Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações

1. Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações Aula 5 Maio, 2005

2. Revisão Principais conceitos e definições

3. Revisão • Jogo estático • “Common knowledge” • Eliminação de estratégias estritamente dominadas • Equilíbrio de Nash • Estratégias mistas • Jogo Dinâmico • Estratégia • Subjogo • Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos

4. Jogos Repetidos Horizonte finito e infinito Reputação e credibilidade Punições

5. Dilema dos Prisioneiros • Considere a seguinte versão do dilema dos prisioneiros. • Pergunta: há meios de implementar cooperação em relações duradouras?

6. Horizonte Finito

7. Dilema dos prisioneiros em 2 períodos • Taxa de desconto: =1. • Expansão da árvore é exponencial: • 1o período: 4 resultados possíveis • 2o período: 16 resultados possíveis • Estratégia: deve estabelecer o que será feito por cada jogador, em cada história possível do jogo.

8. Indução retroativa • Menor subjogo: é o próprio jogo constituinte; independente da história pregressa. • EN do menor subjogo: (C,C).

9. 1o período • Considerando que no segundo período será jogado (C,C), o primeiro período é representado por:

10. Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos • Jogador i: (C; C,C,C,C) • O ENPS é único. • Não há como implementar cooperação. • Caso houvesse N períodos, o resultado seria análogo.

11. Proposição Caso o jogo constituinte tenha um único equilíbrio de Nash, o jogo repetido N vezes também terá um único equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. Esse ENPS corresponde à repetição dos equilíbrios do jogo constituinte.

12. Cooperação em jogos com horizonte finito • Suponha que, por alguma razão, haja uma nova possibilidade no jogo constituinte, representada por X.

13. Sustentando cooperação • Considere o seguinte par de estratégias: • Primeiro período: NC • Segundo período: X caso tenha ocorrido (NC,NC); C caso contrário. • Objetivo: ao invés de caracterizar o conjunto de todos os equilíbrios, iremos mostrar que as estratégias acima constituem um ENPS.

14. Indução retroativa • 2o período: • As estratégias determinam que ambos escolham C ou ambos escolham X. • Como (C,C) e (X,X) são EN do jogo constituinte, não há problema.

15. 1o período

16. Características • Só é possível implementar cooperação em jogos repetidos com horizonte finito se o jogo constituinte apresentar equilíbrios múltiplos.  apenas as ameaças críveis de punições futuras podem afetar o comportamento corrente. • Caso haja um único EN no jogo constituinte, será jogado em cada repetição.

17. Horizonte Infinito

18. Estrutura • Jogo constituinte G. • Infinitas repetições – se aplica para relações duradouras que não possuem prazo de validade. • Taxa de desconto: 0<<1. • Impaciência. • Probabilidade do jogo se repetir por mais 1 período.

19. Dilema dos prisioneiros • Estratégia do gatilho: • Joga NC no 1o período; • Joga NC se observou (NC,NC) em todos os períodos anteriores e C caso contrário.

20. Teste • A estratégia do gatilho constitui um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos? • 2 tipos relevantes de subjogos: • subjogos de “cooperação”; • subjogos de “não-cooperação”. • Naqueles subjogos de não-cooperação, a estratégia prevê um equilíbrio de Nash do jogo constituinte.

21. Subjogos de cooperação • Nos subjogos de cooperação, as estratégias constituem equilíbrio se: 4+4+42+... ≥ 5++2...  4/(1-) ≥ 5+/(1-)   ≥ 1/4.

22. Implementando o que é possível • O que acontece se <1/4 ? • Considere uma versão modificada do dilema dos prisioneiros, em que:

23. Continuação • Estratégia do gatilho: • Joga NC no 1o período; • Joga NC se observou (NC,NC) em todos os períodos anteriores e C caso contrário. • Nos subjogos de cooperação, as estratégias constituem equilíbrio se: M+M+M2+... ≥ 5++2...  M/(1-) ≥ 5+/(1-)  M ≥ 5-4.

24. Lições • Como os jogadores descontam muito o futuro, torna-se necessária uma compensação maior para que a cooperação ocorra. • No jogo analisado, existem apenas duas estratégias. Não há possibilidade de implementar uma cooperação que envolva menos incentivos ao desvio.

25. Implementando cooperação com punições mais brandas • A estratégia do gatilho envolve punições muito agressivas que, diante de um desvio, penaliza os jogadores indefinidamente. • Considere o seguinte par de estratégias (“stick and carrot”): • Joga NC no 1o período; • Joga NC se observou (NC,NC) ou (C,C) no período anterior; • Joga C caso contrário.

26. Estratégia • Diante de um desvio em k+1, a punição tem duração de apenas 1 período.

27. Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos • Nos subjogos de punição, a análise é a mesma da estratégia do gatilho. • Nos subjogos de cooperação, as estratégias constituem equilíbrio se: 4+4+42+... ≥ 5++42...  4+4 ≥ 5+   ≥ 1/3.

28. Lição • Punições mais brandas requerem uma taxa de desconto mínima maior para a implementação da cooperação.

29. (0,5) (4,4) (5,0) (1,1) Definições • Ganho médio: 1, 2, 3,... (1-) t t-1t. • Ganhos factíveis:

30. Teorema Folk • Friedman, 1971 Seja G um jogo estratégico com informação completa e (e1,...,eN) os ganhos de um equilíbrio de Nash de G. Seja (x1,...,xN) um vetor de ganhos factíveis de G. Se xi > ei para todo i e  for suficientemente próximo de 1, existe um ENPS do jogo repetido com horizonte infinito que atinge (x1,...,xN) como ganho médio.

31. (0,5) (4,4) (5,0) (1,1) Teorema Folk Ganhos atingíveis em ENPS