,dansuatupenilaian yang subjektifdaripengamatansepak bola yang handallebihdiperlukan.

  11. ProbabilitasPeristiwaMajemuk 1. Definisi Definisiprobabilitas yang dibahaspadabagianterdahulumerupakandefinisiuntukperistiwasederhana (simple event). Peristiwamajemuk (compound event) adalahperistiwa yang merupakangabungan/kombinasiduaataulebihperistiwasederhana(simple event).

  12. 2. ProbabilitasBersyarat Probabilitasbersyarat (conditional probability) adalahprobabilitasdarisebuahperistiwa yang akanterjadijikasebuahperistiwalainnyatelahterjadi. Dari Gambardibawah, dapatdimengertibahwadengandiketahuiterlebihdahuluberlangsungnyaperistiwaB, makaterjadiperubahan (pengaruh )padaruangsampel yang perludipertimbangkanuntukmenentukkanprobabilitasperistiwaA.

  13. Contoh, • Sebuahperusahaanpembuat personal computer melengkapiprodukterbarudengan program-program siappakai. Jikadihitungdarijumlahseluruhprodukterbaruitu, 60% dilengkapidengan Word Processor, 40% dilengkapidengan program spreadsheet, dan 30% dilengkapidengankedua program siappakaitersebut.Misalkanseseorangmembeli computer buatanperusahaantersebutdandidefinisikan A={computer yang dilengkapidengan program word processor} dan B = {computer yang dilengkapidengan program spread sheet}.MakaP(A)= 0,6 P(B) = 0,4 danP(A  B) = 0,3. Jikacomputer yang dibeliolehorangtersebuttelahdilengkapidengan program spread sheet, makaprobabilitas computer itujugadilengkapidengan program word processor adalahprobabilitasbersyarat P(A/B): • Dengankata lain, dariseluruh computer yang dilengkapidengan program spread sheet, 75%-nyadilengkapi pula dengan program word processor. Hal inidapatditunjukkandengandiadgramvennpadaGambar,

  14. 3. PeristiwaSalingBebasdanTidakSalingBebas Duaperistiwa A dan B dikatakansalingbebas (independent) apabilaterjadinyaperistiwa A tidakmempengaruhiprobabilitasterjadinyaperistiwa B. Sebaliknya,jikaterjadinyaperistiwa A mempengaruhiprobabilitasterjadinyaperistiwa B disebutperistiwatidaksalingbebas (dependent). Peristiwabersyaratmerupakancontohdariperistiwa yang tidaksalingbebas. JikaperistiwaA dan B salingbebas, makaberlaku: P(AB) = P(A) danjuga P(BA) = P(B)

  15. 4.Peristiwa Mutually Exclusive (SalingMeniadakan) PeristiwaA dan B adalah mutually exclusive(disjoin events) jikaterjadinyasalahsatuperistiwatersebutdalamsebuaheksperimenprobabilitasmencegahterjadinyaperistiwa yang lainnyaselamaberlangsungnyaeksperimenprobabilitas yang sama. Dengankata lain, peristiwa A dan B tidakmungkinterjadisecarabersamaan.Sebaliknya, jikaperistiwaA danB dapatterjadisecarabersamaandalamsebuaheksperimenprobabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusive. JikaperistiwaA dan B adalahmutullyexclusuive, makaberlaku : P(A dan B) = P(AB) = 0 artinyajuga P(AB) = 0; P(BA) = 0

  16. Diagram venndariperistiwamutully exclusive dantidak mutually exclusive ditunjukkanolehgambar,

  17. 5. Hukum-hukumProbabilitasPeristiwaMajemuk Berikutakandijelaskanduahukumprobabilitas yang bergunadalammenanganiperistiwamajemuk. Hukum –hukuminiberlakupadabanyaksituasipraktisbidangperencanaanteknik (engineering design).

