Generación de Números y Variable aleatorias Jorge L. Palma V.

1. Generación de Números y Variable aleatorias Jorge L. Palma V.

2. Definiciones Los números aleatorios son observaciones independientes obtenidas desde una distribución continua uniforme entre [0,1]. Los números aleatorios se ocupan para generar variables aleatorias mediante una técnica de transformación. Propiedades : Uniformidad e Independencia. Las variables aleatorias son observaciones independientes extraídas de una distribución específica. Estas distribuciones son escogidas (mediante ajuste) como entrada de datos para una simulación(ej: para representar tiempo entre llegada de entidades, tiempos entre fallas, etc).

3. Generación de números Aleatorios (Variable aleatoria distribuida Uniforme(Min=0, Max=1) • Propiedades de un buen generador de números aleatórios (Law and Kelton, 1991): 1. Los números deben ser U(0,1) y no deben exhibir correlación entre ellos, 2. Deben ser rápidos de generar, con un bajo requerimiento de memoria y con largos ciclos. 3. Los números deben ser reproducibles (para verificación y validación), y 4. Deben permitir algunas independientes algunas “listas” de números aleatorios.

4. Método de la Transformada Inversa Posee 2 pasos: • Generar uno o mas grupos de número aleatorios (distribuidos uniforme entre 1 y 0). • Se transforma el (los) grupos de números mediante una función y genera otro grupo de números, que se distribuyen de acuerdo a distribución requerida. Ej: x = F-1(r), Donde r = el número distribuido U(0,1) F-1 = La inversa de la función acumulada de la distribución deseada. x = el número distribuido de acuerdo a la distribución deseada.

5. Procedimientos para generar Variables aleatorias • Método de la Transformada inversa • Método de Aceptación / Rechazo • Método de Composición • Métodos que emplean propiedades especiales

6. Método de la Transformada Inversa: Un Ejemplo de Una variable aleatoria continua Considere la distribución de probabilidades continua como la variable x, está tomada en minutos y representa el tiempo requerido para reparar una máquina en particular. La función de distribución se distribuye de la siguiente forma: Use el método de la transformada inversa para generar variables aleatorias distribuidas de acuerdo a por esta función. X distribuido U(0,1)

7. Método de la Transformada Inversa: Un Ejemplo de Una variable aleatoria continua Paso 1: Encuentrar la función acumulada de la función F(x), para la función de la variable en cuestión: Paso 2: Encuentre la inversa de F(x). Paso 3: Generar la secuencia de números random (independientes, identicamente distribuidos uniforme [0,1] ). Ejemplo: ri: .21 .52 .34 .07 .92 .62 Paso 4: Sea xi = F-1(ri). La xi’s es la variable aleatória.

8. Distribución Exponencial Steps: 1. Generar ri 2. Calcular ti = -ß ln (ri) 3. Repetir las veces que sea necesario.

9. Otras Distribuciones Uniforme Weibull

10. Comentarios acerca del método de la Transformada Inversa • Desventajas: • La desventaja asociada a la búsqueda de la función inversa o de la función de distribución acumulada, F-1, en algunos casos. • En no todos los casos es una aproximación muy eficiente (Ej:, otros métodos tal vez requieren menos tiempos de cómputo) • Ventajas: • Facilita algunas técnicas de la reducción de varianza especialmente cuando es necesaria la sincronización de números aleatorios), • Facil para generar desde funciones truncadas, • Muy útil para generación de estadísticos de orden, Ej: Generar una variable aleatoria al azar que sea la más pequeña de 5 otras variables al azar distribuidas de idéntica forma (aplicación: tiempo en el sistema con 5 componentes identicos en serie).