Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum w Chojnie • ID grupy: 98/2_MF_G1 • Opiekun: Małgorzata Madejczyk • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • TP052 Geometryczne Twierdzenia oraz ich ilustracja za pomocą ilustracji • Semestr/rok szkolny: IV/ 2010/2011

3. Symetria względem prostej • Dwa punkty są symetryczne do siebie względem prostej k, jeżeli spełniają następujące warunki: • Leżą na prostej prostopadłej do prostej k • Leżą po przeciwnych stronach prostej k • Leżą w równych odległościach od prostej k Przyjmujemy, że jeżeli punkt leży na prostej k, to jest symetryczny sam do siebie względem tej prostej.

4. Symetria środkowa:Symetria względem punktu • Punkt A i A’ są symetryczne względem punktu S, jeżeli punkt S jest środkiem odcinka IAA’I • Przyjmujemy, że punkt S jest symetryczny sam do siebie względem punktu S.

5. Symetria Środkowa

6. Oś symetrii figury • Oś symetrii figury • Figura f ma oś symetrii k, jeżeli punkty symetryczne względem k do punktów figury f też należą do f. Prostą k nazywamy osią symetrii figury f. • Figurę, która posiada co najmniej jedną oś symetrii nazywamy osiowosymetryczną. • Przykłady:Trójkąt równoramienny - 1 oś symetrii, Trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii, Kwadrat - 4 osie symetrii,Prostokąt - 2 osie symetrii,Romb - 2 osie symetrii, Równoległobok - nie posiada osi symetriiTrapez równoramienny - 1 oś symetrii, Deltoid - 1 oś symetrii.

7. Oś symetrii Figury

8. Środek symetrii figury • Jeżeli figura jest symetryczna sama do siebie względem punktu S, to punkt S nazywamy środkiem symetrii tej figury. Figurę, która ma środek symetrii, nazywamy figurą środkowosymetryczną .

9. Figury ze środkiem symetrii

10. SYMETRIA W OTACZAJĄCYM NAS ŚWIECIE Kościół Najświętszej Marii Panny w Chojnie wykonany w stylu gotyckim w XV w. - okno ma jedną oś symetrii

11. WieżaEiffla -Posiada 4 osie symetrii

12. Bazylikaśw. piotra -16 osi symetrii

13. Sklepienie krzyżowo- żebrowe • ma 4 osie symetrii • posiada środek symetrii

14. Sklepienie dachu Kościoła Najświętszej Maryi Panny w Chojnie -ma jedną oś symetrii

15. Wieża Kościoła Najświętszej Marii Panny w Chojnie www.turtystycznik.pl -posiada jedną oś symetrii

16. Flagi państw Szwajcaria Polska Surinam 1 oś symetrii 4 osie symetrii 1 oś symetrii Austria Unia Europejska 2 osie symetrii 2 osie symetrii

17. Osie symetrii w haftach -posiada 1 oś symetrii

18. Oś symetrii w przyrodzie -posiada 1 oś symetrii

19. Wielokąty podobne Mówimy, że wielokąt F’ jest podobny do wielokąta F, jeśli spełnione są dwa warunki: • odpowiednie kąty wielokątów F’ i F mają jednakowe miary • długości boków wielokąta F’ są proporcjonalne do odpowiednich boków wielokąta F, czyli stosunek długości boków w jednym wielokącie do odpowiadających im boków w drugim wielokącie jest zawsze tą samą liczbą.

20. Skala podobieństwa • Liczbę k równą stosunkowi długości boku wielokąta F’ do długości odpowiadającego mu boku wielokąta F nazywamy skalą podobieństwa wielokąta F’ do wielokąta F.

21. Obwody figur podobnych • Jeśli figura F’ jest podobna do figury F w skali k, to stosunek obwodu figury F’ do obwodu figury F jest równy k. Ob – obwód figury FOb’– obwód figury F’ podobnej do Fk – skala podobieństwa figury F’ do figury F

22. Pola figur podobnych • `Jeśli figura F’ jest podobna do figury F w skali k, to stosunek pola figury F’ do pola figury F jest równy k2. P – pole figury FP’– pole figury F’ podobnej do Fk – skala podobieństwa figury F’ do figury F

23. Cechy podobieństwa trójkątów 1. Cecha bbb (bok-bok-bok) Jeśli długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. k - skala podobieństwa

24. Cechy podobieństwa trójkątów cd. 2. Cecha kk (kąt-kąt) Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. α = α’ β = β’

25. Cechy podobieństwa trójkątów cd. 3. Cecha bkb (bok-kąt-bok) Jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami w obu trójkątach są równe, to trójkąty są podobne. α = α‘

26. Trójkąty prostokątne podobne Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, czy spełniony jest jeden z następujących warunków: • Stosunek długości przyprostokątnych w jednym trójkącie jest taki sam jak odpowiedni stosunek w drugim trójkącie. • Jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę jak jeden z kątów w drugim trójkącie. α = β

27. Prostokąty podobne • Aby stwierdzić, że dwa prostokąty są podobne, wystarczy sprawdzić, czy stosunek sąsiednich boków jednego prostokąta jest taki sam jak odpowiedni stosunek długości sąsiednich boków w drugim prostokącie.

