DETERMINAN
Download
1 / 45

DETERMINAN - PowerPoint PPT Presentation


  • 152 Views
  • Uploaded on

DETERMINAN. Definisi :. Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(A) atau. Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}:

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' DETERMINAN' - sorcha


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Definisi
Definisi :

Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik.

Dituliskan : det(A) atau

Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}:

Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j1, j2, j3, …, jn)

Inversi dalam permutasi (j1, j2, j3, …, jn) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.


Dalam sebuah matrik A (n x n) yang disebut hasil kali elementer

a1a2a3 ……………an

j1 j2 j3 jn

Catatan: indeks baris : selalu urut 1, 2, 3, …, n

indeks kolom: urutan permutasi j1, j2, j3, …, jn

  • Hasil kali elementer bertanda

  • Jika (j1, j2, j3, …, jn) merupakan inversi

    • genap, maka hasil kali elementer adalah positif

    • gasal, maka hasil kali elementer adalah negatif


Contoh: elementer

A (3 x 3); jumlah semua hasil kali elementer bertanda adalah jumlah dari semua (6) elemen berikut ini:

+ a11a22a33(inversi =0)– a11a23a32 (inversi =1)

+ a12a23a31(inversi =2)– a12a21a33 (inversi =1)

+ a13a21a32(inversi =2)– a13a22a31 (inversi =3)

Bandingkan dengan cara perhitungan “non-formal”nya:

a11a12a13 a11a12a13

A = a21a22a23 a21a22a23

a31a32a33 a31a32a33


SIFAT-SIFAT DETERMINAN : elementer

1. Bilasemuaunsurdalamsatubarisatausatukolom = 0, makadeterminan = 0

Contoh :

2. Nilaideterminantidakberubahapabilasemuabarisdiubahmenjadikolomatausemuakolomdiubahmenjadibaris. Dengankata lain :

Contoh :


3. Pertukaran baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda nilai determinan.

Contoh :

Jika baris 1 ditukar menjadi baris 2, maka :

Jika kolom 1 ditukar menjadi kolom 2, maka :


4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka nilai determinan = 0.

Contoh :


5. yang identik, maka nilai determinan = 0.Jikasemuaelemenpadasembarangbarisataukolomdikalikandenganfaktorp(bukannol), makanilaideterminandikalikanfaktorp.

Contoh :

Jikabaris 1 dikalikandengan 2, maka :

Jikakolom 1 dikalikandengan 3, maka :


6. Nilai determinan tidak berubah ketika semua elemen pada baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol) dan ditambahkan atau dikurangkan pada baris atau kolom yang lain.

Contoh :

b12(3)


7. Bila A dan B matrik bujur sangkar, maka baris atau kolom dikalikan dengan faktor

Contoh :


8. Determinan suatu matrik segitiga atas atau segitiga bawah merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Contoh :


Secara umum: merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. untuk A(3 x 3)

a11a12a13 a11a12a13

A = 0a22a23 0a22a23

0 0a33 00a33

diagonal utama

+ a11a22a33  0– a11a23a32

+ a12a23a31 – a12a21a33

+ a13a21a32 – a13a22a31


Cara menghitung determinan
Cara menghitung determinan : merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Nilai determinan matrik dapat diperoleh berdasarkan :

1. Definisi determinan

2. Sifat-sifat determinan

3. Ekspansi minor dan kofaktor

4. Kombinasi cara 2 dan 3


1. MELALUI DEFINISI DETERMINAN merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari elemen matrik sedemikian yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan.

Det(A) = a11 a22 – a12 a21

A =

Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?


Definisi determinan didasarkan pada merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.inversi permutasi yang dikenal sebagai metode Sarrus.

Metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai determinan yang berorde hingga 3, sedangkan untuk yang berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi.

Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . .

A =

a11 a22 a33

– a11 a23 a32

|A|

=

– a12 a21 a33

+a12 a23 a31

-

+

– a13 a22 a31

+ a13 a21 a32


  • 2. merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.Denganbantuansifatdeterminan, membantumemudahkanmenghitungnilaideterminan.

= 0

= 0

Matrik persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, det.nya nol (0).

= 26

= 26

Determinan dari matrik dan transposenya adalah sama


= 31 merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

= – 31

Baris pertama ditukar baris kedua

Determinan suatu matrik yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matrik tersebut berubah tanda dari determinan semula.

= 0

= 0

= 0

Determinan dari suatu matrik persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama, nilainya sama dengan 0 (nol).


= 5 merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

= 35

= 7

Baris kedua dikalikan dengan 7

Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom)

dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi kA

Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai

faktor yang sama, maka determinan tersebut dapat difaktorkan.

= 3

= 4


= 0 merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

kolom ke-dua kelipatan kolom ke-empat, |A| = 0

Determinan dari suatu matrik persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)

merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain , nilainya sama dengan 0 (nol).

+

=

+

=

Determinan dari matrik persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i

(kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.


= 11 merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

= 11

OBE : b1 – b2

= 11

OKE : k2 + 3k1

Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.

Sifat ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan.


= (3)(-1)(5) = - 15 merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

= (-3)(-2)(4)(1) = 24

Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.


