Calcolo letterale
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Calcolo letterale. Le espressioni letterali. Sono espressioni contenenti numeri reali e lettere. A=( B+b )h/2 A=2( b+h ) Le lettere rappresentano numeri reali. La stessa lettera assume sempre lo stesso valore. Le espressioni letterali.

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Calcolo letterale

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Presentation Transcript


Calcolo letterale

Calcolo letterale


Le espressioni letterali

Le espressioni letterali

Sono espressioni contenenti numeri reali e lettere.

A=(B+b)h/2

A=2(b+h)

Le lettere rappresentano numeri reali.

La stessa lettera assume sempre lo stesso valore.


Le espressioni letterali1

Le espressioni letterali

Le espressioni letterali tali che a nessuna delle lettere è applicata l’operazione di reciproco sono dette intere.

Altrimenti si dicono frazionarie.

Le espressioni letterali frazionarie possono perdere significato per alcuni dei valori delle variabili.


Le espressioni letterali2

Le espressioni letterali

a≠-2

ax2:bb≠0

a≠0 e b≠0

(a)-1a≠0


I monomi

I monomi

I monomi sono espressioni composte da prodotti tra numeri reali e lettere.

A=l•l=l2

A=bh/2

Un monomio si dice ridotto in forma normale quando le lettere compaiono una sola volta.


I monomi1

I monomi

Ogni monomio è composto da un coefficiente (segno più fattore numerico) e da una parte letterale.

-2axy2ab


I monomi2

I monomi

0 = 0a = 0xvtr …

Si dice nullo il monomio avente coefficiente 0.


I monomi3

I monomi

-2a7xy2

Dato un monomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua lettera l’esponente di questa lettera.

Si dice grado complessivo (o assoluto) del monomio la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.


I monomi4

I monomi

2a2ab

Si dicono simili monomi aventi la stessa parte letterale.

2a3a2

2a3a


I monomi5

I monomi

2a2ab

Si dicono uguali monomi aventi la stessa parte letterale e stesso coefficiente.

2a2a2

2a2a


I monomi6

I monomi

2a-2ab

Si dicono opposti monomi aventi la stessa parte letterale e coefficiente opposto.

2a-2a2

2a-2a


Calcolo letterale

Operazioni tra monomi

Somma

Può essere effettuata solo tra monomi simili

Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la somma dei coefficienti dei due addendi.

3a+2ax

3a+2a

⅛a-√2a


Calcolo letterale

Operazioni tra monomi

Differenza

Può essere effettuata solo tra monomi simili

Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la differenza dei coefficienti dei due addendi.

3a-2ax

3a-2a

⅛a-(-√2a)


Propriet delle operazioni somma commutativa associativa esistenza elemento neutro 0 a 0 a

Proprietà delle operazioni

Somma

Commutativa

Associativa

Esistenza elemento neutro 0a+0=a

  • Sottrazione

  • Commutativa

  • Associativa(ab-2ab)-ab ≠ ab-(2ab-ab)

  • Esistenza elemento neutro 0 a-0=a


Calcolo letterale

Operazioni tra monomi

Moltiplicazione

Si può effettuare tra monomi qualunque.

Il risultato è ancora un monomio che ha:

Coefficiente pari al prodotto dei coefficienti

Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei due monomi, con esponente pari alla somma degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori.

(3a) • (2a)

(3ab)•(2a2xy3)

(⅛avn)•(√2ba)


Calcolo letterale

Operazioni tra monomi

Elevamento a potenza (esponente naturale)

Il risultato è ancora un monomio che ha:

Coefficiente pari alla potenza del coefficiente della base

Parte letterale formata da tutte le potenze delle lettere presenti nel monomio che costituisce la base.

(3a2b)3

(⅛√2bwa)1


Calcolo letterale

Operazioni tra monomi

Divisione

Si può effettuare tra due monomi A e B, con B non nullo, se il monomio A contiene tutte le lettere del monomio B ma di grado maggiore o uguale.

Il risultato è ancora un monomio che ha:

Coefficiente pari al quoziente dei coefficienti

Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei due monomi, con esponente pari alla sottrazione degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori.

