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TEMA 3. LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES. Introduccion. Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como: (Transformada bilateral) En el caso de sistemas y señales causales: (Transformada uniteral) siendo z una variable compleja: z=x+jy.

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tema 3

TEMA 3

LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES

introduccion
Introduccion
  • Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como:

(Transformada bilateral)

  • En el caso de sistemas y señales causales:

(Transformada uniteral)

siendo z una variable compleja: z=x+jy

slide3
Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier
  • Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial.
  • A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo unidad.
slide4
Los principales motivos para introducir esta generalización son que:
    • La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias.
    • Facilita la resolución de problemas analíticos.
    • Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos
slide5
En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ.
  • Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z.
  • Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de filtros digitales.
  • La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial.
  • La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unidad)
convergencia de la transformada z
CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA Z
  • La Transformada Z no converge para todas las secuencias, ni para todos los valores de z.
  • Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina REGIÓN DE CONVERGENCIA.
  • Para que la TZ de una secuencia sea convergente es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es decir:
ejemplo
EJEMPLO
  • Sea la secuencia x(n)=anu(n):
slide8
Propiedades de la región de convergencia:

1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región conectada.

2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos ó el cero o el infinito.

3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano completo excepto,  z=0 y/o z=¥ .

    4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.

    5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo

| z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R.

    6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo centrado en el origen.

la transformada z inversa
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
  • Expansión en fracciones parciales o en series de potencias.
  • Integral de inversión compleja
  • Inspección directa
inspecci n directa
Inspección Directa
  • El método de inspección directa se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares.
  • Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es:
descomposici n en fracciones simples
Descomposición en Fracciones Simples
  • Consiste en realizar una Descomposición en Fracciones Simples e identificar las transformadas simples de los términos así obtenidos.
  • M:orden de P(z)
    • Si  siendo N orden de Q(z)
slide12
Si M<N y solo existen polos de primer orden:
  • Si M ≥ N y solo existen polos simples:

siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1. Con este resto se procede a descomponer en fracciones simples y el resultado se añade al de la división.

teorema de los residuos
TEOREMA DE LOS RESIDUOS
  • En el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de multiplicidad s, la descomposición resulta
slide14

En general, si             es una función racional de z:

es decir, tiene 5 polos en z = z0 (4 f(z) no tiene polos en z = z0)

El residuo de dicha función en z = z0 es :

En particular si 5 = 1 para z0 es = p

slide15
Caso general: Si la función a integrar Φ (z) tiene varios polos Pi, con grados Si,dentro de C:
  • Cálculo a partir del Teorema de los Residuos
  • Teorema de la integral de Canchy:
transformada z inversa
Transformada Z Inversa

(Multiplicando por zk-1  a amboslados e integrando...)

1 si – n + k = 0 => n= k , 0 otro caso

propiedades de la transformada z
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

LINEALIDAD:

Si 

Entonces:

  • DESPLAZAMIENTO:
  • Si                                             
  •  Entonces:  (posible adición o desaparición de 0/¥ )
propiedades de la transformada z1
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

INVERSIÓN DE UNA SECUENCIA:

Si                                             Entonces: 

MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL:

Si                    Entonces:

propiedades de la transformada z2
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
  • TEOREMA DEL VALOR INICIAL
  • Si 

CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.-

Si                                                  

Entonces:                  

propiedades de la transformada z3
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS.

Si

  Entonces:                                                                                  

propiedades de la transformada z4
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS.

Sea 

Entonces 

ejemplo1
EJEMPLO

Determinar la TZ inversa de:

Pero 

Entonces                                Luego: 

ejemplo2
EJEMPLO

Determinar la TZ de las secuencias

teorema de la convoluci n compleja
TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN COMPLEJA

Sean 

Entonces: 

Siendo

relaci n de parseval
RELACIÓN DE PARSEVAL

Sean 

Si X(z) y*(n) convergen en el círculo unitario 

filtros fir
FILTROS FIR

(NO RECURSIVOS)

"La Función del Sistema puede expresarse como un polinomio en el numerador"

filtros iir
FILTROS IIR

N > 0 

"La Función del Sistema tendrá polos,

de c/n de los cuales 

contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"

funci n del sistema
FUNCIÓN DEL SISTEMA

Estabilidad:

"Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa".

Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario

y la zona del plano z (se entiende hasta z = ∞ , desde aquel).

estabilidad
ESTABILIDAD
  • Si evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w=Π),
  • pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0<w<B. Continuando a lo largo de este círculo obtendríamos la TF desde B a 2B (\ desde -B a 0).
  • Con esta interpretación se hace evidente la propiedad de periodicidad de la TF de una secuencia.
    • Cuando la serie de potencias puede sumarse y expresarse de forma sencilla decimos que la TZ está en forma cerrada.
    • Toda secuencia que pueda representarse como suma de exponenciales puede representarse por una TZ de tipo racional.
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