28. Twierdzenie Talesa • Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta

29. Asymetriatwarzy Prawa strona Lewa strona • Niewielka asymetria zewnętrznej budowy ciała człowieka jest normą. Zazwyczaj można stwierdzić skośne położenie mostka, pochylenie miednicy w jedną stronę, boczne skrzywienie kręgosłupa, odchylenie nosa w jedną stronę. Szczególnie dobrze można to zauważyć na twarzy – po podzieleniu zdjęcia en face na połowę i odbiciu lustrzanym każdej z połówek otrzymamy dwie różniące się twarze.

30. Wielokąty foremne • Wielokąt foremny - to wielokąt , który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny

31. Trójkąt Równoboczny • wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°, • wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta P= Ob=3a Liczba boków : 3 Liczba wierzchołków: 3 Miara kąta wewnętrznego: 60 Liczna osi symetrii: 3 Środek symetrii: nie o

32. Czworokąt foremny(KWADRAT) • Wszystkie kąty są równe, mają miarę 900 P=a 2 Ob= 4a Liczba boków: 4 Liczba wierzchołków: 4 Miara kąta wewnętrznego: 90 Liczba osi symetrii: 4 Środek symetrii: tak o a=a1=a2=a3

33. Kwadrat

34. Pięciokąt foremny • Wszystkie kąty są równe, mają miarę 108 0 Ob=5a Liczba boków: 5 Liczba wierzchołków: 5 Miara kąta wewnętrznego: 108 Liczba osi symetrii: 5 Środek symetrii: nie 0

35. Pięciokąt foremny

36. Sześciokąt foremny • Wszystkie kąty są równe, mają miarę 120 0 P=6 Ob=6a liczba boków: 6 Liczba wierzchołków: 6 Miara katów wewnętrznych: 120 Liczba osi symetrii: 6 Środek symetrii: tak 0 a=a1=a2=a3=a4=a5=a6

37. Sześciokąt foremny -ma 6 osi symetrii -posiada środek symetrii

38. GRANIASTOSŁUPY Graniastosłupemnazywamy figurę przestrzenną, która ma : • Dwie podstawy, które są równoległe i przystające ( dowolny wielokąt ) • Ściany boczne, które są równoległobokami Najpopularniejszymi z graniastosłupów są : • prostopadłościan • Sześcian

39. Graniastosłup prawidłowy • Graniastosłupem prawidłowym nazywamy bryłę która w podstawie ma wielokąt foremny (tj. mający równe boki oraz takie same kąty), a ściany boczne są przystającymi prostokątami. • np.

40. Przykładowe graniastosłupy prawidłowe: Graniastosłup prawidłowy czworokątny Liczba wierzchołków 8 Liczba krawędzi 12 Liczba ścian bocznych 4

41. Graniastosłup prawidłowy trójkątny Liczba wierzchołków 6 Liczba krawędzi 9 Liczba ścian bocznych 3

42. Graniastosłup prawidłowy pięciokątny Liczba wierzchołków 10 Liczba krawędzi 15 Liczba ścian bocznych 5

43. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny : Liczba wierzchołków 12 Liczba krawędzi 18 Liczba ścian bocznych 6

44. Pole Graniastosłupa • Pc = 2Pp + Pb • Pc – pole powierzchni całkowitej • Pp – pole podstawy • Pb – pole powierzchni bocznej V = Pp * H Pp – pole podstawy graniastosłupa H – wysokość graniastosłupa OBJĘTOŚĆ GRANIASTOSŁUPA Pp- pole podstawy H- wysokość

45. Graniastosłupy w naszym otoczeniu -Graniastosłup 12-kątny -Graniastosłup 4-kątny

46. Graniastosłupy w naszym otoczeniu cd. prostopadłościan Graniastosłup trójkątny

47. bryły platońskie Bryły platońskie to inna nazwa wielościanów foremnych.  Platon w swoich teoriach uwzględniał to, że świat tworzą cztery elementy: woda, ogień, ziemia i powietrze. Każdy z tych elementów był wg Platona zbudowany z wielościanów foremnych. I tak np.: czworościan (tetraedr) to cząsteczka ognia; sześcian (heksaedr) symbolizował ziemię; ośmiościan foremny (oktaedr) przedstawiał cząsteczkę powietrza; dwunastościan  (dodekaedr) symbolizował kosmos; dwudziestościan (ikosaedr) to „uosobienie” cząsteczki wody

48. Biografia Platona • Platon (ok. 437 - 347 p.n.e.), filozof grecki, swoje zamiłowania do filozofii zawdzięcza Sokratesowi. Po śmierci Sokratesa odbył liczne podróże podczas których poznał wiele poglądów w tym doktryny orfickie i pitagorejskie o wędrówce duszy. Po powrocie do Aten w 389 r. p.n.e. założył szkołę którą kierował przez 42 lata.

49. Rodzaje brył platońskich

50. Czworościan Foremny • czworościan, którego ściany są identycznymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny stanowi trójwymiarowy simpleks.