Ch 2

1. Ch 2 환경공학과 200911543 김정수

2. 200911543 김정수 1. 정지유체내의 임의 점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대하여 동일한 값을 갖는다는 것을 증명하라.

3. 이러한 사실을 입증하기 위하여 정지유체내의 한 점 (x,y)에서 단위 폭을 갖는 쐐기모양의 자유물체를 택하여 이것에 대한 힘의 평형을 생각하여 본다 • 이 경우 전단력은 작용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y 방향의 운동 방정식은 각각 다음과 같이 표시된다.

4. 쎄타를 임의의 각으로 택하였으므로 위의 식은 정지유체 내에서 한 점에 작용하는 압력은 모든 방향에서 같음을 증명해 주고 있다.

5. 2. 압력에 대한 식을 다음의 2가지 방법으로 설명하라. • 1) 오일러 방정식을 유도하여 압력식을 설명하는 방법. • 정지유체내의 요소에 작용하는 힘은 표면력(surface force)과 체적력(body force)으로 구성된다.

8. 이 간단한 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다. 균질, 비압축성유체에서는 r가 상수이므로 식 (2)을 적분하고 적분상수를 c라 하면 아래의 식과 같이 된다. P=-ry+c • 압압력변화에 관한 정수역학적 법칙은 흔히 다음 형태로 쓰고 있다. P=rh (3) • 여기서, 는 자유표면으로부터 수직하향 깊이 이고 는 자유표면에서의 압력보다 증가된 압력의 크기를 나타낸다. 이 압력은 정수압력(hydrostatic pressure)이라 말한다. 식 (3)은 윗면이 자유표면과 일치하고 높이가 인 액체기둥을 자유물체로 택하여 평형방정식을 적용함으로써 유도할 수도 있다.

9. 2) 물의 무게로부터 압력식을 유도하는 방법 • 물에 잠겨있는 물체에 작용하는 수직력은 물체 상부에 위치한 물의 무게와 같다. 물체가 잠겨있는 수심을 h, 물체의 수평단면적은 A라고 하면 물의 무게는 다음과 같다. W=phAg • 압력은 단위면적당 수직력이므로 위의 식을 단면적 A로 나누면 압력에 대한 식은 다음과 같다. P=rh

10. 3. 표준대기에서 압력식을 유도하라. • 정지유체내의 요소에 작용하는 힘은 표면력과 체적력으로 구성된다(그림 2.2). 체적력으로서 중력만이 작용한다고 가정할 때, 연직 상 방향을 y축으로 택하면 체적력은 y방향으로 -rδxδyδ z가 작용한다. 중심 (x, y, z)에서의 압력을 p라 할 때 y축에 수직하고 원점에 가장 가까운 면에 작용하는 힘은 근사적으로

14. 압력변화에 관한 정수 역학적 법칙은 흔히 다음 형태로 쓰고 있다. p=rh (2.2.8) • 여기서 h는 자유표면으로부터 수직하향 깊이(h=-y)이고 p는 자유표면에서의 압력보다 증가된 압력의 크기를 나타낸다. 이 압력은 정수압력이라 말한다. 식 (2.2.8)은 윗면이 자유표면과 일치하고 높이가 인 액체기둥을 자유물체로 택하여 평형방정식을 적용함으로써 유도할 수도 있다.

15. 4. Explain the theory and relevant equation of micromanometer. • 마이크로나노미터는 유속측정 장치이다. 압력에 의해 밀려 올라간 액체 기둥의 높이를 측정하여 그에 상응하는 압력을 측정하는 장치이다. U자관 마노미터와 웰(well)형 마노미터가 있다. 기준 압력과 재고자 하는 압력의 차이를 측정한다. U자관 마노미터는 U자 모양으로 구부린 원관 내에 밀도를 알고 있는 액체를 넣어 한끝은 기준압력(보통 대기압)에 노출시키고 한끝은 측정하고자 하는 압력원에 연결시켜서 압력차에 의하여 밀려올라간 액체의 높이를 측정하여 압력으로 환산한다. U자관 대신 한 개의 유리기둥을 액체가 담겨 있는 용기에 세워 놓은 웰(well)형 마노미터는, 용기에 작용하는 압력의 크기에 따라 유리기둥 내의 액체의 높이가 달라지는 것을 이용하여 압력을 측정하는 장치이다. U자관과 달리 높이 차이를 읽을 필요가 없이 한 개의 액체 기둥의 높이만을 읽으면 되므로 편리하다. 또 작은 압력도 쉽게 측정하기 위하여 유리기둥 중 한 개를 비스듬히 세워 놓아 작은 압력 변화에도 액체 기둥의 길이가 많이 변하도록 한 경사 마노미터(inclined manometer)가 있다.

