Teoria dos Jogos

1. Teoria dos Jogos Prof. João Carlos jc.braganca@gmail.com

2. Objetivos • Definir o que é um jogo e delinear sua potencialidade no processo de interação estratégica • Tratar especificamente da modalidade deJogos Não-cooperativos (Estáticos e Dinâmicos) em estratégias puras com informação completa.

3. Jogo: Teoria da Decisão Interativa • Mas-Collel et. al. (1995) definem um jogo como “uma representação formal de uma situação onde um número de indivíduos interagem em um cenário de interdependência estratégica” (p.219), i.e., o bem-estar de cada um depende não apenas das próprias ações, mas também das ações dos demais envolvidos. Assim, a ação ótima em geral dependerá da expectativa sobre o que os demais jogadores irão fazer.

4. Terminologia básica do jogo • Jogador:é o agente econômico que busca obter o melhor resultado possível no processo de interação estratégica (maximização da utilidade). • Ação (decisão ou movimento):é a escolha do jogador. Cada jogador tem um conjunto de ações possíveis, ou seja: ➨Jogadores ( j ) = 1, 2, ..., n ➨Conjunto de ações do j-ésimo jogador Cj = { cj } • Recompensa (pay-off):resultado decorrente do fim do jogo. É a utilidade que cada jogador atribui as suas estratégias quando tomadas interativamente.

5. Tipos de Jogos • Não-cooperativos: Analisa a decisão de cada jogador sem um acordo prévio. • Cooperativos: Analisa as possibilidades onde alguns ou todos os jogadores chegam a um acordo sobre que decisão tomar.

6. Jogos não-cooperativos • Podem ser divididos ainda em: • Estáticos (ou Simultâneos):situação onde cada jogador toma sua decisão desconhecendo as decisões dos demais jogadores, ou seja, cada agente (jogador) ignora as decisões dos demais, no momento de tomada de sua decisão, sem se preocupar com as conseqüências futuras de sua escolha. a.1) Estratégias puras:o jogador escolhe uma estratégia para jogar do seu conjunto estratégico. a.2) Estratégias mistas: o jogador atribui probabilidades de cada estratégia ser escolhida.

7. Jogos não-cooperativos • Seqüenciais (ou dinâmicos):é o caso em que um jogador conhece a decisão do outro antes de realizar sua própria escolha, ou seja, os jogadores realizam seus movimentos em uma ordem predeterminada. • Observação: O jogador seqüencial tem mais informações que o jogador inicial, ou seja, na decisão seqüencial o jogador que se move inicialmente, e que não finaliza o jogo, tem menos informações no momento de decidir.

8. Jogos não-cooperativos • Os jogos segundo o tipo informação pode ser dividido em: • Informação completa:os jogadores conhecem as conseqüências dos jogos, ou seja, as recompensas (pay-offs) dos jogadores são de conhecimento comum (common knowledge). • Informação incompleta: pelo menos um jogador desconhece as conseqüências da interação estratégica. Isto quer dizer que as características dos jogadores não são de conhecimento comum.

9. Resolução do Jogo Estático • Jogo Estático de informação completa e estratégias puras: • Eliminação interativa de estratégias estritamente dominadas (não resolve todos os jogos); e • Equilíbrio de Nash, ou seja, equilíbrio dado pela combinação estratégica que representa a melhor resposta possível de cada um dos jogadores às estratégias dos demais jogadores (conceito mais geral).

10. Resolução do Jogo Estático • Observações: • As estratégias (linha e coluna) que sobram, através da eliminação das estratégias estritamente dominadas são chamadas deestratégias racionalizáveis. • A hipótese (simplificadora) do conhecimento comum indica que todos os fatos (informações) relevantes para o jogo são mutuamente conhecidos denotando o caráter de informação completa do jogo (os pay-offs são de conhecimento comum).

11. Resolução do Jogo Estático • Observações: • Quando a situação de pelo menos um agente melhora, sem que a situação de nenhum dos outros piore, diz-se que houve umamelhoria paretiana, ou umamelhoria no sentido de Pareto. • Ou seja, se em uma dada situação não for possível melhorar a situação de um agente sem piorar a condição do outro, diz-se que essa situação é um ótimo de Pareto, o que significa que os ganhos de eficiência não são mais possíveis, dadas as condições estabelecidas. • Nem todo equilíbrio de Nash é Pareto eficiente.

12. Jogos Estáticos ou Simultâneos • Exemplo: “o dilema dos prisioneiros” Situação em que dois ladrões foram pegos pela polícia por serem suspeitos de praticar um crime. Para obter a confissão o delegado coloca cada um dos suspeitos em salas separadas, argumentando as conseqüências que se seguirão às ações que eles poderão tomar.

