TEMA 3

1. TEMA 3 LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES

2. Introduccion • Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como: (Transformada bilateral) • En el caso de sistemas y señales causales: (Transformada uniteral) siendo z una variable compleja: z=x+jy

3. Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier • Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial. • A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo unidad.

4. Los principales motivos para introducir esta generalización son que: • La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. • Facilita la resolución de problemas analíticos. • Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos • En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ. Intentaremos ser precisos pero sin mantener un alto grado de rigor matemático.

5. En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ. Intentaremos ser precisos pero sin mantener un alto grado de rigor matemático. • Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z. • Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de filtros digitales. • La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial. • La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unidad)

6. CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA Z • La Transformada Z no converge para todas las secuencias, ni para todos los valores de z. • Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina REGIÓN DE CONVERGENCIA. • Para que la TZ de una secuencia sea convergente es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es decir:

7. EJEMPLO • Sea la secuencia x(n)=anu(n):

8. EJEMPLO La TZ es convergente solo si: r>a Þ| z| >a y converge a:

9. Ya que la TZ es función de una variable compleja, es conveniente describirla e interpretarla usando el plano complejo • Un grupo importante de TZ está constituido por aquellas funciones X(z) que son racionales, es decir un cociente de polinomios en z. • En ellas, las raíces del numerador(valores de z tales que X(z)=0), se denominan ceros de X(z). • Análogamente, a las raíces del denominador (valores de z que hacen que X(z) Õ ¥ ) se les denomina polos de X(z). • No puede haber polos en la Región de convergencia. Los polos están en el límite de la región de convergencia.

10. Podemos resumir la convergencia de la TZ en los siguientes puntos: 1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región conectada. 2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos ó el cero o el infinito. 3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano completo excepto,  z=0 y/o z=¥ .     4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.     5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R.     6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo centrado en el origen.

11. LA TRANSFORMADA Z INVERSA • Una de las aplicaciones mas importantes de la TZ es en el análisis de sistemas discretos LIT. Este análisis suele requerir calcular la TZ inversa. Los tres métodos básicos para recuperar la secuencia original a partir de su Transformada Z son: • Expansión en fracciones parciales o en series de potencias • Integral de inversión compleja • Inspección directa

12. Inspección Directa • El método de inspección directa se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares. • Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es:

13. Descomposición en Fracciones Simples • Consiste en realizar una Descomposición en Fracciones Simples e identificar las transformadas simples de los términos así obtenidos. • M:orden de P(z) • Si  siendo N orden de Q(z)

14. Si M<N y solo existen polos de primer orden: • Si M ≥ N y solo existen polos simples: siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1. Con este resto se procede a descomponer en fracciones simples y el resultado se añade al de la división.

15. TEOREMA DE LOS RESIDUOS • En el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de multiplicidad s, la descomposición resulta

16. En general, si             es una función racional de z: es decir, tiene 5 polos en z = z0 (4 f(z) no tiene polos en z = z0) El residuo de dicha función en z = z0 es : En particular si 5 = 1 para z0 es = p

17. Caso general: Si la función a integrar Φ (z) tiene varios polos Pi, con grados Si,dentro de C: Cálculo a partir del Teorema de los Residuos • Teorema de la integral de Canchy:

18. Transformada Z Inversa (Multiplicando por zk-1  a amboslados e integrando...) 1 si – n + k = 0 => n= k , 0 otro caso

19. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z LINEALIDAD: Si  Entonces: • DESPLAZAMIENTO: • Si                                              •  Entonces:  (posible adición o desaparición de 0/¥ )

20. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z INVERSIÓN DE UNA SECUENCIA: Si                                             Entonces:  MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL: Si                    Entonces:

21. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z • TEOREMA DEL VALOR INICIAL • Si  CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.- Si                                                   Entonces:                  

22. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Si   Entonces:                                                                                  

23. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Sea  Entonces 

24. EJEMPLO Determinar la TZ inversa de: Pero  Entonces                                Luego: 

25. EJEMPLO Determinar la TZ de las secuencias

26. TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN COMPLEJA Sean  Entonces:  Siendo

27. RELACIÓN DE PARSEVAL Sean  Si X(z) y*(n) convergen en el círculo unitario 

28. FUNCIÓN DEL SISTEMA Y FILTROS DIGITALES

29. FILTROS FIR (NO RECURSIVOS) "La Función del Sistema puede expresarse como un polinomio en el numerador"

30. FILTROS IIR N > 0  "La Función del Sistema tendrá polos, de c/n de los cuales  contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"

31. FUNCIÓN DEL SISTEMA Estabilidad: "Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa". Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario y la zona del plano z (se entiende hasta z = ∞ , desde aquel).

32. ESTABILIDAD • Si evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w=Π), • pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0<w<B. Continuando a lo largo de este círculo obtendríamos la TF desde B a 2B (\ desde -B a 0). • Con esta interpretación se hace evidente la propiedad de periodicidad de la TF de una secuencia. • Cuando la serie de potencias puede sumarse y expresarse de forma sencilla decimos que la TZ está en forma cerrada. • Toda secuencia que pueda representarse como suma de exponenciales puede representarse por una TZ de tipo racional.