16. 5. 다음과 같이 간단한 면적들에 대한 관성모멘트를 구하라.

20. 6. 경사진 면에 대하여 x, y축에 대한 압력중심을 유도하라. • 그림 2.11에서 생각하고자 하는 한경사평면을 으로 표시하여 놓았다. 이평면은 수평과 〫의 각을 이룬다고 가정한다. 경사편면과 자유표면의 교선을 축으로 하고 축은 그림과 같이, 축 상의 임의점을 원점 0으로 하여 축에 수직하게 경사면상에 선택하면, 생각하고자 하는 경사면은 평면상에 포함된다. 액체에 의해 한쪽 면에 작용하는 합력의 크기, 방향, 작용선들이 이 좌표계에 관해서 얻어질 수 있다.

22. 7. 압력프리즘을 이용하여 합력의 크기와 작용점을 구하는 방법을 설명하라. • 압력프리즘이란 주어진 작용면을 밑면으로 하고, 평면의 임의점에서의 높이를 압력 로 하는 프리즘형 부피를 말한다. 여기서, h는 밑면의 임의면으로부터 자유표면까지의 연직거리이다(그림 2.13).(실제로 자유표면이 존재하지 않을 때는 를 정의하기 위하여 가상자유표면을 사용할 수 있다.)

24. 8. 인터넷에서 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구좌표계 등이 정의에 대한 정보를 검색하여 설명하라. • 직교좌표계 직교 좌표계, 혹은 좌표평면은 임의의 차원의 에우클레이데스 공간 을 나타내는 좌표계의 하나이다. 이를 발명한 프랑스의 수학자 데카르트의 이름을 따 데카르트 좌표계라고도 부른다. 직교 좌표계는 극좌표계 등 다른 좌표계와 달리, 임의의 차원으로 쉽게 일반화할 수 있다. 직교 좌표계는 나타내는 대상이 평행이동에 대한 대칭을 가질 때 유용하나, 회전 대칭 등 다른 꼴의 대칭은 쉽게 나타내지 못한다. 일반적으로, 주어진 에우클레이데스 공간에 기저와 원점이 주어지면, 이를 이용하여 직교 좌표계를 정의할 수 있다. • 원기둥좌표계 정의점이 XY 평면에서 투영된 길이와 각도, 그리고 XY평면에서 정의점까지의 높이로 구성. 2D에서의 극 좌표에 높이(Z축)이 추가된 것으로 보면됨. • 구좌표계 좌표계의 원점에서 정의된 점이 XY평면에서 투영 된거리와 X축으로부터의 각도, 그리고 XY평면과 정의점을 잇는 직선과 이루는 각도로 표현. 극좌표를 2번 사용한 것과 같다.

25. 9. 다음 그림과 선형등가속도 운동을 가지는 유체에 대하여 자유수표면에 대한 식을 유도하라. • 그림 2.33과 같이 선형 등가속도 로 가속되는 경우를 생각하자. 얼마의 시간이 지나면 액체는 가속도와 평형이 되어 고체와 같이 운동한다. 즉, 임의의 두 입자 사이의 거리가 일정하게 유지되어 전단응력이 발생하지 않는다. y를 연직축, x축을 수평축으로 설정하여 가속도 a가 xy평면에 놓이도록[그림 2.33(a)] 그리고 축을 에 수직하게 택하여 이 방향의 가속도성분이 존재하지 않도록 직교 좌표계를 설정하고 식 (2.2.5)를 이 경우에 적용하면

29. 11. 다음 그림과 같이 연직축에 대하여 회전 운동을 하는 유체에 대하여 자유 수표면에 대한 식을 유도하라. 그림 2.36(a)의 좌표계에서 r방향 단위 벡터를 i, 연직 상방의 단위벡터를 j 그리고 회전축을 y로 취하고 식(2.2.5)를 적용하면 유체 속에서의 압력변화를 얻을 수 있다.