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Teoria dos Grafos PowerPoint PPT Presentation


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Teoria dos Grafos. Profª Loana Tito Nogueira. Bibliografia. 1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Editora Campus. 1988 2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

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Teoria dos Grafos

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Teoria dos grafos l.jpg

Teoria dos Grafos

Profª Loana Tito Nogueira


Bibliografia l.jpg

Bibliografia

1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais.

Editora Campus. 1988

2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos.

Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969.

4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications.

Elsevier, 1976.


Bibliografia3 l.jpg

Bibliografia

1. J. L. Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais.

Editora Campus. 1988

2. P. O Boaventura Neto. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos.

Editora Edgard Blücher Ltda, 1996.

3. F. Harary. Graph Theory, Perseus, 1969.

4. J. A Bondy, U. S. R. Murty. Graph Theory with applications.

Elsevier, 1976.


Motiva o l.jpg

Motivação


Motiva o5 l.jpg

Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

      Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o6 l.jpg

Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o7 l.jpg

Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o8 l.jpg

Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


Motiva o9 l.jpg

Motivação

  • Por que estudar grafos?

    • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento

    • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

    • Existem centenas de problemas computacionais que empregam grafos com sucesso.


As pontes de k nigsberg l.jpg

As pontes de Königsberg


As pontes de k nigsberg11 l.jpg

As pontes de Königsberg

Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela

Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por

essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região

existiam 7 pontes, como mostra a figura.


As pontes de k nigsberg12 l.jpg

As pontes de Königsberg

Em Königsber, Alemanha, um rio que passava pela

Cidade tinha uma ilha e, logo depois de passar por

essa ilha se bifurcava em 2 ramos. Nessa região

existiam 7 pontes, como mostra a figura.


As pontes de k nigsberg13 l.jpg

As pontes de Königsberg

É possível andar por toda a cidade de tal

modo que cada ponte seja atravessada

exatamente uma vez?


As pontes de k nigsberg14 l.jpg

As pontes de Königsberg

Não é possível !!!!!


As pontes de k nigsberg15 l.jpg

As pontes de Königsberg


Remodelando o problema l.jpg

Remodelando o problema


Remodelando o problema17 l.jpg

Remodelando o problema


Remodelando o problema18 l.jpg

Remodelando o problema


Remodelando o problema19 l.jpg

Remodelando o problema

O problema agora consiste em percorrer todos os arcos,

passando por cada um apenas uma vez, sem

levantar o lápis do papel.


Teoria de grafos l.jpg

Teoria de Grafos

Na teoria de grafos, um caminho completo com as propriedades descritas acima de não retraçar nenhum arco é chamado de TRAJETÓRIA de EULER


Outro exemplo l.jpg

Outro Exemplo:

Será que existe alguma trajetória de Euler para o

gráfico ao lado? Se existir, como ela é?


Ementa do curso l.jpg

Ementa do Curso

  • Grafos e Subgrafos

  • Árvores

  • Conectividade

  • Ciclo Hamiltoniano e Caminho Euleriano

  • Emparelhamento

  • Coloração de Arestas

  • Conjuntos Independentes e Cliques

  • Coloração de Vértices

  • Grafos Planares

  • Grafos Direcionados


Avalia o l.jpg

Avaliação:

  • Listas de Exercícios

  • 2 Avaliações: PR1 e PR2

  • Trabalho (Alunos de Doutorado)

    PR1: 24/05

    PR2: 17/07

    Final: 19/07


Grafos e subgrafos l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos25 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos26 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos27 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos28 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos29 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos30 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Grafos e subgrafos31 l.jpg

Grafos e Subgrafos


Defini o l.jpg

Definição

G=(V(G), E(G), G)


Defini o33 l.jpg

Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices


Defini o34 l.jpg

Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices

Conjunto disjunto de V(G),

chamado arestas


Defini o35 l.jpg

Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices

Função que associa

cada aresta de G um par

de vértices de G

Conjunto disjunto de V(G),

chamado arestas


Defini o36 l.jpg

Definição

G=(V(G), E(G), G)

Conjunto não vazio

de vértices

Função que associa

cada aresta de G um par

de vértices de G

Conjunto disjunto de V(G),

chamado arestas

Se e=(u,v) então dizemos que e une u e v

(u e v são ditos extremos de e)


Exemplo 1 l.jpg

Exemplo1:

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)


Exemplo 138 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 139 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 140 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 141 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 142 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 143 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 144 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 145 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 146 l.jpg

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5), G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 147 l.jpg

G

v2

Exemplo1:

v1

v3

  • G=(V(G), E(G), G), onde

    • V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5}

    • E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , e8}

    • G :

      • G(e1)= (v1, v2), G(e2)= (v2, v3),

      • G(e3)= (v3, v3), G(e4)= (v3, v4),

      • G(e5)= (v2, v4), G(e6)= (v4, v5),

      • G(e7)= (v2, v5),G(e8)= (v2, v5)

v4

v5


Exemplo 2 l.jpg

Exemplo2:

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)


Exemplo 249 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 250 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 251 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 252 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 253 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 254 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 255 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 256 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 257 l.jpg

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Exemplo 258 l.jpg

H

Exemplo2:

u

v

y

x

  • H=(V(H), E(H), H), onde

    • V(H) ={u, v, w, x, y}

    • E(H)={a, b, c, d, e, f, g, h}

    • G :

      • G(a)= (u, v), G(b)= (u, u),

      • G(c)= (v, w), G(d)= (w, x),

      • G(e)= (v, x), G(f)= (w, x),

      • G(g)= (u, x), G(h)= (x, y)

w


Observa es l.jpg

Observações


Observa es60 l.jpg

Observações

  • Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente


Observa es61 l.jpg

Observações

  • Grafos são assim chamados por poderem ser representados graficamente

  • Existe uma única maneira de desenhar um grafo?