Gunakan sifat determinan untuk menghitung : merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Petunjuk : Gunakan OBE untuk mereduksi matriks menjadi matrik segitiga sehingga nilai determinan adalah hasil kali diagonal utama

Jawab :

b3 – 2 b1

b3 + 3 b2

b2 + 3b1

= (1)(-1)(3) = - 3


3. Dengan ekspansi minor dan kofaktor merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.:

Minor dan Kofaktor

A berdimensi n, determinan dari submatrik yang berdimensi (n-1) disebut minor.

a11

a13

Mrs : minor dari submatrik dengan menghilangkan baris ke r kolom ke s.

M32 =

= a11a23 – a13a21

a21

a23

a12

a13

a11

a22

a23

A =

a21

a22

a23

M11 =

= a22 a33 – a23 a32

a32

a33

a31

a32

a33


Kofaktor merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mrs adalah :

Crs = (-1)r+s Mrs.

A =

= 1 (7) = 7

C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2

C23 = - M23 = 0

= (-1) (9) = -9

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3

C31 = M31 = 7

C32 = - M32 = - 9

C13 = (-1)4 M13 = M13 =

= 5

C33 = M33 = 5

C22 = M22 = 0

= 0

C21 = (-1)3 M21 = - M21 = -


Hitung (a) adjoint dari matrik A, (b) determinan matrik A merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

A =

Jawab :

C11 = M11 = 2

C21 = -M21 = 4

C31 = M31 = -1

C12 = -M12 = - 5

C22 = M22 = -1

C32 = -M32 = 7

C33 = M33 = 5

C13 = M13 = - 1

C23 = -M23 = -2


(a) adj(A) = K merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.T =

=

=

Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9

(b)


Adj(A) A = ? merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

  • Sifat :

  • A adj(A) = adj(A) A = det(A) I

2. adj(AB) = adj(B) adj(A)

= |A| I

= 9

=


Teorema laplace
Teorema LAPLACE merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Nilai determinan matrik sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi baris ke-i :

Ekspansi kolom ke-j :


A = merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Ekspansi melalui baris pertama :

Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

Atau ekspansi melalui baris ketiga :

Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

Atau ekspansi melalui kolom ke dua :

Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32

Dan sebagainya.


Hitung determinan, dengan ekspansi kofaktor: merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

B =

Jawab :

Dilakukan ekspansi melalui baris kedua :

Det(B) = b21 C21 + b22 C22 + b23 C23

C21 = - M21 = -

= 9

C22 = M22 = 3

C23 = - M23 = - 3

Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)= 33


Atau dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Det(B) = b13 C13 + b23C23 + b33 C33

C13 = M13 = 2

C23 = - M23 = - 3

C33 = M33 = 7

Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)= 33


Hitung determinan dari : E = merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua :

K2 + K1

K3 – K1

|E| =

|E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23

|E| = e21 C21 + 0 + 0

C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24

|E| = (1) (-24) = - 24


Berapakah determinan dari F = merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Dipilih ekspansi melalui kolom pertama :

B3 + B1

|F| =

Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6


Berapakah determinan dari G = merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga :

B2 + B1

B3+B1

Det(G) =

B3 – B2

Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1)

(-1)

Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)}

Det(G) = (3) (15) = 45.


  • review: merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

  • Menghitung det(A) dengan matrik A (2x2) atau (3x3) cukup mudah.

  • Menghitung det(A) dengan matrik A (nxn) untuk semua n  2 secara umum dilakukan dengan menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matrik A.


  • Cara lain merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.untukmenghitungdet(A), dengan A(nxn), adalah :

  • MenggunakanReduksiBaris(OBE).

    • Matriks A diubahmenjadimatrik segi-3 atas (segi-3 bawah), matrik segi-3 inidisebut A’.

    • Det(A) = det(A’) = hasil kali semuaelemen diagonal utamamatrik A’.


Aplikasi
Aplikasi : merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Aplikasi matrik dan determinan diterapkan pada masalah pengiriman kode rahasia.

Padaumumnya, pesandengankoderahasiadikirimkanmelaluipenyusunanbilanganbulatuntukmenggantikansetiapalfabet yang ada

Contohpesan :

B I S A

Koderahasianya :

2, 9, 3, 1


Masalahnya merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya., pesanrahasiatersebutmasihdapatdiketahuidenganmudah.

Olehkarenaitudibutuhkansebuahmatrik lain untukmentransformasikodesehinggamempersulitrahasiatersebutuntukdipecahkan.

Misalkanmatriktransformasinya :

Koderahasiadalamnotasimatrik :


Dengan merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.demikian, kodepesanrahasia yang terkirimadalah : 29, 38, 6, 7.

Maka :

Agar pesanrahasiadapatdibaca, makasipenerimaharusmengalikan P-1dengan PQ

Hasilakhirsamadengankodeawal. Pesanterpecahkan


1. merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.Carilahbanyaknyainversipadapermutasi-permutasiberikut :

Soal latihan :

a. (4, 1, 2, 3), (4, 3, 2, 1), (1, 3, 2, 4)

b. (5, 3, 2, 1, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (2, 3, 5, 4, 1)

2. Carilahdeterminandarimatrikberikut :


3. Carilah determinan dengan metode Sarrus dari matrik berikut ini :

4. Carilahdeterminandenganmetodeekspansidarimatrikberikutini :


5. berikut ini : Suatukodepesanditransformasikankebentukmatrik :

Kode yang terkirimadalah 26, 47, 110 dan 115.

Apakahbunyipesanitu?


ad