CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

1. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

2. Argomenti della lezione • Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali successivi. • Massimi e minimi liberi.

3. FORMULA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

4. Ricordiamo la formula di Taylor, con il resto alla Lagrange, per le funzioni di una variabile: Se f : U  RR, è una funzione n+1 volte derivabile in un intorno Udel punto x0, allora esiste un solo polinomio Tn(x), detto di Taylor, di grado ≤ n, tale che f(x)= Tn(x)+ rn(x) con rn(x)= ((Dn+1f)()/(n+1)! )(x-x0)n+1 ,  compreso tra x e x0.

5. (Dkf)(x0) _______ n (x-x0)k Tn(x)= k! k=0 rn(x)= (x)(x-x0)n , con (x)0 per x  x0 , ossia rn(x)= o((x-x0)n) Vediamo come questa formula ci permetta di ottenerne una simile per le funzioni di più variabili. Iniziamo dal caso di due variabili.

6. Teorema (di Taylor, per funzioni R2 R ) Se f : A  R2 R, ha derivate continue fino all’ordine n+1, allora f(x,y)= Tn(x,y)+ rn(x,y), con rn(x,y)= o(|(x,y)T-(x0,y0 )T|n)

7. F’’(0) F (n)(0) F (n+1)() ______ ________ _____ tn + tn+1 + t2 + … + 2! n! (n+1)! Siano h e k, le due componenti di un vettore “incremento” di (x0,y0)T in R2. v = (h,k)T, (x,y)T = (x0,y0)T + v. L’equazione del segmento che va da (x0,y0)T a (x,y)Tè: (x(t),y(t))T = (x0 + th,y0 + tk)T, 0 ≤ t ≤ 1. Prendendo come punto base t0=0, si trova: F(t) = f (x0 + th,y0 + tk) = F(0) + F’(0)t +

8. F’’(0) F (n)(0) F (n+1)() ______ ________ _____ , (0<<1) + + + … + 2! n! (n+1)! Con  compreso tra 0 e t. In particolare, prendendo t=1 : F(1) = f(x0 + h,y0 + k) = F(0) + F’(0)+ Si tratta ora di calcolare, utilizzando la formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presenti nella formula di Taylor-Lagrange.

9. F(0) = f(x0,y0), F’(0) = Dt(f x(t),y(t))(0) = (D1f)(x0)h+(D2f)(x0)k, F’’(0)= Dt2 (f x(t),y(t))(0)=( D11f)(x0)h2+ +(D21f)(x0) kh +(D12f)(x0)hk +(D22f)(x0)k2= =(D11f)(x0)h2 +2(D21f)(x0) kh +(D22f)(x0)k2 Nell’ultima formula abbiamo utilizzato il Teorema di Schwarz.

10. 2 F(p)(0) =  f)(x0,y0) vi1vi2   vip (Di1i2…ip i1, i2,…, ip = 1 Definiamo d2f(x0,y0)(v,v) = F’’(0) = =  (Di1i2 f )(x0,y0)vi1vi2. 2 i1, i2= 1 In generale se, v1=h e v2=k: Sappiamo che F’(0) = df (x0,y0) (v).

11. 2 F(p)(0) =  f)(x0,y0)vi1vi2   vip (Di1i2…ip i1, i2,…, ip = 1 Definiamo in generale dpf(x0,y0)(v,v,…,v) = Usando la notazione dei differenziali successivi, la formula di Taylor- Lagrange diviene

12. dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,…,v,v) = 2 = f)(x0+h,y0+k)vi1vi2   vinvin+1 (Di1i2… in , in+1 i1, i2,…, in , in+1= 1 f(x0 + v) = f (x0) + df(x0,y0)( v) +(1/2!) d2f(x0,y0)(v,v) + … + (1/n!)dnf(x0,y0)(v,v,..,v) + + (1/(n+1)!)dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,..,v,v) Osserviamo che

13. 2  f)(x0+h,y0+k)vi1vi2   vinvin+1 = (Di1i2… in , in+1 i1, i2,…, in , in+1= 1 2 =|v|n+1 f)((x0,y0)+vT)i1i2inin+1 (Di1i2… in , in+1 i1, i2,…, in , in+1= 1 Ma su una sfera chiusa e limitata di centro (x0,y0)e raggio |v|le derivate d’ordine n+1sono tutte limitate da una costante M e v = |v| , con  versore.

14. 2 | ≤|v|n+1 M  i1 i2   in in+1 |≤ i1, i2,…, in , in+1= 1 Perciò |dn+ 1fx0+ vT(v,v,…,v,v)|≤ ≤ M  2(n+1)|v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n). Infatti v = (x,y)T-(x0,y0)T.

15. Se f : A  Rm R, è una funzione di classe Cn+1(A), allora vale un teorema analogo al precedente per funzioni delle m variabili x1, x2, … , xm. Non lo enunciamo per brevità.

16. 2 F(p)(0) =  f)(x0 ,y0)vi1vi2   vip (Di1i2…ip i1, i2,…, ip = 1 Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x0,y0)T valutato sull’incremento v= (h,k)T di (x0,y0)T: dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =

17. p! ∂pf _____ ______  (x0,y0) dxr dys dpf(x0,y0) = ∂xr ∂ys r! s! r+s=p Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y, (r+ s = p), tenendo presente che dx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordando il Teorema di Schwarz, si può verificare che:

18. ∂2f ∂2f ____ ____ (x0,y0) dx2 + 2 (x0,y0) dx dy d2f(x0,y0) = ∂x2 ∂x∂y ∂2f ____ (x0,y0) dy2 + ∂y2 In particolare, per il differenziale secondo si ha:

19. ∂2f m ______ (x10,x20,.. ,xm0) dxi dxj  d2fx0= ∂xi∂ xj i,j =1 Per funzioni di m variabili:

20. MASSIMI E MINIMILIBERI

21. Ricordiamo che, data una funzione f : A  Rm R , A aperto, un punto x0  A si dice che x0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una sfera aperta di centro x0) tale che per ogni x  U vale f(x) ≤ f(x0) Se per ogni x  U vale invece f(x) ≥ f(x0) x0 si dice punto di minimo relativo per f

22. Si dice che x0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f : A  Rm R , se per ogni x A vale f(x) ≤ f(x0) ( rispettivamente f(x) ≥ f(x0) ) Vale il seguente

23. Teorema (di Fermat) Sia f : A  Rm R, A aperto. Sia x0  A punto di massimo o di minimo relativo e sia f derivabile in x0. Allora f(x0)= 0 .

24. Basta ricordare che la funzione g1(t) = f(t,x20,..,xm0) ha max o min relativo in x10 e quindi g1’(x10) = 0 = D1f (x10,x20,..,xm0) . Analogamente g2(t)=f(x10,t,..,xm0), … , gm(t)=f(x10,x20,..,t) hanno max o min relativo in x20 ,..,xm0

25. e quindi g2’(x20) = 0 = D2f (x10,x20,..,xm0) …... gm’(xm0) = 0 = Dmf (x10,x20,..,xm0) Dunque f(x0)= 0 .

26. I puntix0  A , nei qualif(x0)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A. I punti di massimo o minimo relativo di una funzione definita su un aperto A  Rm sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per esempio se fC1(A), tra quelli che soddisfano le m equazioni Dkf (x1,x2,..,xm)=0, k = 1,…,m .