1 / 26

Matematika és tapasztalat 2.

Matematika és tapasztalat 2. A véletlentől a statisztikus világig. A matematika forradalma. A tizenhetedik század során alapvető átalakuláson megy át a matematika növekvő igények, egyre több diák algebra terjedése

nile
Download Presentation

Matematika és tapasztalat 2.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Matematika és tapasztalat 2. A véletlentől a statisztikus világig

  2. A matematika forradalma • A tizenhetedik század során alapvető átalakuláson megy át a matematika • növekvő igények, egyre több diák • algebra terjedése • a hivatásos számolómesterek mellett megjelennek a pénzügyileg nem érdekelt „műkedvelők” • jellemző a különbség pl. Faulhaber és Descartes között

  3. „Csoda” helyett rendszer • Tipikus szemlélet: matematikai gyönyörök kertjének még le nem szakított kis virágocskái • E helyett Descartes: pár szabály, feladatok tipizálása, a matematikai tudás, mint a bizonyossághoz vezető út.

  4. A matematika mint hatalom • A tudományos diskurzusban a matematika, az egzaktság retorikai előnyt is jelent • Newton: prizmakísérletiben fokperc pontossággal adja meg a prizmák törési szögeit, holott a kor prizmái nem mérhetők ilyen pontossággal, sőt, a Nap mozgása nagyságrendekkel nagyobb pontatlanság forrása • Mindmáig „hat” ez a hozzáállás reklámokban, ismeretterjesztő munkákban, stb.

  5. A statisztikus-valószínűségi gondolkodási stílus megjelenése • Ma egészen természetes: reklámok, hírek, stb. matematikai kultúránk alapvető része • régen, pl. egy görög számára, teljesen ismeretlenek voltak az erre vonatkozó fogalmak • egyfajta „gondolkodási stílus” (Ian Hacking): az újkorban jelent meg  új fogalmi lehetőségek • „valószínűség” fogalma: kb. 1660-as évek • statisztikus gondolkodás: 19. sz. első fele: alapos forradalom, átalakítva a 20. sz-i gondolkodást

  6. A véletlen matematikájának születése • Első kérdések (16. sz.): szerencsejátékok (Cardano) • 1654: De Méré lovag kérdése Blaise Pascalhoz:osztozkodási probléma (megszakított játék) • 7 levél Pascal és Pierre Fermat között: megteremtik a valószínűségszámítás klasszikus alapjait • klasszikus megközelítés: ha egy játéknak m egyenlően valószínű kimenete van, és ebből n nyerő, akkor a nyerés valószínűsége n/m • ezt aztán „tapasztalatilag” is igazolják: egy játék sokszori megismétlése azonos körülmények között

  7. „Vizsgáljuk hát meg ezt a kérdést, és állapítsuk meg: »Vagy van Isten, vagy nincs.«… E végtelen távolság legvégén szerencsejáték folyik, s az eredmény fej vagy írás lesz. Melyikre fogad maga? … Mérlegeljük, mit nyerhet vagy veszíthet, ha fejre, vagyis arra fogad, hogy van Isten. Értékeljük ezt a két eshetőséget: ha nyer, mindent megnyer; ha veszít, semmit sem veszít… Minthogy egyforma a nyerés és vesztés esélye, még akkor is fogadhatna, ha csupán két életet nyerhetne egy ellen; ha pedig három életet nyerhetne, akkor már feltétlenül bele kellene mennie a játékba (hiszen úgyis kényszerítve van rá)… Ám itt az örök élet és az örök boldogság a tét… Így ez már nem is fogadás: ahol a végtelen forog kockán, és nem áll szemben végtelen számú vesztési esély a nyerési eséllyel, nincs helye a mérlegelésnek, mindent fel kell tennünk.” (Pascal: Gondolatok, 233.§)

