Ecuaciones de primer grado
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Ecuaciones de primer grado Similar al ejercicio 1 propuesto Similar al ejercicio 2 propuesto Similar al ejercicio 3 propuesto Problemas para resolver con ecuaciones de primer grado Similar a los problemas 4 y 5 propuestos Similar a los problemas 6 y 7 propuestos

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Ecuaciones de primer grado Similar al ejercicio 1 propuesto Similar al ejercicio 2 propuesto

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Ecuaciones de primer grado

Similar al ejercicio 1 propuesto

Similar al ejercicio 2 propuesto

Similar al ejercicio 3 propuesto

Problemas para resolver con ecuaciones de primer grado

Similar a los problemas 4 y 5 propuestos

Similar a los problemas 6 y 7 propuestos

Similar a los problemas 8 y 9 propuestos

Similar a los problemas 10 y 11 propuestos

Similar a los problemas 12 y 13 propuestos

Ecuaciones de segundo grado

Similar al ejercicio 14 propuesto

Similar al ejercicio 15 propuesto

Similar al ejercicio 16 propuesto

Problemas para resolver con ecuaciones de segundo grado

Similar al problema 19 propuesto

Similar al problema 20 propuesto

Fin


Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Resuelve: 3x – 5 = 7x + 1

3x – 5 = 7x + 1

3x – 7x =

1 + 5

– 5 – 1 =

7x – 3x

– 4x = 6

– 6 = 4x

: 2

: 2

6

–4

– 6

4

3

2

x = ––

= – ––

––– = x

: 2

: 2

6

4

3

2

– ––

= – –– = x

Hay que agrupar las incógnitas a un lado del igual y los términos independientes al

otro lado del igual.

Los monomios que están sumando se escriben al otro lado del igual restando.

Los monomios que están restando se escriben al otro lado del igual sumando.

Vamos a poner las incógnitas a la izquierda y los términos independientes a la derecha.

El 3x se copia y el 7x que tiene signo positivo se pasa a la izquierda del igual restando.

El 1 se copia y el 5 que tiene signo negativo se pasa a la derecha del igual sumando.

Se hacen las operaciones de cada miembro de la ecuación.

El –4 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo.

Se simplifica el resultado.

Esta misma ecuación se puede resolver poniendo las incógnitas a la derecha.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Resuelve:1 + 3(1 – x) = 6 + (6x + 5) – 5(x + 3)

1

+ 3 – 3x =

6

+ 6x + 5

– 5x – 15

– 3x

– 6x + 5x =

6 + 5 – 15

– 1 – 3

– 4x =

– 8

–8

–4

x = ––

= +2

El 1 y el 3 no se pueden sumar, antes hay que quitar los paréntesis. Se copia el 1.

El monomio que multiplica a un paréntesis hay que multiplicarlo por cada uno de los

sumandos que hay dentro del paréntesis.

El primer paréntesis se multiplica por 3.

El 6 no está multiplicando al segundo paréntesis. El 6 se copia.

El segundo paréntesis no está multiplicado por nada, se quita sin problema.

El tercer paréntesis se multiplica por –5 teniendo mucho cuidado con los signos.

Hay que juntar las incógnitas a un lado del igual y los términos independientes al otro.

El –3x se copia y se cambian de signo el +6x y el –5x al pasarlos a la izquierda.

El 6 se copia junto con el +5 y el –15. Se cambian de signo el 1 y el +3 al pasarlos a la

derecha.

Se hacen las sumas y las restas de cada miembro de la ecuación.

El –4 que está multiplicando pasa dividiendo.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Resuelve: 7 2z – 5 3z + 1

10 5 4

–– – ––––– = z – –––––

_

1

39

= 13z

2·7

4(2z – 5)

20·z

5(3z + 1)

––––––––––– = ––––––––––––

39

13

20 20

–– = z

14

– 8z + 20

= 20z

–15z – 5

3 = z

14 + 20

+ 5 =

20z – 15z

+ 8z

A z se le pone denominador 1.

El mínimo común múltiplo de todos los denominadores es 20.

Se escribe una única fracción con denominador 20 en cada miembro de la ecuación.

El 20 se divide por cada denominador y el resultado se apunta para multiplicarlo después

por el numerador correspondiente.

20:10 = 2 se apunta 2·7

Se copia la resta que hay entre las fracciones.

20:5 = 4 se apunta 4(2z – 5)

20:1 = 20 se apunta 20·z

Se copia la resta que hay entre las fracciones.

20:4 = 5 se apunta 5(3z + 1)

Se quitan los denominadores.

