Teoria dos grafos
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Teoria dos Grafos. Profª Loana Tito Nogueira. Bibliografia. 1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 1988 2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

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Teoria dos grafos l.jpg

Teoria dos Grafos

Profª Loana Tito Nogueira


Bibliografia l.jpg
Bibliografia

1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais.

Editora Campus. 1988

2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos.

Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969.

4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications.

Elsevier, 1976.


Bibliografia3 l.jpg
Bibliografia

1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais.

Editora Campus. 1988

2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos.

Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969.

4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications.

Elsevier, 1976.



Motiva o5 l.jpg
Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

      Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o6 l.jpg
Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o7 l.jpg
Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o8 l.jpg
Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o9 l.jpg
Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.



As pontes de k nigsberg11 l.jpg
As pontes de Königsberg

Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela

Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por

essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região

existiam 7 pontes, como mostra a figura.


As pontes de k nigsberg12 l.jpg
As pontes de Königsberg

Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela

Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por

essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região

existiam 7 pontes, como mostra a figura.


As pontes de k nigsberg13 l.jpg
As pontes de Königsberg

É possível andar por toda a cidade de tal

modo que cada ponte seja atravessada

exatamente uma vez?


As pontes de k nigsberg14 l.jpg
As pontes de Königsberg

Não é possível !!!!!






Remodelando o problema19 l.jpg
Remodelando o problema

O problema agora consiste em percorrer todos os arcos,

passando por cada um apenas uma vez, sem

levantar o lápis do papel.


Teoria de grafos l.jpg
Teoria de Grafos

Na teoria de grafos, um caminho completo com as propriedades descritas acima de não retraçar nenhum arco é chamado de TRAJETÓRIA de EULER


Outro exemplo l.jpg
Outro Exemplo:

Será que existe alguma trajetória de Euler para o

gráfico ao lado? Se existir, como ela é?


Ementa do curso l.jpg
Ementa do Curso

  • Grafos e Subgrafos

  • Árvores

  • Conectividade

  • Ciclo Hamiltoniano e Caminho Euleriano

  • Emparelhamento

  • Coloração de Arestas

  • Conjuntos Independentes e Cliques

  • Coloração de Vértices

  • Grafos Planares

  • Grafos Direcionados


Avalia o l.jpg
Avaliação:

  • Listas de Exercícios

  • 2 Avaliações: PR1 e PR2

  • Trabalho (Alunos de Doutorado)

    PR1: 24/05

    PR2: 17/07

    Final: 19/07





Grafos e subgrafos27 l.jpg
Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos28 l.jpg
Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos29 l.jpg
Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos30 l.jpg
Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos31 l.jpg
Grafos e Subgrafos


Defini o l.jpg
Definição

G=(V(G), E(G), G)


Defini o33 l.jpg
Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices


Defini o34 l.jpg
Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices

Conjunto disjunto de V(G),

chamado arestas


Defini o35 l.jpg
Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices

Função que associa

cada aresta de G um par

de vértices de G

Conjunto disjunto de V(G),

chamado arestas


Defini o36 l.jpg
Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices

Função que associa

cada aresta de G um par

de vértices de G

Conjunto disjunto de V(G),

chamado arestas

Se e=(u,v) então dizemos que e une u e v

(u e v são ditos extremos de e)


Exemplo 1 l.jpg
Exemplo1:

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)


Exemplo 138 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 139 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 140 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 141 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 142 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 143 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 144 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 145 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 146 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 147 l.jpg

G

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5),G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 2 l.jpg
Exemplo2:

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)


Exemplo 249 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 250 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 251 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 252 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 253 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 254 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 255 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 256 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 257 l.jpg
Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 258 l.jpg

H

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w



Observa es60 l.jpg
Observações

  • Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente


Observa es61 l.jpg
Observações

  • Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente

  • Existe uma única maneira de desenhar um grafo?


Observa es62 l.jpg
Observações

  • Duas arestas num diagrama de um grafo podem se interceptar num ponto que não é um vértice


Observa es63 l.jpg
Observações

  • Duas arestas num diagrama de um grafo podem se interceptar num ponto que não é um vértice

Grafos que possuem uma representação em que

as aresta se interceptem apenas em seus extremos

são chamados planares



Defini es e conceitos65 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.