  8. Pascal valószínűségi istenérve • Mire érdemes fogadni: van Isten vagy nincs? • 1. fogadás: van • 1/a: ha tényleg van, akkor végtelen a nyereség (üdv.) • 1/b: ha nincs, akkor véges veszteség: tévedésben élek • 2. fogadás: nincs • 2/a: ha tényleg nincs, akkor véges nyereség: élvhajhászat • 2/b: ha van, akkor végtelen veszteség: kárhozat • Σ: végtelen nyereség / véges veszteség a véges nyereség / végtelen veszteséggel szemben a hülyének is megéri Isten létére fogadni

  9. A val.szám. korai története • a Pascal-Fermat levelezés híre gyorsan terjed • Christiaan Huygens, 1657: De Ratiociniis in Aleae LudoAz alapok + 14 probléma megoldással (5 m. nélkül) kb. 50 évre minden hasonló témájú munka alapjául szolgál • Pepys Newtonhoz 1693. november 22 (29 évesen megtanul szorozni) • „A — 6 kockája van egy dobozban, amellyel egy hatost dob. • B — egy másik dobozban 12 kockája van, amellyel 2 hatost dob • C — egy másik dobozban 18 kockája van, amellyel 3 hatost dob • K[érdés]: egyforma szerencsét feltételezve B-nek és C-nek ugyanolyan könnyű dolga van-e mint A-nak?”[i] • Newton elmagyarázta miért A-nak a legjobbak az esélyei és megadta Pepysnek egy 1000 fontos fogadás esetén a pontosan várható nyereményeket fontban, shilligben és pennyben.

  10. Politikai és orvosi aritmetika • egy másik vonal: halálozási adatok • Jacob Bernoulli, 1713 (1690): Ars Conjectandiszerencsejátékok, halálozási jegyzékek + permutáció, kombináció, binomiális tétel, nagy számok törvénye • Centralizált fellépés járványok ellen: ismertetők, táblázatok, karantének, pestisdoktorok • 1662 John Graunt: Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality. London lakossága, katonaképes férfiak száma, legveszélyesebb betegségek, gyermekhalálozás. • fél évszázados adatsorok elrendezése, általános tanulságok • biztosítási matematika alapjai, adózás, statisztika, stb. • 1720 James Jurin. Himlőoltás (himlős sebből emberi sebbe kenet). A Philosophical Transactions-ben és egyéb helyeken hirdetések – adatok, ki mit tud. Európaszerte sokan válaszolnak: milyen veszélyes az oltás 1: 90 vs.1: 7,5 • Később adótáblázatok, születési adatok használata is. • Orvosoknál levelezési láncok –orvosi és betegadatok. • Kórházi szülés (fogó), bábaiskolák

  11. A valószinűségi érvelés • 1710 John Arbuthnot „Argument for Divine Providence” • Londonban az ezt megelőző 82 évben mindig több fiú született, mint lány. • Egyenlő esély feltételezése esetén ennek a valószínűsége 1/(2^82) • Ez olyan kicsi szám, hogy minden bizonnyal a gondviselés a felelős • ez a reductio ad absurdum érvelési forma elterjed

  12. Georges-Louis de Buffon • Hogy a hat bolygó mind egy irányban kering: 1/26, vagyis 1/64. Ez valószinűtlen, így valószínű, hogy Buffon üstököselmélete helyes (ez szakította ki a napból a bolygókat) • Matematika bizonyosság (nincs bizonytalanság) • Morális bizonyosság (1/10 000 a tévedés val.) • Fizikai bizonyosság: ki kell számolni!! • pl. mi az esélye, hogy egy 56 éves férfi meghal a következő 24 órában?

  13. A napfelkelte valószinűsége 1777 Essai d’arithmétique morale • Gondolatkísérlet – felnőtt minden korábbi érzékelés nélkül • Meglátja a napot, az azonban eltűnik • Milyen biztos abban, hogy újra fogja látni? ½ • Ahogyan telnek a napok egyre több adata van, egyre bizonyosabb, hogy újra fel fog kelni a nap • 6000 év alatt 2 190 000-szer (n) látta • a valószínűség, hogy újra látja: 2n-1 az 1-hez.