Se hacen todas las multiplicaciones teniendo mucho cuidado con los signos.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Encuentra un número tal que sumando cinco a su tercera parte resulte igual a dicho número más uno.

––––––––––––

–––––––––––––––

––––––––––

––––––

––––––

–––––––

x = número

x

3

––

+ 1

5 +

=

x

_

1

_

1

_

1

mcm = 3

3·5

+

1·x

3·x

+

3·1

–––––––– = ––––––––

3 3

+ 3

15

+ x

= 3x

x

– 3x =

3

– 15

– 2x

= – 12

–12

–2

x = –––

= + 6

Se llama x a lo que se pide calcular.

Se va leyendo la condición y se va traduciendo al lenguaje algebraico.

Se resuelve la ecuación.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Si llevo la mitad del dinero en el bolsillo derecho, la tercera parte en el izquierdo y sesenta céntimos en la mano, ¿cuánto dinero tengo?

––––––––––––––––––––––––––––––––––

–––––––––––––––––––––––––

–––––––––––––––––––––––

x = dinero que tengo

x

3

x

2

+ ––

+ 0´60

––

___

1

= x

_

1

mcm = 6

3·x

+

2·x

+

6·0´60

6·x

––––––––––––––– = ––

6 6

= 6x

3x

+ 2x

+ 3´6

3x + 2x

– 6x =

– 3´6

– x

= – 3´6

–3´6

–1

x = ––––

= + 3´60€

Se llama x a lo que se pide calcular.

Se van leyendo los datos y se van traduciendo al lenguaje algebraico.

La suma de todas las cantidades da el total que es x.

Se resuelve la ecuación.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Ana tiene 48 años y su hijo Miguel 23. ¿Cuántos años han de pasar para que

el doble de la edad de Ana sea el triple de la de su hijo?

–––––––––––––––––––––

–––––––––––––––––––

–––

x = años que han de pasar

=

2(48 + x)

3(23 + x)

96 + 2x

=

69 + 3x

48

48 + x

2x

– 3x

=

69

– 96

23

23 + x

– x

=

– 27

–27

–1

x = ––––

= 27 años

Se llama x a lo que se pregunta.

Se hace una tabla con las edades actuales y las edades futuras.

Cuando pasen x años Ana tendrá 48 + x años y Miguel tendrá 23 + x años.

Se escribe en lenguaje algebraico lo que ocurrirá.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

El año pasado Agustín leyó 14 libros menos que María. Si entre los dos leyeron 36

libros, ¿cuántos leyó cada uno?

––––––––––––––––––––––––––––––––

Libros que leyó Agustín =

x – 14

= 11

(x – 14) + x = 36

Libros que leyó María =

x

= 25

x – 14 + x = 36

+ 14

x + x

= 36

2x

= 50

50

2

x = ––

= 25

Hay que calcular dos cantidades.

x puede ser cualquiera de las dos cosas y dependiendo a cuál se asigne será más

fácil o más difícil establecer la otra.

Vamos a llamar x a los libros que leyó María para que resulte más fácil.

A partir del enunciado se establece la otra cantidad.

La suma de todas las cantidades es el total.

Ahora se calculan las cantidades de cada uno de ellos.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Arturo, Luis y Raúl se quieren repartir 30€ de manera que Arturo reciba la mitad de dinero que Luis, y que Luis se quede con 3€ menos que Raúl. ¿Con cuánto dinero se quedará cada uno de ellos?

––––––––––––––––––––

––––––––––––––––––––––––––––––

––––––––––––

Entonces Raúl tendrá 3€ más que Luis.

x

2

Dinero de Arturo =

x / 2

= 5´40€

–– + x + x + 3 = 30

_

1

_

1

_

1

__

1

Dinero de Luis =

x

= 10´80€

mcm = 2

Dinero de Raúl =

x + 3

= 13´80€

2·3

2·30

1·x

+

2·x

+

2·x

+

––––––––––––––– = ––––

2 2

+ 2x

= 60

x

+ 2x

+ 6

x + 2x + 2x

= 60

– 6

5x

= 54

54

5

x = ––

= 10´8

Hay que calcular tres cantidades.

x puede ser el dinero de cualquiera de los tres y dependiendo a quién se asigne será

más fácil o más difícil establecer las otras cantidades.

Vamos a llamar x al dinero de Luis.

A partir del enunciado se terminan de establecer las cantidades.

La suma de todas las cantidades es el total.