  18. 5.1. HukumPerkalian (multiplication Law) a. PeristiwaSalingBebas (Independent Event) hukumperkalianmenyatakanjika A,B,C...adalahperistiwa peristiwayang salingbebas (independent event), maka probabilitasbahwaseluruhperistiwaituterjadi ,ataudisebut pula probabilitasgabungan (joint probabilitas)P(ABC…), adalah produk(perkalian )dariprobabilitasmasing-masingperistiwa. P(A dan B dan C dan…) = P(ABC….) =P(A).P(B).P(C)… Notasimatematisumumnyaadalah:

  19. Dalamaplikasidibidangteknik, hukumperkalianinimemberikandasarmatematisuntukkonsepintutifdalammeningkatkanreliabilitasdesainmelaluipenggunaandesainlebih. Desainlebihbiasanyadipakaipadasatuataulebihalat (deveces) cadangan yang memungkinkanoperasi system terusberjalanketikaterjadikegagalanpadasebuahalat.

  20. Contoh • Diketahuibahwa 30% mesincucibuatanpabrik X memerlukanperbaikan (service) selagimasihdalammasagaransi, sementarahanya10% mesinpengeringbuatanpabrik yang sama yang membutuhkanperbaikan. Jikaseseorangmembelisatu set yang terdiridarisatumesincucidansatumesinpengering, probabilitaskeduamesintersebutmemerlukanperbaikanselamamasihdalammasagaransidapatditentukandenganhukumperkalian. Misalkan C adalahperistiwamesincucimemerlukanperbaikandan K adalahperistiwamesinpengeringmemerlukanperbaikan. MakaP(C) = 0,3 danP(K) = 0,1. Denganasumsibahwamesincucidanmesinpengeringberfungsisecaraterpisah (salingbebas) satusamalainnya, makaprobabilitaskeduanyamemerlukanperbaikanselamamasagaransiadalah:

  21. Prinsipdasarperancanganlebih (excessive design) bertujuanmeningkatkan reliability desainterutamauntukbagian – bagiankritis.Sebagaicontohuntukmenghubungkansumberlistrikdibagiandepansebuahpesawatmiliterperalatan-peralatanyang menggunakanlistrikdibagianbelakang,digunakanlebihdarisatukabel (misal3 kabel) secara parallel, yang masing-masingdenganjalur yang berbedamelaluirangkapesawat(fuselage). Jadijikatembakanmusuhmemutuskansebuahkabel, keduakabelnyatetapbekerja.Seandainyaprobabilitassebuahkabelterputusolehtembakanmusuhadalah 0,01 untuksetiapsatujam tempur, makadengancaramerancanglebihperkabelanmenjaditigapasang, probabilitasputusnyahubungantenagalistrikdalamsatu jam tempurdipesawatitusangatjauhberkurangkarenaprobabilitasdariputusnyaketigakabelakanmenjadi : • Desainlebihtentusajameningkatanbiayaperalatandanmenyebabkankekurangandarisisi lain( misalnyabertambahnyaberatpesawat). Jadikeuntungan yang diperolehharusmelebihibiaya/kekurangan yang terjadisehinggacukupberalasanuntukditerapkan.

  22. b. peristiwatidaksalingbebas (deevenst) hukumperkalianuntukduaperistiwa A dan B yang tidaksalingbebasdapatdinyatakansebagaiberikut : P(A dan B) = P(A  B) = P(AB) . P(B) = P(BA) . P(A) Di mana : P(AB)= Probabilitasbersyaratterjadiperistiwa A setelahB terjadi P(BA) = Probabilitasbersyaratterjadiperistiwa B setelah A terjadi

  23. Contoh • Dari gejala yang ditunjukanpada computer yang akandiperbaiki. Seorangahliperangkatkeras computer memastikanbahwakerusakan yang disebabkanolehhanyasaluransatudarikeempatblokrangkaianpadamainboardnya. Untukitudiaberencanamemeriksasatupersatukeempatbloktersebut. Berapakahprobabilitasbahwasekurang-kurangnyamekaniktersebutharusmelakukanpemeriksaantigablokrangkaiansampaidiadapatmenentukanblokdapatrangkaian yang rusak?

