Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 12

ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom PowerPoint PPT Presentation


  • 67 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom. Nilai Eigen Definisi :

Download Presentation

ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

ALJABAR MATRIKSpertemuan12 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Nilai Eigen

Definisi :

MisalkanA adalahsuatumatriks n x n. skalarλdisebutsebagaisuatunilaieigenataunilaikarakteristikdari A jikaterdapatsuatuvektortaknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebutnilaieigenatauvektorkarakteristikdariλ

Contoh :

Misalkan A = dan x =

Karena Ax =

Dari persamaaniniterlihatbahwaλ = 3 adalahnilaieigendari A dan x = (1,2)Tmerupakanvektoreigendariλ

PersamaanAx = λx dapatdituliskandalambentuk (A – λI) x = 0

Jadiλadalahnilaieigendari A jikadanhanyajikapersamaandiatasmemilikisuatupenyelesaiantaktrivial.

Ruangbagian N(A – λ I ) = 0 dinamakanruangeigen (eigen space) yang berhubungandengannilaieigenλ


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

PersamaanAx = λx akanmempunyaipenyelesaiantaktrivialjikadanhanyajika (A – λI) singular atausecaraekuivalen

Det (A – λ I) = 0 ….. (2)

Jikadeterminanpadapersamaandiatasdiuraikan , akankitadapatkansuatupolinomberderajatke-n dalampeubahλ

P( λ ) = Det (A – λ I)

Polinominidisebutpolinomkarakteristikdanpersamaan (2) disebutpersamaankarakteristikuntukmatriks A.

Akardaripolinomkarakteristikadalahnilaieigendari A.


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Contoh :

Carilahnilai – nilaieigen dan vektoreigen yang bersesuaiandenganmatriks A =

Penyelesaian :

Persamaankarakteristiknyaadalahatauλ2 – λ – 12 = 0

Jadinilaieigendari A adalahλ1 = 4 danλ2 = -3.

Untukmencarivektoreigen yang dimilikiolehλ1 = 4, kitaharusmenentukan kernel (ruangnol) dari A – 4 I.

A – 4 I =

Denganmenyelesaikan (A – 4 I ) x = 0 , kitamendapatkan x = (2x2 , x1)T . Jadisemuakelipatantaknoldari (2 ,1)Tadalahvektoreigenmilikλ1dan {(2,1)T} adalahsuatu basis untukruangeigen yang bersesuaiandenganλ1


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Kesimpulan :

Misalkan A adalahmatriks n x n danλadalahsuatuskalar. Pernyataan – pernyataanberikutiniadalahekuivalen.

(a). λadalahnilaieigendariλ

(b). (A - λI) x = 0 mempunyaipenyelesaiantaktrivial

(c). N (A - λI) ≠ {0}

(d). A - λI adalah singular

(e). Det (A - λI) = 0


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

  • Latihan

  • Carilahnilai – nilaieigendanruangeigen yang bersesuaianuntuksetiapmatriksberikutini :

    • A =

    • B =

    • C =

    • D =


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

SistemPersamaanDiferensial Linear

Pertamakitatinjausistempersamaanordesatu yang berbentuk :

Y11 = a11y1 + a12y2 + … + a1nyn

Y21= a21y1 + a22y2 + … + a2nyn

Yn1= an1y1 + an2y2 + … + annyn

Dimanayi = fi (t) adalahfungsi C1[a,b] untuksetiapi.

Jikamisalkan Y = dan Y1 = makasistemtersebutdapatdituliskandalambentuk Y1 = AY

Y dan Y1 keduanyaadalahfungsivektordari t.

Jelas , fungsiapapun yang bentuknya y(t) = c.eλt (c adalahkonstantasembarang) memenuhipersamaanini.

Generalisasialamidaripenyelesaianiniuntukkasus n > 1 mengambil Y =

Dimana x = {x1 , x2 , … , xn}T.


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Contoh :

Selesaikansistemberikutini :

Y11 = 3y1 + 4y2

Y21 = 3y1 + 2y2

Penyelesaian :

A =

Nilaieigendari A adalahλ1 = 6 danλ2 = -1.

Vektoreigendariλ1adalah x1 = (4,3)Tdanvektoreigendariλ2adalah x2 = (1,-1)T .

Jadifungsivektorapapun yang berbentuk Y = = adalahpenyelesaiandarisistemtersebut.


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

  • Latihan

  • Carilahpenyelesaianumumuntuksuatusistemberikutini :

  • Y11 = y1 + y2dan Y21 = -2y1 + 4y2

  • 2. Y11= y1- 2y2dan Y21 = -2y1 + 4y2

  • 3.Y11= 3y1 - 2y2dan Y21 = 2y1+ 3y2


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Diagonalisasi

Teorema :

Jikaλ1 , λ2 , … λn adalahnilai – nilaieigen yang berbedadarimatriks A berordo n x n, denganvektor – vektoreigen yang

Bersesuaian x1 , x2 , … , xkmaka x1 , x2 , … xkadalahbebas linear

Definisi :

Suatumatriks A berordo n x n disebutdapatdidiagonalisasijikaterdapatmatriks X singular dansuatumatriks diagonal D

sedemikianrupasehingga

X-1AX = D

Kita katakanbahwa X mendiagonalisasi A.


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Contoh :

Misalkan A =

Nilaieigendari A adalahλ1 = 1 danλ2 = -4

Vektor – vektoreigen x1 = (3,1)T dan x2 = (1,2)T

Misalkan X =

Makaselanjutnya

X-1AX = = D

Dan

XDX-1 = = A


Aljabar matriks pertemuan 12 oleh l1153 halim agung s kom

Latihan

Padasetiapsoalberikutini, faktorkanmatriks A kedalamhasil kali XDX-1, dimana D adalah

diagonal

A =

B =


  • Login