(2x2):x

:

(2ax):(ax2)

(2ax):(az)


Calcolo letterale

Proprietà delle operazioni

Prodotto

Commutativa

Associativa

Esistenza elemento neutro 1 ax1=a

ax0=0

Legge di annullamento del prodotto

axb=0  (a=0  b=0)

Prodotto e somma

Distributiva ax(b+c) = axb + axc


Calcolo letterale

Proprietà delle operazioni

Divisione

Commutativa

Associativa(8ya3:4y):2a ≠ 8ya3:(4y:2a)

Esistenza elemento neutro 1 a:1=a

0:a=0a:0 IMPOSSIBILE

0:0forma indeterminata

Divisione e somma

Distributiva (a+b):c = a:c + b:c

Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c

Divisione e prodottoa:(bc) ≠ (a:b)c


Propriet delle operazioni elevamento a potenza

  • ab ac = ab+c

  • ab : ac = ab-c

  • (ab) c = abc

  • abcb = (ac)b

  • ab : cb = (a:c)b

Proprietà delle operazioni

Elevamento a potenza


Esercizi

Calcolareper a=2 e b=-3.

+

Esercizi


Esercizi1

Esercizi


Calcolo letterale

2x2y

a2b3

mcm e MCD

Si dice divisore di un monomio A ogni monomio B tale che la divisione di A per B dà come risultato un monomio.


Calcolo letterale

mcm e MCD

Il massimo comune divisore tra due monomi A e B, MCD(A,B), è ogni monomio C tale che:

C è divisore sia di A che di B

ogni altro monomio D che divide sia A che B ha grado minore o uguale a quello di C.

½x2z2a

-4x2yz3t

3x2y2z


Calcolo letterale

mcm e MCD

Considerare una sola volta tutte le lettere comuni ai vari monomi.

Scegliere come esponente il più piccolo con cui quella lettera compare.

Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0.

½x2z2a

-4x2yz3t

3x2y2z


Calcolo letterale

2x2y

Il minimo comune multiplo tra due monomi A e B, mcm(A,B), è ogni monomio non nullo C tale che:

C è multiplo sia di A che di B

ogni altro multiplo D comune ad A e B ha grado maggiore o uguale a quello di C.

mcm e MCD

Si dice multiplo di un monomio A non nullo ogni monomio B tale che B=A•C, dove C è un monomio.


Calcolo letterale

mcm e MCD

Considerare una sola volta tutte le lettere comuni e non comuni ai vari monomi.

Scegliere come esponente il più grande con cui quella lettera compare.

Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0.

½x2z2a

-4x2yz3t

3x2y2z


Esercizi2

Calcolare il m.c.m. ed il M.C.D tra i seguenti monomi:

Esercizi


I polinomi

I polinomi

I polinomi sono espressioni composte dalla somma di monomi.

A=(B+b)h/2

A=2(b+h)


I polinomi1

I polinomi

Un polinomio si dice ridotto in forma normale quando vi compaiono solo monomi ridotti in forma normale e non compaiono monomi simili.


I polinomi2

I polinomi

Un polinomio ridotto in forma normale si dice omogeneo quando i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado.


I polinomi3

I polinomi

2a+4c2h-7qs3i24c2h-7s3i2q+2a

Si dicono uguali due polinomi ridotti in forma normale tali che ogni monomio del primo polinomio compare anche nel secondo.


I polinomi4

I polinomi

Si dicono opposti due polinomi composti dallo stesso numero di monomi e tali che per ogni monomio del primo, il secondo polinomio contiene il suo opposto.

2a+4c2h-7qs3i2-4c2h+7s3i2q-2a


I polinomi5

I polinomi

Si dice nullo il polinomio composto dal solo monomio nullo.


I polinomi6

I polinomi

Dato un polinomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua lettera il massimo esponente che assume questa lettera nei monomi che compongono il polinomio.

2a+4a2h-7qa3i2

Si dice grado complessivo (o assoluto) del polinomio il massimo dei gradi complessivi dei vari monomi che lo compongono.


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Somma

Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio.

Si scrive un unico polinomio ottenuto sommando i vari addendi e poi si riducono gli eventuali termini simili.

3a+2ax

-3ax+2ab-⅝b

⅛b-√2a-7ab


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Differenza

Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio.

Si ottiene sommando al polinomio A l’opposto del polinomio B.

-3ax+2ab-⅝b

⅛b-√2a-7ab


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Moltiplicazione

Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio.

Si effettua ricorrendo alla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e poi riducendo eventuali termini simili.

a2+ab-b

a-3b


Operazioni tra polinomi moltiplicazione l importanza delle parentesi

(x+1)(x+2)

x+1(x+2) = x2+2x+x+2

Operazioni tra polinomi

Moltiplicazione

L’importanza delle parentesi


Esercizi3

Esercizi

Verificare la seguente identità


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Potenza di un polinomio

Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio.

L’operazione è generalmente lunga e complessa ma ci sono alcuni casi particolari che consentono di semplificare l’operazione.