Observa es62 l.jpg

Observações

  • Duas arestas num diagrama de um grafo podem se interceptar num ponto que não é um vértice


Observa es63 l.jpg

Observações

  • Duas arestas num diagrama de um grafo podem se interceptar num ponto que não é um vértice

Grafos que possuem uma representação em que

as aresta se interceptem apenas em seus extremos

são chamados planares


Defini es e conceitos l.jpg

Definições e Conceitos


Defini es e conceitos65 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.


Defini es e conceitos66 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

    Ex.:

e

u

v


Defini es e conceitos67 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

    Ex.:

    u e v são incidentes a e

e

u

v


Defini es e conceitos68 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

    Ex.:

    u e v são incidentes a e

    (e é incidente a u e a v)

e

u

v


Defini es e conceitos69 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.


Defini es e conceitos70 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

    Ex.:

e

u

v


Defini es e conceitos71 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

    Ex.:

    u e v são adjacentes

e

u

v


Defini es e conceitos72 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

    Ex.:

    u e v são adjacentes

    e e e´são adjacentes

e

u

v

e

u


Defini es e conceitos73 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Loop: uma aresta com extremos idênticos

u


Defini es e conceitos74 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Loop: uma aresta com extremos idênticos

  • Link: aresta com extremos diferentes

u

e

u

v


Defini es e conceitos75 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Aresta Múltipla: links com mesmos extremos

e

u

v


Defini es e conceitos76 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos


Defini es e conceitos77 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

    • Estudaremos apenas grafos finitos.


Defini es e conceitos78 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

    • Estudaremos apenas grafos finitos.

  • Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.


Defini es e conceitos79 l.jpg

Definições e Conceitos

  • Um grafo é finito se V(G) e E(G) são finitos

    • Estudaremos apenas grafos finitos.

  • Grafos com apenas um vértice são ditos triviais.

  • Um grafo é simples se não possuir loops e arestas múltiplas.


Nota o l.jpg

Notação

  • G: Grafo com conjunto de vértices V(G) e conjunto de arestas E(G).

  • n: número de vértices de G

  • m: número de arestas de G


Exerc cio l.jpg

Exercício:

  • 1. Mostre que se G é um grafo simples, então

    m 

( )

n

2


Isomorfismo entre grafos l.jpg

Isomorfismo entre Grafos


Isomorfismo entre grafos83 l.jpg

Isomorfismo entre Grafos

  • Dois grafos G e H são idênticos se

    • V(G)=V(H);

    • E(G)=E(H);

    • G= H


Isomorfismo entre grafos84 l.jpg

Isomorfismo entre Grafos

  • Dois grafos G e H são idênticos se

    • V(G)=V(H);

    • E(G)=E(H);

    • G= H

      Grafos idênticos podem ser representados por um mesmo diagrama


Isomorfismo entre grafos85 l.jpg

Isomorfismo entre Grafos

  • Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que


Isomorfismo entre grafos86 l.jpg

Isomorfismo entre Grafos

  • Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que

    (u,v)  V(G) (f(u),f(v))  V(H)


Isomorfismo entre grafos87 l.jpg

Isomorfismo entre Grafos

  • Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que

    (u,v)  V(G) (f(u),f(v))  V(H)

  • É possível alterar o nome dos vértices de um deles de forma que fiquem iguais.


Exemplo g h l.jpg

u

v

y

x

w

Exemplo: G  H ?

G

H

v2

v1

v3

v4

v5


Exemplo g h89 l.jpg

u

v

y

x

w

Exemplo: G  H ?

G

H

v2

v1

v3

v4

v5

Para mostrar que dois grafos são isomorfos,

devemos indicar um isomorfismo entre eles.


Classes especiais de grafos l.jpg

Classes especiais de grafos


Classes especiais de grafos91 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Completo: grafo simples em que cada par de vértices distintos possui um aresta.


Classes especiais de grafos92 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Completo: grafo simples em que cada par de vértices distintos possui um aresta.

A menos de isomorfismo, existe apenas um grafo

completo com n vértices, denotado por Kn


Classes especiais de grafos93 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Vazio: é um grafo sem arestas.


Classes especiais de grafos94 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.


Classes especiais de grafos95 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X


Classes especiais de grafos96 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X


Classes especiais de grafos97 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X


Classes especiais de grafos98 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido: é aquele em que o conjunto de vértices pode ser particionado em dois subconjuntos X e Y, tal que cada aresta tem um extremo em X e um em Y.

Y

X

(X, Y) é um bipartição

do grafo


Classes especiais de grafos99 l.jpg

Classes especiais de grafos

  • Grafo Bipartido Completo: é um grafo bipartido com bipartição (X, Y) em que cada vértice de X é adjacente a cada vértice de Y.

  • Se |X|=m e |Y|=n, então denotamos tal grafo por Km,n


Exerc cios l.jpg

Exercícios

1. Mostre que os seguintes grafos não são isomorfos:

H

G


Exerc cios101 l.jpg

Exercícios

2. Mostre que m(Km,n) = mn.

3. Se G é simples e bipartido, então

m  n2/4 (m: #arestas, n: #vértices)


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