  14. A véletlen a 18. században • Csak egy puszta szó, de semmit sem jelent • De Moivre, 1738 (1711, 1756): Az esélyek tana„A véletlen szónak esztétikai értéke van, de különben minden jelentést nélkülöz. A létezés semmilyen módozatával nem áll kapcsolatban, sem magával a létezéssel, sem pedig a nemlétezéssel; sem meghatározni, sem megérteni nem lehet, és nem lehetséges a rá vonatkozó kijelentéseket sem igazolni, sem cáfolni, kivéve ezt: ‘Ez nem több, mint egy puszta szó.’” • David Hume, 1739: Értekezés az emberi természetről„Általánosan elfogadott, hogy semmi sem létezik ok nélkül, és a véletlen, ha szigorúan megvizsgáljuk, egy pusztán negatív szó, és semmi olyan valódi erőt nem jelent, amely bárhol is létezne a természetben.” •  a determinisztikus világban nincs helye

  15. A statisztikai forradalom • P.-S. Laplace, 1814: Filozófiai értekezés a valószínűségről„Minden esemény, még ha olyan jelentéktelen is, hogy látszólag nem követi a természet törvényeit, valójában ugyanolyan pontossággal következik belőlük, mint a nap keringései.” nála az észlelési hibák kezelésére kell a val.szám.: a dolog a tudatlanságunk mértékével áll kapcsolatban • C.S. Peirce, 1893: „Válasz a szükségszerűség híveinek”„A véletlen beszivárog az érzékelés minden útján: minden dolgok közül ez a legszembeötlőbb. A legnyilvánvalóbb szellemi meglátásunk az, hogy a véletlen abszolút. Hogy létező, élő és tudatos – ezt még a racionalitás unalmas önképének is aligha van mersze tagadni.” • Hát elég sok minden történt a közben eltelt időben...

  16. „Statisztika” • a szó eredeti jelentése: olyan adatgyűjtés, amely az állam politikai és gazdasági érdekeit szolgálja • Poroszország, 18. sz.: központi statisztikai hivatal korábbi népszámlálások: gyarmati kolóniák (16. sz-tól) • Félig öncélú adatgyűjtés (Leibniz): emberek száma nem szerint, társadalmi rang szerint, fegyverviselésre képes férfiak száma, házasságképes nők száma, népességsűrűség és -eloszlás, gyermekhalandóság, várható élettartam, betegségek eloszlása, halálozási okok, stb. (56 kategória) átfogó és részletes népszámlálások (egyre többkategória) • 1733: az adatokat titkosítják (az ellenségnek segítség) • század második fele: a statisztika amatőr hobbi lesz, majd sorra jönnek létre a helyi statisztikai intézetek

  17. „Statisztikus” törvények • Kell hozzá rengeteg adat: Napóleon államszervezete iszonytató mennyiségűt produkál • Kell hozzá a társadalmi törvény fogalma: a francia Felvilágosodás racionalista hagyományában a természetet a természet törvényei, az emberi természetet saját törvényei igazgatják • Kell hozzá egy induktivista szemlélet: adatokból általánosítás programja  „törvények” • + a matematika alkalmazása: Laplace és Gauss: a hibák „normál-eloszlást” mutatnak sok társadalmi adat is  az „emberi természet” fogalmát felváltja a „normális ember” fogalma

  18. Néhány alkalmazás • Orvostudomány: statisztikus betegség-törvényekEgy brit bizottság, 1825: „Megállapítható a betegség mennyisége, melyet egy átlagos egyén évente átél 20 és 70 éves kora között.” • Empirikus szociológia születésePl. öngyilkossági adatok (orvosok gyűjtik, mert az őrültség egy fajtája)  az életszínvonal számszerű indikátora • Bűnüldözés: a bűnözési statisztikák meglepő állandósága a törvényalkotásnál is figyelembe kell venni a devianciát • Bíróságok összetételeCondorcet, Laplace: a bírósági tévedés valószínűségének a priori meghatározása (pl. 7-5 arányú döntés: 1/4 a tévedés esélye)  statisztikai adatok: biztosabbá teszik a képet