Operazioni tra polinomi prodotti notevoli quadrato di un binomio a b 2 a 2 b 2 2ab

Operazioni tra polinomi

Prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

(a+b)2=a2+b2+2ab

b

a

a+b

a

b


Operazioni tra polinomi prodotti notevoli cubo di un binomio a b 3 a 3 b 3 3a 2 b 3ab 2

Operazioni tra polinomi

Prodotti notevoli

Cubo di un binomio

(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2


Operazioni tra polinomi prodotti notevoli somma per differenza a b a b a 2 b 2

Operazioni tra polinomi

Prodotti notevoli

Somma per differenza

(a+b)●(a-b)=a2-b2


Esercizi4

Esercizi

Verificare la seguente identità


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Divisione per un monomio non nullo

Si può eseguire in modo esatto quando il monomio divide tutti i monomi che compongono il polinomio.

Il risultato si ottiene applicando la proprietà distributiva della somma rispetto alla divisione

x2

3x3-4a2x2+¼x4a


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Divisione tra due polinomi P e D (non nullo)

Si dice quoziente della divisione l’espressione letterale Q tale che P=Q●D.

In generale Q non è un polinomio.

a+b2ax

Se D è un divisore di P allora Q è un polinomio.

ax-3a+2x-6a+2


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Divisione tra polinomi in una variabile

Dati due polinomi P e D nella stessa variabile e tali che P sia di grado maggiore rispetto a D, la divisione

può essere effettuata in modo esatto quando esiste un polinomio Q tale che P=Q●D.

può essere effettuata con resto quando esistono due polinomi Q e R tali che P=Q●D+R.

R è di grado inferiore a P


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Divisione tra due polinomi in una variabile

Ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado della variabile.

Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo.

(2x4+3x3-x2+x+2):(x2+x-3)

(2a2-3a3-a4+2):(-3+a2-a)

(3x3y3-3x2y2+1):(xy-2)


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Divisione tra due polinomi in più variabili

Scegliere una lettera e ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado di quella variabile.

Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo.

(2x3-3ax2-4a3+2xa2):(a+x)


Calcolo letterale

Operazioni tra polinomi

Teorema di Ruffini

Il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado (x-a) è dato da P(a).

Esempi:

(a2-2a+1):(a+2)

(x3y3-2x2y2+xy):(xy-3)


Calcolo letterale

Ogni valore della variabile che rende nullo il polinomio è detto radice o zero del polinomio.

Operazioni tra polinomi

Teorema di Ruffini

Un polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x-a) se e solo se P(a)=0.

Esempi:

(a2+2a+1):(a+1)

(x3y3-2x2y2+xy):(xy-1)


Esercizi5

Esercizi

Determinare quoziente e resto


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Un polinomio si dice riducibile se può essere espresso come prodotto di polinomi di grado inferiore.

Altrimenti il polinomio si dice irriducibile.

Scomporre in fattori significa trasformare in un prodotto.

Si può scomporre un polinomio mediante:

Raccoglimenti

Prodotti notevoli

Teorema di Ruffini


Calcolo letterale

ax(b+c) = axb + axc

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti

Si sfrutta la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Consiste nel raccogliere i fattori comuni ai vari monomi che compongono il polinomio.

E’ conveniente mettere in evidenza il MCD.


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti

kx2+k2x-k3xy+k4

-3x2a3y15+x3a2y5z+4a2x2

3x(a-b)+5(a-b)+7y(a-b)


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti successivi o parziali

Se i vari monomi che compongono il polinomio non hanno fattori comuni possiamo vedere se il polinomio può considerarsi come somma di polinomi che hanno fattori comuni e procedere a raccoglimenti parziali. Poi valutare se i termini ottenuti hanno fattori comuni e raccogliere.

3ax-3xb+5a-5b+7ay-7yb


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Raccoglimenti successivi o parziali

am-bm-cm+an-bn+cn-ad+bd-cd

x2a3-x3a2+3a-3x


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Prodotti notevoli

Si tratta di riconoscere lo sviluppo di un prodotto notevole e scriverlo come prodotto o potenza.


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Prodotti notevoli

9a2+12ab+49b2

8a3-36a2b+54ab2-27b3

-a4b6+100a6b8

-x3a3+3x2a2b-3xab2+b3

81c4+18c2b2+b4

a4-2a2b2+b4-c2


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Prodotti notevoli e raccoglimenti

3a3-2a2-3a+2

a2-b2+a3b2-a2b3+ax-bx


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

Quando il polinomio da scomporre è in una variabile si può provare a vedere se è divisibile in modo esatto per un binomio di primo grado nella stessa variabile, usando il Teorema di Ruffini.

Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0.

Infatti, se P(a)=0 allora P(x)=Q(x)(x-a).


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

Il problema si riduce nel trovare un numero a tale che P(a)=0.

Il valore di a deve essere cercato tra i divisori del temine noto o tra i suoi rapporti con i divisori del coefficiente del termine di grado massimo del polinomio.


Scomposizione in fattori di un polinomio teorema di ruffini 6x 3 2x 2 x 12 1 2 3 4 6 12

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

6x3+2x2-x+12

±1±2±3±4±6±12


Calcolo letterale

Scomposizione in fattori di un polinomio

Teorema di Ruffini

x+4x3+1

2x3-2x2-3x-2

x2y2 -11xy+30

x3+5x2+6x


Calcolo letterale

mcm e MCD

Il massimo comune divisore tra due polinomi A e B, MCD(A,B), è ogni polinomio C tale che:

C è divisore sia di A che di B

ogni altro polinomio D che divide sia A che B ha grado minore o uguale a quello di C.


Calcolo letterale

mcm e MCD

Per calcolare il massimo comune divisore tra due polinomi A e B si devono

scomporre in fattori i due polinomi

prendere i fattori comuni ai due polinomi col minimo esponente

moltiplicare i termini ricavati

4x2-1

4x2+4x+1

4x2+2x


Calcolo letterale

mcm e MCD

Il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B, mcm(A,B), è ogni polinomio C tale che:

C è multiplo sia di A che di B

ogni altro multiplo D comune ad A e B ha grado maggiore o uguale a quello di C.

½x2z2a

-4x2yz3t

3x2y2z


Calcolo letterale

mcm e MCD

Per calcolare il minimo comune multiplo tra due polinomi A e B si devono

scomporre in fattori i due polinomi

prendere i fattori comuni e non comuni ai due polinomi col massimo esponente

moltiplicare i termini ricavati

4x2-1

4x2+4x+1

4x2+2x


Esercizi6

Determinare mcm e MCD

Esercizi


Le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche

Un rapporto tra due polinomi A e B, di cui B non nullo, è detto frazione algebrica.


Le frazioni algebriche1

Le frazioni algebriche

Il denominatore di una frazione algebrica non può essere nullo, dobbiamo quindi capire quali valori fanno perdere significato all’espressione.

L’insieme dei valori per cui la frazione algebrica ha significato (che non annullano il denominatore) si chiama dominio.


Le frazioni algebriche2

Le frazioni algebriche


Le frazioni algebriche3

Le frazioni algebriche

Due frazioni algebriche sono equivalenti quando assumono il medesimo valore per tutti i valori per cui hanno entrambe significato.


Le frazioni algebriche4

Le frazioni algebriche

E’ possibile semplificare una frazione algebrica dividendo numeratore e denominatore per uno stesso termine non nullo.


Le frazioni algebriche5

Le frazioni algebriche

Una frazione algebrica in numeratore e denominatore hanno almeno un fattore comune si dice riducibile.

Altrimenti si dice irriducibile.

E’ bene dividere numeratore e denominatore per il loro MCD.

Dopo aver diviso per il MCD la frazione si dice ridotta ai minimi termini.


Calcolo letterale

Operazioni tra frazioni algebriche

Moltiplicazione

Il risultato è ancora una frazione algebrica avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Per eseguire la moltiplicazione si deve:

Valutare il dominio delle frazioni

Eseguire il calcolo

Ridurre ai minimi termini


Operazioni tra frazioni algebriche moltiplicazione

Operazioni tra frazioni algebriche

Moltiplicazione


Calcolo letterale

Operazioni tra frazioni algebriche

Elevamento a potenza

L’esponente si applica sia al numeratore che al denominatore.


Operazioni tra frazioni algebriche elevamento a potenza

Operazioni tra frazioni algebriche

Elevamento a potenza


Calcolo letterale

Operazioni tra frazioni algebriche

Divisione

Data una frazione algebrica , la sua inversa è quella frazione algebrica che moltiplicata per la prima dà 1.

Il quoziente di due frazioni algebriche A e B, con B non nulla, si calcola moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda.


Operazioni tra frazioni algebriche divisione

Operazioni tra frazioni algebriche

Divisione


Calcolo letterale

Operazioni tra frazioni algebriche

Somma e sottrazione

Si opera come nella somma di frazioni numeriche.


Esercizi7

Esercizi


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