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Rappel. Systèmes dynamiques: discrets; continus. (valeurs propres complexes). Aujourd’hui. Orthogonalité. Produit scalaire, module; Ensembles orthogonaux. 13. Orthogonalité.

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Presentation Transcript
Rappel
Rappel...

  • Systèmes dynamiques:

    • discrets;

    • continus.

      (valeurs propres complexes)


Aujourd hui
Aujourd’hui

  • Orthogonalité.

    • Produit scalaire, module;

    • Ensembles orthogonaux.


13 orthogonalit
13. Orthogonalité

L’équation Ax = b n’a souvent pas de solution. On cherche alors une solution telle que la distance entre A et b soit la plus petite possible.

Distance:  (.)2


G om triquement
Géométriquement

Orthogonalité

d < d1

x

d < d2

d

d2

d1

x2

x1


Produit scalaire module et orthogonalit
Produit scalaire, module et orthogonalité

Nous allons reprendre des concepts qui nous sont très familiers dans R2 et R3, soit la distance, la longueur et l’orthogonalité (« perpendicularité »), et les placer dans le contexte de Rn.

Vecteurs dans Rn


Produit scalaire
Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs, u et v, est donné par:


Produit scalaire suite
Produit scalaire (suite)

  • Processeurs DSP (TMS320).

  • Le résultat est un scalaire.

  • En anglais: dot product, inner product.


Propri t s du produit scalaire
Propriétés du produit scalaire

Soit u, v et w des vecteurs dans Rn, et soit c un scalaire. Alors

a.u .v = v .u

b. (u + v).w = u .w + v .w

c. (cu).v = c(u .v) = u .(cv)


Propri t s du produit scalaire suite

e.

Propriétés du produit scalaire (suite)

Soit u, v et w des vecteurs dans Rn, et soit c un scalaire. Alors

d.u .u  0, et u .u = 0 si et seulement si u = 0


Module d un vecteur
Module d’un vecteur

Le module d’un vecteur v est le scalaire||v||  0 défini par:

et ||v||2= v .v


Distance entre deux vecteurs
Distance entre deux vecteurs

Pour des vecteurs u et v dans Rn, ladistance entre u et v, qu’on écrit dist(u,v), est le module du vecteur u - v. Autrement dit:

dist(u,v) = ||u - v||


Vecteurs orthogonaux
Vecteurs orthogonaux

u

||u - v||

v

||u - (-v)||

-v


Orthogonalit
Orthogonalité

Deux vecteurs u et v dans Rn sont orthogonaux (l’un par rapport à l’autre)si u .v = 0.


Th or me de pythagore
Théorème de Pythagore

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si

||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2


Compl ment orthogonal
Complément orthogonal

  • 1. Si un vecteur z est orthogonal à tous les vecteurs d’un sous-espace W, on dit que z est orthogonal à W.

  • 2. L’ensemble de tous les vecteurs z orthogonaux à un sous-espace W est appelé le complémentorthogonal de W et est dénoté par W.


Propri t s du compl ment orthogonal
Propriétés du complément orthogonal

  • 1. Un vecteur x est dans W si et seulement si x est orthogonal à chacun des vecteurs d’un ensemble engendrant W.

  • 2. W est un sous-espace de Rn.


Sous espaces fondamentaux d une matrice et compl ment orthogonal
Sous-espaces fondamentaux d’une matrice et complément orthogonal

Soit A une matrice nn. Alors le complément orthogonal de l’espace des lignes de A est le noyau de A, et le complément orthogonal de l’espace des colonnes de A est le noyau de AT.

(Row A) = Nul A (Col A) = Nul AT


Angles dans r 2 et r 3
Angles dans R orthogonal2 et R3

u . v = ||u|| ||v||cos


Ensemble orthogonal
Ensemble orthogonal orthogonal

Un ensemble de vecteurs {u1, u2,..., up} dans Rn est appelé ensemble orthogonal si chaque paire de vecteurs distincts provenant de cet ensemble est orthogonale, c’est-à-dire si

ui.uj= 0 pour ij


Th or mes sur les ensembles orthogonaux
Théorèmes sur les ensembles orthogonaux orthogonal

Si S = {u1, u2,..., up} est un ensemble orthogonal de vecteurs non nuls dans Rn, alors S est linéairement indépendant et est donc une base pour le sous-espace engendré par S.


Base orthogonale
Base orthogonale orthogonal

Une base orthogonale pour un sous-espace W de Rn est une base pour W qui est aussi un ensemble orthogonal.


Th or me sur la repr sentation unique
Théorème sur la représentation unique orthogonal

Soit {u1, u2,..., up} une base orthogonale d’un sous-espace W de Rn. Alors chaque vecteur y dans W possède une représentation unique selon une combinaison linéaire des vecteurs u1, u2,..., up.


Th or me sur la repr sentation unique suite

alors orthogonal

Théorème sur la représentation unique (suite)

En fait, si


Projection orthogonale
Projection orthogonale orthogonal

On désire décomposer un vecteur yRn en une somme de deux vecteurs, l’un multiple de uRn et l’autre orthogonal à u.

y = + z, où = u et zu.



D f projection orthogonale
Déf: Projection orthogonale orthogonal

La projection orthogonale du vecteur y sur le vecteur u est donnée par

La composante du vecteur yorthogonale au vecteur u est donnée par


Interpr tation g om trique
Interprétation géométrique orthogonal

u2

y

u1


Ensemble orthonormal
Ensemble orthonormal orthogonal

Un ensemble orthogonal de vecteur unitaire est appelé ensembleorthonormal.


Th or me sur les matrices ayant des colonnes orthonormales
Théorème sur les matrices ayant des colonnes orthonormales orthogonal

Une matrice Umn possède des colonnes orthonormales si et seulement si UTU = I.


Propri t s des matrices ayant des colonnes orthonormales
Propriétés des matrices ayant des colonnes orthonormales orthogonal

Soit U une matrice mn ayant des colonnes orthonormales, et soit x et y deux vecteurs dans Rn. Alors

a. ||Ux|| = ||x||

b. (Ux) .(Uy)= x .y

c. (Ux) .(Uy)= 0 si et seulement si x .y = 0


Application aux matrices carr es
Application aux matrices carrées orthogonal

Une matrice orthogonale est une matrice carrée U telle que

U-1 = UT

colonnes orthonormales

lignes orthonormales


Prochain cours
Prochain cours... orthogonal

  • Projections orthogonales.

  • Procédure de Gram-Schmidt


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