  24. Logikamasalahdiatasadalah sang mekanikharusmelakukanpemeriksaanberikutnyajikapemeriksaansebelumnyadiamendapatkanblokrangkaian yang tidakrusak. • Jikaditetapkanperistiwa X = { pemeriksaanpertamamemperolehbloktidakrusak} danperistiwa Y ={pemeriksaankeduamemperolehbloktidakrusak}, makaP(X) = 3/4. Jikapengecekanpertama sang mekanikmemperolehbloktidakrusakmakatigablokrangkaian yang belumdiperiksamasihterdapatduablok yang tidakrusak, sehingga P(YX) = 2/3. Jadipemeriksaanketigaharusdilakukansetelahpemeriksaanpertamadanmemperolehblok yang tidakrusak. Dan hukumperkaliandidapatkan:

  25. Hukumperkalianuntukperistiwatidaksalingbebas yang ditunjukkanolehpersamaandiatasdapatdiperluasuntukperistiwamajemuk yang terdiridaribeberapaperistiwa yang terjadisecaraberturutan. Misalnyauntuktigaperistiwa, Dalamhaliniperistiwaterjadipertama kali, diikutiperistiwadanterakhir

  26. 5.2. HukumPenjumlah (addition law) Hukumpenjumlahanpadaprobabilitasperistiwamajemukdinyatakansebagai : P(A atau B) = P( A  B ) = P(A) + P(B) - P(A  B ) Persamaandiatasmenunjukanprobabilitasperistiwa A atauperistiwa B ataukedua-duanyasama- samaterjadi. Perludiperhatikanbahwa A dan B tidakperlusalingbebas,selamadiketahuiprobabilitasgabungannya P( A  B). Jikaperistiwa A dan B adalah mutually exclusive (yang berartijikasalahsatuperistiwaterjadi, makaperistiwalainnyamustahilterjadi), maka P(A  B) = 0 sehingga: P(A atau B) = P(A  B) = P(A) + P(B) Persamaan (1) dapatdigeneralisasiuntukbeberapapunjumlahperistiwadenganprosespenerapankembaliberlanjut (continued reapplication), yakni:

  27. Persamaan (1) dapatdigeneralisasiuntukbeberapapunjumlahperistiwadenganprosespenerapankembaliberlanjut (continued reapplication), yakni:

  28. Contoh, • Perhatikanstruktur yang dilassepertipadagambar. Kegagalandaristrukturterjadijikasalahsatuataulebihdariketigasambunganlastersebutputus. Jikaprobabilitasdariputusnyamasing-masingsambunganlasP(L1 ) =P(L2 )=P(L3 )=0,001 dandiasumsikansambungansalingbebas, maka:

  29. Contoh, • Sebuahsistemsembarangspt yang ditunjukkanGambar,tersusunatastigatingkat. System iniakanbekerjadenganbaikjikaketigatingkatnyaberjalandenganbaik. Misalnyaseluruh unit dalamsetiaptingkatsalingbebasdanmasing – masingprobabilitasberjalanbaiknyaadalah:

  30. Jadisitemtersebutsecarakeseluruhanmemiliki 61,3% kemungkinandapatberjalandenganbaik.

  31. 2.6. FormulasiBayes FormulasiBayesadalahpengembangandariprobabilitasbersyarat (conditional probability) danaturanumumhukumperkalian (multiplication). AndaikanterdapatsekelompokperistiwaB1, B2, … , Bn yang mutually exclusive dan exhaustive (menyeluruh), artinyamasing-masingperistiwatidakmemilikikeluaran (outcome) yang samadansecarabersama-samamemuatkeseluruhankeluarandidalamruangsampel. Secaramatematis, peristiwa B1 yang mutually exclusive bersifat exhaustive jikadanhanyajika:

  32. Sebagaitambahan, terdapatsebuahperistiwa lain A yang didefinisikanpadaruangsampel yang sama. Karenaperistiwa-peristiwaB1bersifat exhaustive makaperistiwa A pastiberirisandengansatuataulebihperistiwaB1. Olehkarenaitu, satucarauntukmendapatkanprobabilitasperistiwa A adalahdenganmenjumlahkanprobabilitas P (A∩B1) untukseluruhhargaimaka:

  33. Sebagaiilustrasi, misalkan n = 4. Hal inidapatditunjukkandengan diagram vennsepertipadaGambar. Perhatikanbahwa A terdiridariA∩B1, A∩B2 , A∩B3dan A∩B4maka:

  34. Sekarangjikapersoalandiubahdandiasumsikanbahwaperistiwa A telahterjadi. Bagaimanamenentukanprobabilitasmasing-masingperistiwa B1, jugaterjadi? Jikaperistiwa A telahterjadi, makaruangsampelmenjadiberkurang, seperti yang ditunjukkanGambar 3.8.

