A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata

1. A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Definíció. Legyen . Azt mondjuk, hogy f-nek lokális maximuma (lokális minimuma) van az pontban, ha , hogy esetén, amelyre , teljesül . Tétel. Legyen f az [a, b] intervallumon értelmezett valós függvény . Ha f-nek az pontban lokális maximuma (lokális minimuma) van, és ha létezik, akkor . Bizonyítás: előadáson

2. Középérték tételek Cauchy-féle középértéktétel. Legyenek f és g folytonos valós függvények az [a, b] intervallumon, és differenciálhatóak az ]a, b[ intervallumon. Ekkor , amelyre Bizonyítás: nincs Lagrange-féle középértéktétel. Legyen f folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon, és differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor , amelyre Bizonyítás: nincs Geometriai szemléltetés: előadáson

3. Középérték tételek Rolle-féle középértéktétel Legyen f folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon, differenciálható az]a, b[ intervallumon, és , akkor , amelyre . Bizonyítás: nincs Geometriai szemléltetés: előadáson A derivált függvény folytonossága Darboux-tétele. Legyen , , fdifferenciálható -n éspéldául Ekkor minden olyan -hoz, amelyre van olyan , amelyre . Bizonyítás: nincs

4. Magasabbrendű deriváltak Definíció. Legyen . Tegyük fel, hogy , mely esetén létezik az f függvény -nel jelölt deriváltja. Azt mondjuk, hogy az ffüggvény (n + 1)-szer deriválható az a pontban, ha létezik az . Példa: Határozzuk meg a következő deriváltakat! 1./ 2./

5. Függvényvizsgálat Tétel. Legyen , differenciálható az intervallumon. 1./ Ha esetén , akkor f az -n monoton növekedő, 2./ Ha esetén , akkor f az -n monoton csökkenő. Bizonyítás: előadáson. Definíció. Legyen és a D( f ) belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az pontban (- , +) előjelváltása van, ha , hogy esetén , és esetén . A (+ , -) előjelváltás értelemszerűen azt jelenti, hogy a fentiekben a > és a < relációk helyet cserélnek.

6. Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Ha és az függvénynek az a helyen (-, +) előjelváltása (vagy. (+, -) előjelváltása) van, akkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés . A tételt szokás a lokálisminimumra (maximumra) vonatkozó elsőrendű, elégséges feltételnek nevezni. Kétszer deriválható függvények esetében adható meg az ú.n. másodrendű elégséges feltétel.

7. Függvényvizsgálat Tétel. Legyen és . Tegyük fel, hogy fkétszer differenciálható az a pontban és , továbbá ; . Ekkor az faz a helyen lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés.Tekintsük az függvényt. , , …, és csak az . Kérdés, hogy ilyen esetekben milyen elégséges feltétel adható a lokális szélsőérték létezésére? Erre ad választ a következő tétel, amit szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó magasabb rendű elégséges feltételnek nevezni.

8. Függvényvizsgálat Tétel. Tegyük fel, hogy az fRR az aD(f) pontban 2n-szer differenciálható.nN és Ekkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás. Nincs Definíció. Legyen I R. Azt mondjuk, hogy az f : IR függvény alulról konvex (konkáv), ha I esetén az és pontokat összekötő egyenes szakasz (húr) egyetlen pontja sincs a függvény grafikonja alatt (fölött). Definíció. Legyen f az a pontban differenciálható függvény. Azt mondjuk, hogy az a pont inflexiós helyef-nek, ha fa-hoz tartozó érintőjét -val jelölve az f - függvény az a pontban előjelet vált. Ha az f-nek az a pontban inflexiós helye van, akkor azt is szoktuk mondani, hogy f-nek a-ban inflexiós pontja van.

9. Függvényvizsgálat Tétel. Legyen f: IR, IR, f kétszer deriválható I-n. Az f a. cs. a. konvex (konkáv) I-n, ha x I esetén ( ). Bizonyítás. Nincs Tétel. Legyen f: IR, IR, f kétszer deriválható I-n. Az f –nek az a I pontban inflexiós pontja van, ha 1./ (szükséges feltétel) 2./ az a környezetében előjelváltó. (elégséges feltétel) Bizonyítás. Nincs

10. Függvényvizsgálat Tétel. Tegyük fel, hogy az fRR az aD(f) pontban 2n+1-szer differenciálható (nN ) és Ekkor f -nek az a pontban inflexiós pontja van.

11. Hiperbolikus függvények Definíció: ( sinus hiperbolikus ) ( cosinus hiperbolikus ) ( tangens hiperbolikus ) ( cotangens hiperbolikus )

12. Hiperbolikus függvények Azonosságok: Bizonyítás: előadáson. Tétel: Bizonyítás: előadáson.

13. Hiperbolikus függvények inverzei Definíció. A szigorúan monoton sh, , th , függvények inverzeit rendre area szinuszhiperbolikusz, area koszinuszhiperbolikusz, area tangenshiperbolikusz és area kotangenshiperbolikusz függvénynek nevezzük, és arsh, arch,arth, arcth szimbólumokkal jelöljük. Tétel.1./ Tetszőleges esetén 2./ Ha , akkor 3./ Ha , akkor 4./ Ha , vagy , akkor Bizonyítás: előadáson

14. Hiperbolikus függvények inverzeinek deriváltjai Tétel. Bizonyítás: előadáson

15. Teljes függvényvizsgálat(Függvénydiszkusszió) A teljes függvényvizsgálat lépései: 1./ Az értelmezési tartomány megadása 2./ Paritás vizsgálat 3./ Határértékek az értelmezési tartomány „szélein” 4./ Zérushelyek 5./ Monotonitás-vizsgálat, lokális szélsőértékek meghatározása 6./ Görbületi jelleg, inflexiós pontok meghatározása 7./ A függvény grafikonjának felvázolása 8./ Az értékkészlet megadása