Defini es e conceitos66 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

    Ex.:

e

u

v


Defini es e conceitos67 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

    Ex.:

    u e v são incidentes a e

e

u

v


Defini es e conceitos68 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

    Ex.:

    u e v são incidentes a e

    (e é incidente a u e a v)

e

u

v


Defini es e conceitos69 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.


Defini es e conceitos70 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

    Ex.:

e

u

v


Defini es e conceitos71 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

    Ex.:

    u e v são adjacentes

e

u

v


Defini es e conceitos72 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

    Ex.:

    u e v são adjacentes

    e e e´são adjacentes

e

u

v

e

u


Defini es e conceitos73 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Loop: uma aresta com extremos idênticos

u


Defini es e conceitos74 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Loop: uma aresta com extremos idênticos

  • Link: aresta com extremos diferentes

u

e

u

v


Defini es e conceitos75 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Aresta Múltipla: links com mesmos extremos

e

u

v


Defini es e conceitos76 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos


Defini es e conceitos77 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

    • Estudaremos apenas grafos finitos.


Defini es e conceitos78 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

    • Estudaremos apenas grafos finitos.

  • Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.


Defini es e conceitos79 l.jpg
Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

    • Estudaremos apenas grafos finitos.

  • Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.

  • Um grafo é simples se não possuir loops e arestas múltiplas.


Nota o l.jpg
Notação

  • G: Grafo com conjunto de vértices V(G) e conjunto de arestas E(G).

  • n: número de vértices de G

  • m: número de arestas de G


Exerc cio l.jpg
Exercício:

  • 1. Mostre que se G é um grafo simples, então

    m 

( )

n

2



Isomorfismo entre grafos83 l.jpg
Isomorfismo entre Grafos

  • Dois grafos G e H são idênticos se

    • V(G)=V(H);

    • E(G)=E(H);

    • G= H


Isomorfismo entre grafos84 l.jpg
Isomorfismo entre Grafos

  • Dois grafos G e H são idênticos se

    • V(G)=V(H);

    • E(G)=E(H);

    • G= H

      Grafos idênticos podem ser representados por um mesmo diagrama


Isomorfismo entre grafos85 l.jpg
Isomorfismo entre Grafos

  • Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que


Isomorfismo entre grafos86 l.jpg
Isomorfismo entre Grafos

  • Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que

    (u,v)  V(G) (f(u),f(v))  V(H)


Isomorfismo entre grafos87 l.jpg
Isomorfismo entre Grafos

  • Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que

    (u,v)  V(G) (f(u),f(v))  V(H)

  • É possível alterar o nome dos vértices de um deles de forma que fiquem iguais.


Exemplo g h l.jpg

u

v

y

x

w

Exemplo: G  H ?

G

H

v2

v1

v3

v4

v5


Exemplo g h89 l.jpg

u

v

y

x

w

Exemplo: G  H ?

G

H

v2

v1

v3

v4

v5

Para mostrar que dois grafos são isomorfos,

devemos indicar um isomorfismo entre eles.



Classes especiais de grafos91 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Completo: grafo simples em que cada par de vértices distintos possui um aresta.


Classes especiais de grafos92 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Completo: grafo simples em que cada par de vértices distintos possui um aresta.

A menos de isomorfismo, existe apenas um grafo

completo com n vértices, denotado por Kn


Classes especiais de grafos93 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Vazio: é um grafo sem arestas.


Classes especiais de grafos94 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.


Classes especiais de grafos95 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X


Classes especiais de grafos96 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X


Classes especiais de grafos97 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X


Classes especiais de grafos98 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X

(X, Y) é um bipartição

do grafo


Classes especiais de grafos99 l.jpg
Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido Completo: é um grafo bipartido com bipartição (X, Y) em que cada vértice de X é adjacente a cada vértice de Y.

  • Se |X|=m e |Y|=n, então denotamos tal grafo por Km,n


Exerc cios l.jpg
Exercícios

1. Mostre que os seguintes grafos não são isomorfos:

H

G


Exerc cios101 l.jpg
Exercícios

2. Mostre que m(Km,n) = mn.

3. Se G é simples e bipartido, então

m  n2/4 (m: #arestas, n: #vértices)


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