  35. Contoh, • Vendor I, II, III dan IV menyediakanseluruhkeperluanbantalanyang dibeliolehperusahaanSumberTekniksebanyakmasing-masing 25%, 35%, 10% dan 30%. Dari pengalamanselamainidiketahuibahwa vendor I, II, III, danIV masing-masingmengirimkan 20%, 5%, 30% dan 10% bantalanyang cacat. Makaprobabilitasbahwasebuahbantalan yang dipilihsecaraacakmerupakanbantalan yang cacatdapatdihitungsebagaiberikut: Misalkan A adalahperistiwapemilihansebuahbantalan yang cacat, danB1, B2, B3dan B4adalahperistiwapemilihanbantalandari vendor I, II, III, dan IV. Maka :

  36. TeknikEnumerasi (Pencacahan) • Dalammenentukanprobabilitasdariperistiwa-peristiwamajemuk yang kompleks, suatuenumerasi (pencacahan) peristiwa-peristiwa yang berkaitansering kali menjadisulit. Untukituterdapatbeberapateknik yang dapatmemudahkan.

  37. 3.1. PohonProbabilitas Seringkalididalampenerapannyasuatueksperimen yang diulang-ulangmenjadisangatrumitdanterdiridaribeberapatahap. Dalammengevaluasiprobabilitas yang berkaitandenganeksperimenserupaitu, pohonprobabilitasmerupakanalat bantu grafis yang memudahkan.Misalnya, dalamtahappertama, salahsatudariduaperistiwa A1atau A2dapatterjadi. Selanjutnyatahapkeduasalahsatudariperistiwa B1 , B2atau B3dapatterjadi. Ruangsampeluntukeksperimenduatahapinidapatdigambarkandalampohonprobabilitasseperti yang terlihatpadaGambar,

  38. Perludiperhatikanbahwaprobabilitaspadasetiapcabangdapatdikalikanuntukmendapatkanprobabilitaspadabagian paling kanan. Sehinggadidapatkanmisalnya:

  39. Contoh, • Processor pengindraposisimerupakanbagiandarinavigasisuatupesawatudara. Karenamenurut data penerbangansistemnavigasiinigagalberfungsisekalidalamsetiapduaratuspenerbangan, makaperludiadakanpengujian. Hasil test menunjukkanbahwasaatsistemnavigasigagalberfungsi, 90% disebabkankerusakan processor pengindraposisidan 10% olehsebab yang lain. Sementaraitusaatsistemnavigasiberfungsibaik, 99% processor pengindradalamkondisibaikdanhanya 1% system navigasitetapberfungsidengan processor yang rusak. Denganmendefinisikan A1 = system navigasigagalberfungsi, A2 = system navigasiberfungsibaik, B1 = processor rusak, B2 = processor baik, pohonprobabilitasdariperistiwa-peristiwatersebutditunjukkanpadagambar,

  40. Pohonprobabilitas

  41. Jikasuatuketika, dalamsebuahpenerbangan, processor utamadalamrangkaianelektronikapengindraposisirusak, makaprobabilitas system navigasigagalberfungsiadalah:

  42. 3.2. AnalisisKombinatorial PrinsipDasar • Jikasebuahperistiwadapatterjadidengansalahsatudari n1caraberlainandanapabilamasing-masingcarabisaterjadidengan n2cara yang berlainan pula, makabanyaknyacara yang mungkinbagiperistiwatersebutuntukbisaterjadiadalah n1n2

  43. 2. Permutasi Suatupermutasidari n objek yang berbedadimanapadasetiappemilihandiambilsebanyak r objekadalahsuatucarapenyusunan r objekdari n objektersebutdenganmemperhatikanurutansusunannya. Didefinisikan:

  44. 3. Kombinasi Suatukombinasidari n objek yang berbedapadasetiappemilihandiambilsebanyak r objekadalahsuatucarapenyusunandari n objektersebuttanpamemperhatikanurutansusunannya. Didefinisikan:

More Related