13. Jogos Estáticos ou Simultâneos • Se nenhum confessar, ambos serão condenados a uma pena menor e passarão 1 mês na prisão. • Se os dois confessarem, ambos irão para a cadeia por 6 meses. • Se um confessar, mas o outro não, aquele que confessou será liberado imediatamente (0 mês), mas o outro será condenado por 9 meses de prisão, 6 meses pelo crime e 3 meses por omissão a justiça.

14. Jogos Estáticos ou Simultâneos • Forma matricial (normal ou estratégica)

15. Jogos Estáticos ou Simultâneos • Representação

16. Jogos Estáticos ou Simultâneos • Aspectos importantes da forma normal: • No momento da decisão cada jogador ignora a decisão do outro. • Os jogadores consideram apenas as conseqüências imediatas de suas ações, ou seja, não levam em conta potenciais desdobramentos de suas decisões.

17. Jogos Dinâmicos ou Seqüenciais • Neste caso, os jogadoresnão ignoram as decisões dos demais, ou seja, o processo de interação estratégica se desenrola por meio de ações e respostas sucessivas (característica de grandes empresas que detêm saúde financeira e longa vida econômica). • As escolhas presentes exigem considerar as conseqüências futuras.

18. Resolução do Jogo Dinâmico • Método da indução reversa para identificação do equilíbrio de Nash perfeito em subjogo. • A análise do jogo é de trás para frente, ou seja, dos nós terminais, onde estão os pay-offs até o nó inicial do subjogo total, sempre procurando identificar as melhores opções para cada jogador. • O conceito do E. N., em jogos seqüenciais, deve considerar que os jogadores utilizarão as informações disponíveis no momento de suas jogadas visando o melhor resultado possível, até porque eles são racionais e considerarão todos os desdobramentos possíveis do jogo.

19. Resolução do Jogo Dinâmico • Forma seqüencial (estendida ou árvore de jogos):

20. Resolução do Jogo Dinâmico • Observações: • Subjogo é a parte de um jogo na forma extensiva segundo as condições: a.1) Ele sempre se inicia em um único nó de decisão; a.2) Um subjogo contém sempre todos os nós que se seguem ao nó no qual ele se iniciou (incluindo o nó final); e a.3) Se um subjogo contém qualquer parte de um conjunto de informação, ele conterá todos os nós do conjunto de informação. • O princípio da indução reversa não implica que a combinação de estratégias selecionadas desencadeará um ótimo de Pareto.

21. Resolução do Jogo Dinâmico • Estrutura geral (subjogos e conjunto de informações):

22. Resolução do Jogo Dinâmico • Um equilíbrio de Nash perfeito em subjogo (equilíbrio perfeito de Nash) permite identificar quando uma ameaça (ou promessa) de outro jogador deve, ou não, ser levada a sério. Tal fato acaba por ter grande importância nos processos de interação estratégica.

23. Jogos Dinâmicos ou Seqüenciais • Exemplo: A figura abaixo representa um jogo entre a inovadora (Embraer) e a líder (Bombardier), onde a Embraer decide antes se vai ou não lançar o seu novo jato regional (ERJ-145) e, a partir daí, a Bombardier toma a decisão de manter ou reduzir o preço de seu jato regional (CRJ-100/200).

24. Jogos Dinâmicos ou Seqüenciais • Representação

25. Jogos Dinâmicos ou Seqüenciais • Caso a Embraer decida lançar o ERJ-145 e a Bombardier reduza o preço de seu modelo, cada fabricante receberá $ 2 milhões, uma vez que o mercado será disputado acirradamente.

26. Jogos Dinâmicos ou Seqüenciais • Por outro lado, se nessas circunstâncias a Bombardier decidir manter inalterado o preço de sua aeronave, suas vendas se reduzirão consideravelmente e seus lucros cairão para $ 1 milhão, enquanto que a Embraer ocupará o mercado e verá seu lucro aumentar para $ 4 milhões (supondo que os consumidores tenham um grande interesse por novidades, o que obriga a fabricante estabelecida a competir com novos modelos, ou por meio de redução significativa de preços).

27. Jogos Dinâmicos ou Seqüenciais • A outra possibilidade é que a Embraer decida não lançar o seu modelo. Nesse caso, a decisão da Bombardier de reduzir ou não o preço de sua aeronave vai afetar apenas os seus lucros ($ 3 milhões em um caso e $ 4 milhões em outro). • Atentar que a Bombardier sempre decide depois da Embraer.

28. Considerações Finais • Objetivo geral da apresentação: • Definição de jogo. • Terminologia básica do jogo (Jogador, Estratégia e pay-off). • Tipos de jogos (Cooperativos e Não-cooperativos). • Objetivo específico: • Jogos Não-cooperativos (Estáticos e Dinâmicos) em estratégias puras com informação completa. • Aspectos teóricos e metodológicos relacionado à resolução: • Jogos estáticos (simultâneos). • Jogos dinâmicos (seqüencial). • Exemplos: • Dilema dos Prisioneiros. • Um Novo Lançamento.