BAB IX
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 42

MATRIKS DAN DETERMINAN PowerPoint PPT Presentation


  • 239 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

BAB IX. MATRIKS DAN DETERMINAN. 9.1 Matriks. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan

Download Presentation

MATRIKS DAN DETERMINAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Matriks dan determinan

BAB IX

MATRIKS DAN DETERMINAN


Matriks dan determinan

9.1 Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan

antar dua atau beberapa besaran, seperti mata kuliah yang

diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu

atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan

pada contoh berikut.


Matriks dan determinan

Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan

elemen-elemen sedemikian rupa sehingga membentuk baris dan

kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah

kurung siku.

Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Misal terdapat matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,


Matriks dan determinan

Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m

dan kolom n.

Pada matriks diatas ukuran matriks A adalah m x n.

Masing-masing elemen pada matriks disebut entri.

Entri aij adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i

dan kolom ke j.

Umumnya suatu matriks ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal.

Selain cara penulisan diatas, matriks dapat juga ditulis sebagai A = [aij ].

Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur

sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut

diagonal matriks.


Matriks dan determinan

9.2 Matriks Bentuk Khusus

Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks,

maka terdapat beberapa matriks yang dapat dikategorikan

sebagai matriks berbentuk khusus yaitu,

9.2.1 Vektor Kolom

Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris

dan satu kolom.

Berikut adalah contoh matriks 4 x 1

(4 baris dan 1 kolom).

12

40

32

25


Matriks dan determinan

9.2.2 Vektor Baris

Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris

dan n kolom. Contoh matriks 1 x 4 atau 1 baris dan 4 kolom

adalah

[ 4 2 5 1 ]

9.2.3 Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah

baris dan kolom yang sama. Berikut diberikan contoh

matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom).


Matriks dan determinan

9.2.4 Matriks Segitiga

Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian,

yaitu matriks segitiga atas dan segitiga bawah.

Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i<j, aij = 0.

Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagonal = 0

dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada diatas

diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks segitiga

atas atau untuk setiap i> j, aij = 0


Matriks dan determinan

9.2.5 Matriks Diagonal

Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0

dan setidak-tidaknya ada satu entri pada diagonal ≠ 0,

maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk s

etiap i ≠ j, aij=0.


Matriks dan determinan

9.2.6 Matriks Skalar

Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri

yang sama pada diagonal. Jika matriks diagonal adalah

matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn

9.2.7 Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-entri

baik diatas maupun dibawah diagonal sama dengan nol dan

entri pada diagonal sama dengan 1.


Matriks dan determinan

9.2.8 Matriks 0

Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan 0.

9.2.9 Matriks Transpose

Contoh 9.1

Jika A =

, maka AT =

9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri

Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = AT )

maka matriks tersebut adalah matriks simetri.

Contoh 9.2

, maka AT =

Jika A =


Matriks dan determinan

Karena A = AT, maka A adalah matriks simetri.

Sedangkan matriks skew- simetri adalah matriks yang

memenuhi –A = AT.

Contoh 9.3

Misal A =

, –A =

,maka AT =

Karena –A = AT , maka A adalah matriks skew-simetri.


Matriks dan determinan

9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks

Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan,

perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan

matriks serta kombinasi linier beberapa matriks.

9.3.1 Penjumlahan

Misal terdapat matriks A = [aij ] dan B = [bij] yang

masing-masing berukuran m x n.

Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan

[cij] = [aij] + [bij].

Perlu diingat, bahwa dua buah matriks hanya dapat

dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama.

Contoh 9.4

Misal A =

B =


Matriks dan determinan

Maka A + B = C

9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka

perkalian antara skalar c dengan matriks A adalah cA = [c.aij],

atau dapat ditulis dalam bentuk:

cA = c


Matriks dan determinan

Contoh 9.5

Jika A =

maka 3A =

9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks

Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah

kolom matriks pertama dan jumlah baris matriks kedua sama.

Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan matriks B = [bij]

berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B,

ditulis AB, adalah sebuah matriks C = [cij] yang berukuran

m x p.


Matriks dan determinan

Nilai dari cij adalah,

Contoh 9.6

A =

Diketahui

B =

Jika terdapat matriks C = A.B, maka

C =


Matriks dan determinan

9.3.4 Kombinasi linier matriks

Jika A1, A2, … , Ap adalah matriks yang mempunyai ukuran

Sama, dan k1, k2, … , kp adalah skalar, maka

k1 A1 + k2 A2 + … + kp Ap disebut kombinasi linier dari

A1, A2, … , Ap

Contoh 9.7

Jika ,

A3 =

A1 =

A2 =

tentukan A1 + 3A2 – 2A3

Penyelesaian


Matriks dan determinan

A1 + 3A2 –2A3

9.3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks

Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks,

maka berlaku:


Matriks dan determinan

i) A + B = B + A hukum komutatif penjumlahan

ii) A + (B + C) = (A + B) + Chukum asosiatif penjumlahan

iii) A(BC) = (AB)Chukum asosiatif perkalian

iv) A(B ± C) = AB ± AChukum distributif kiri

v) (B ± C)A = BA ± CAhuklum distributif kanan

  • vi) a(B ± C) = aB ± aC

  • vii) (a ± b)C = aC ± bC

  • (ab)C = a(bC)

  • ix) a(BC) = (aB)C = B(aC)

  • x) (AT)T = A

  • xi) (A + B)T = AT ± BT

  • xii) (cA)T =cAT

  • xiii) (AB)T = BT AT


Matriks dan determinan

9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix)

Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan

dengan penyajian sebuah sistem persamaan linier.