Ahora se calculan las cantidades de cada uno de ellos.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Resuelve: 9x2 – 9x – 4 = 0

ax2 + bx + c = 0

9

a =

– b ± b2 – 4ac

2a

(–9)

±

(–9)2

– 4

·9

·(–4)

x = ––––––––––––––

= –––––––-–––––––––––––

=

–9

b =

2

·9

c =

–4

+ 9 + 15

18

24

18

:6

:6

4

3

–––––––

= ––

= ––

+ 9

±

81

+ 144

+ 9

±

225

+ 9

±

15

= –––––––-––––––

= ––––––––––

= –––––––

=

+ 9 – 15

18

–6

18

:6

:6

–1

3

18

18

18

–––––––

= ––

= ––

Primero se escriben los valores de a, b y c.

a es el coeficiente de x2. a vale 9 (no se apunta el signo positivo).

b es el coeficiente de x. b vale –9.

c es el término independiente. c vale –4.

Se utiliza la fórmula para resolver la ecuación.

Se cambian las letras por sus respectivos valores escribiéndolos entre paréntesis

cuando sean negativos.

Al no salir un número entero se simplifica la fracción.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Resuelve: 5x2 – 6 = x2 + 43

5x2

– x2

= 43

+ 6

4x2

= 49

49

4

x2 =

––

49

4

x =

± ––

7

2

x =

± –

En la ecuación sólo hay x2, no aparece x, y se resuelve despejando x2.

El cuadrado se pasa al otro lado del igual haciendo la raíz cuadrada. Delante de la raíz

cuadrada hay que escribir ±.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Resuelve: 5x2 + x = 3x

– 3x

5x2 + x

= 0

5x2

– 2x = 0

x = 0

x( ) = 0

5x

2

5x – 2 = 0

5x = 2

2

5

x = –

En la ecuación hay x2 y x pero no hay términos independientes. Se resuelve pasando

todos los términos a un miembro de la ecuación.

Ahora se saca factor común de x.

Cuando se multiplican dos números y el resultado es cero es porque alguno de los

números era cero. En este caso x es cero o bien 5x – 2 es cero.

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Encuentra tres números consecutivos tales que el producto del menor por el mediano, menos el triple del mayor, sea 42.

––––––––––––––––––––––––––

–––––––

––––––––––––––––––––

––––––

x

Números consecutivosx + 1

x + 2

x·(x + 1)

– 3·(x + 2)

= 42

x2 + x

– 3x – 6

= 42

x2

+ x – 3x

– 6 – 42

= 0

x2

– 2x

– 48

= 0

1

a =

– b ± b2 – 4ac

2a

(–2)

±

(–2)2

– 4

·1

·(–48)

x = ––––––––––––––

= –––––––-––––––––––––––

=

–2

b =

2

·1

c =

–48

+ 2 + 14

2

16

2

–––––––

= ––

= 8

+ 2

±

4

+ 192

+ 2

±

196

+ 2

±

14

= –––––––-––––––

= ––––––––––

= –––––––

=

+ 2 – 14

2

–12

2

2

2

2

–––––––

= –––

= –6

x

Los números son x + 1

x + 2

x

O bien x + 1

x + 2

= 8

= –6

= 8 + 1 = 9

= –6 + 1 = –5

= 8 + 2 = 10

= –6 + 2 = –4

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Ecuaciones de primer grado similar al ejercicio 1 propuesto similar al ejercicio 2 propuesto

Una parcela con forma rectangular, que tiene una superficie de 1292m2, se ha cercado con 145´8m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

El perímetro, 145´8m, es la suma de los cuatro lados.

La mitad del perímetro es la suma del largo y el ancho.

72´9 – x

145´8 : 2 = 72´9m = largo + ancho

x

Si el largo es x el ancho es 72´9 – x.

El área se obtiene multiplicando el largo por el ancho.

1292 = x·(72´9 – x)

1292 = 72´9x – x2

x2

– 72’9x

+ 1292

= 0

1

a =

– b ± b2 – 4ac

2a

(–72´9)

±

(–72´9)2

– 4

·1

·1292

x = ––––––––––––––

= –––––––-––––––––––––––––––

=

–72´9

b =

2

·1

c =

1292

72´9 +12´1

2

85

2

––––––––

= ––

= 42´5

72´9

±

5314´41

– 5168

72´9

±

146´41

72´9

±

12´1

= ––––––––––––––––––

= –––––––––––

= ––––––––

=

72´9 – 12´1

2

60´8

2

2

2

2

––––––––

= –––

= 30´4

Largo = 42´5m

Ancho = 72´9 – 42´5 = 30´4m

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