  19. „Számokba fojtva” • Charles Babbage, 1832:„ Pillanatnyilag a legszükségesebb, kollektív erőfeszítéséket igénylő tudomány, amely a legtöbb hasznot fogja hozni… az, amelyet úgy kellene nevezni, hogy ‘A természet és a művészet állandói’. Ennek kell tartalmaznia mindazokat a tényeket, melyek számokkal kifejezhetők.” • Babbage 19 állandó-kategóriája:Naprendszer állandói; atomsúlyok; fémek adatai; optikai tulajdonságok; állatfajok számai; emlősök adatai; emberek adatai; emberek munkavégző-képessége; növények; földrajzi eloszlások; légköri jelenségek; anyagok; sebességek (pl. madarak, nyíl, fény); földrajzi adatok; népességek; épületek; súlyok és mértékek; betűk előfordulásai különböző nyelvekben; könyvtári könyvek, egyetemi hallgatók, intézeti dolgozók, stb. száma

  20. A mérték és mérés világa • Az egész világ számokban kifejezhető • Figyelem: ez nagyon messze van akár a 17. sz. geometriai felfogásától!!!  mérés, mérték alapvető • 18. sz.: rengeteg különböző mértékrendszer (pl. Franciaország: kb. 800, összesen kb. 250000 variánssal (?)) • 1790: Súly- és Mértékügyi Bizottság (Lagrange, stb.)  SI • a fizikai világ számszerű viszonyai matematikai viszonyokkal visszaadhatók, pl: (testek, könnyebb, additivitás — valós számok, kisebb, összeadás)  a kettő között  homomorfizmus

  21. A statisztikus perspektíva • A számokba fojtott világ statisztikailag értelmezhető: • nemcsak szociológia, kriminológia, stb, hanem • statisztikus fizika: Maxwell, Boltzmann az „atomok társadalma” segítségével újraértelmezi a klasszikus fizikai fogalmakat • evolúcióelmélet • stb… • 20. sz.: kvantumfizika  a világ eleve nem determinisztikus

  22. Az ember mérése • Szemben a szimmetriaviszonyok, stb. mérésével (ld. Dürer) – a tizenkilencedik század az emberi teljesítményt (is)kezdte kvantifikálni • gyárak (munkaidő, teljesítmény, táplálék) • megfigyelések pontossága (obszervatóriumok, stb.)

  23. Reakcióidő-mérés • 1796 Newill Maskellyne királyi csillagász kirúgja segédét, mert 800 msec-es késéssel jelezte a csillagok áthaladását a greenwichi obszervatórium felett • „az áthaladás megítélésén múlt a greenwichi óra működése, az óra működésétől függött a hosszúsági fokok beállítása, s a hosszúsági fokoktól függött a Brit birodalom”

  24. Bessel, 1820 • Csillagászok leolvasási idejeinek szisztematikus összevetése: szisztematikus eltérések • személyi egyenlet: A-S=0,202 • (Algerander átlagosan 0,202 mp-vel később látta az áthaladást, mint Strube) • De mi volt a valódi áthaladás? Nincs „biztos pont”

  25. A kronoszkóp / kronográf • Mesterséges „időgenerálás” • csillagáthaladások mesterséges modellhelyzetei • de ki kell zárni az egyéb hatásokat (ezek növelik a reakcióidőt és a készülék maga is hangot ad…) • személy-egyenlet, hangszigetelő fülke – a kísérleti pszichofizika megszületik

  26. Irodalom • Ian Hacking: The Emergence of Probability. • Ian Hacking: The Taming of Chance. • Loveland, J. Buffon, the Certainty of Sunrise, and the Probabilistic Reductio ad Absurdum. Arch. Hist. Exact Sci. 2001 (55) 465-477 • Pléh Csaba. A lélektan története. 2000. Osiris

More Related