Misal terdapat sistem persamaan linier,

Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan

matriks koeffisien,


Matriks dan determinan

9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris

Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika

memenuhi:

i) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan

pada bagian bawah matriks

ii) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol

(disebut leading coefficient atau pivot ) harus terletak

disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumnya.


Matriks dan determinan

Contoh 9.8

Matriks dalam bentuk eselon baris

Contoh 9.9

Matriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris

Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang

mempunyai bentuk eselon baris.


Matriks dan determinan

9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi

Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris

tereduksi jika:

i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris

ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1

(selanjutnya disebut leading 1) dan satu-satunya elemen

matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan.

Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusus

dari matriks eselon baris tereduksi

Contoh 9.10

Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat

ditransformasikan kedalam bentuk matriks eselon tereduksi

dengan cara melakukan operasi baris elementer terhadap

matriks tersebut.


Matriks dan determinan

9.7 Operasi Baris Elementer

Operasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu

matriks adalah:

i) Perkalian sembarang baris dengan skalar

ii) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu

iii) Penjumlahan antara i) dan ii).

Ketiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE)

Contoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris

dan kolom:

i) R3 2R3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kali

baris ke tiga

ii) R1  R2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertukarkan.

iii) R2  R2 + 3R3 artinya baris kedua diganti dengan baris kedua

ditambah dengan tiga kali baris ketiga


Matriks dan determinan

Contoh 9.11

Lakukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matriks

eselon baris tereduksi.

Penyelesian

Elemen pivot

  • 2 1 – 1

  • 3 4

  • 4 7 5

Elemen dieliminasi


Matriks dan determinan

Langkah pertama

Ubah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris

pertama dengan 1/2.

½ R1

–5R1+R2

–4R1+R3

2R2


Matriks dan determinan

9.8 Determinan

Determinan adalah besaran atau nilai yang berhubungan

dengan matriks persegi. Jika determinan suatu matriks

persegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi

tersebut mempunyai balikan (inverse).

Sebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sama

dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan.


Matriks dan determinan

Jika terdapat matriks , maka determinan

dari matriks A adalah

Contoh 9.12

Penyelesaian

Tentukan determinan dari

9.8.1 Sifat-sifat determinan

i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan

yang sama atau det A = det AT


Matriks dan determinan

ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku

det(AB)=det (A) det (B)

iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian

dari diagonalnya

  • Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari

  • mempertukarkan dua buah baris matriks A, maka

  • determinan matriks B berlawanan dengan determinan

  • matriks A


Matriks dan determinan

v) Jika matriks dan c adalah konstanta, maka

a)

b)

  • Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama

  • dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan

  • nol.


Matriks dan determinan

9.8.2 Kofaktor

Misal A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah

matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan

menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A.

Determinan dari M disebut minor dari aij (selanjutnya

ditulis Mij).

Sedangkan cij adalah kofaktor aij dan didefinisikan sebagai,

Contoh 9.9

Diketahui

Tentukan minor dan kofaktor dari a11dan a13

Penyelesaian


Matriks dan determinan

9.8.3 Determinan dari matriks n x n

Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks

orde n x n adalah sebagai berikut.

Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari

matriks A adalah


Matriks dan determinan

Contoh 9.10

Tentukan determinan dari

Penyelesaian

Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara

1, 2, atau 3. Kita tentukan i=1

Dari rumus 9.4a didapat, det A =


Matriks dan determinan

= –8 + 9 – 30 = –29

det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6)

Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2.

Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan

matriks orde 3 dapat juga menggunakan cara Sarrus.

Jika terdapat matriks


Matriks dan determinan

–( ) –( ) –( )

Maka det A =

+( ) +( ) +( )

A = a11a22a33 + a12a23a34 + a13a21a32

– a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12


Matriks dan determinan

9.9 Adjoin Matriks

Jika terdapat matriks A = [aij], maka

Contoh 9.11

, tentukan adjoin A

Penyelesaian


Matriks dan determinan

9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix)

Jika matriks A = [aij] adalah matriks persegi n x n, maka

balikan (inverse) dari A dilambangkan dengan A-1 merupakan

matriks n x n sehingga memenuhi

9.10.1 Menentukan balikan matriks dengan rumus


Matriks dan determinan

Salah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah dengan

mencari adjoin dan determinan dari matriks yang dicari balikannya

terlebih dahulu.

Setelah itu gunakan rumus

Contoh 9.12

, tentukan

Penyelesaian


Matriks dan determinan

9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi

Gauss-Jordan berarti kita harus melakukan eliminasi

matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Misal A adalah matriks non-singular n x n.

AB = I jika dan hanya jika B =A-1

Bukti

AB = I A-1 AB = A-1 I

 IB = A-1

B = A-1 atau A|I  AB |B  I|A-1

Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi A|I menjadi I|X,

maka kita dapat memastikan bahwa X = A-1


Matriks dan determinan

Contoh 9.13

Dari contoh 9.12, tentukan A-1 dengan metode eliminasi

Gauss-Jordan

Penyelesaian

R2 –2/3 R1

R3 –R1

R3 –6/7 R2


Matriks dan determinan

R1 + 2/3R2

R2 +4/7R3

R1–9/7R3


  • Login