1.přednáška úvod do matematiky

1. BRVKA 1.přednáškaúvod do matematiky Bernard Bolzano (1781-1848)

2. BRVKA symbolika Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení:

3. BRVKA množiny • Množina je soubor prvků dané vlastnosti, většinou se zapisuje: , kde je ve složené závorce buď výčet prvků nebo jejich charakteristická vlastnost: • O každém prvku lze rozhodnout, zda do množiny patří, zapisujeme nebo nepatří • Pokud množina žádné prvky nemá, je prázdná • Množina M může být podmnožinou jiné množiny L, pokud všechny prvky z M patří i do L. Platí:

4. BRVKA A B U Množinové operace • Základní množina U je rozdělena na 4 pole, která jsou očíslována I, II, III, IV. II I III A\B B\A IV • Pole I = množina všech prvků U, které patří do Aa zároveň nepatří do B. Rozdíl množin AaB, v tomto pořadí neboli A mínus B – značení A\B • Pole II = množina všech prvků U, které patří do Aa zároveň do B. Průnikmnožin AaB, – značení • Pole III = množina všech prvků U, které patří do B a zároveň nepatří do A.Rozdíl množin B a A, v tomto pořadí neboli B mínus A – značení B\A • Pole IV = množina prvků U, které nepatří do A ani do B – doplněk • Pole I+II+III = množina všech prvků U, které patří do A nebo do B • sjednocenímnožin A a B – značení

5. BRVKA Číselné obory – STRUČNÝ přehled • Přirozená číslaNvyjadřují počty prvků konečných množin, počty nedělitelných objektů. Někdy k množině N přidáváme nulu: • Celá číslaZobsahují nulu, přirozená čísla a čísla k nim opačná: • Racionální číslaQjsou všechna čísla, která lze zapsat ve tvaru zlomku … kde p je číslo celé a q je číslo přirozené. • Reálná číslaRvyjadřují délky křivek, plochy obrazců, objemy těles a hodnoty reálných funkcí. • Komplexní číslaCjsou složena z reálné a imaginární části.

6. BRVKA Vlastnosti Číselných oborů • To znamená, že každé celé číslo je zároveň i číslem reálným, ale obráceně to neplatí, např. číslo π je reálné, ale není celé. • Reálná čísla, která nejsou racionální se nazývají iracionální. • UZAVŘENOST číselné množiny vzhledem k operaci Pokud provedeme číselnou operaci se dvěma čísly z nějaké číselné množiny, je výsledek operace z téže množiny. • N je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení, ale není uzavřená vzhledem k odčítání ani dělení. • Z je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení a odčítání, ale ne vzhledem k dělení. • Q, R, C jsou uzavřené vzhledem ke všem operacím. Pozn.: nulou se dělit nedá!

7. BRVKA Vlastnosti číselných oborů • KOMUTATIVNOSToperace Při provádění početní operace nezáleží na pořadí čísel. • sčítání a násobení jsou komutativní • odčítání a dělení nejsou komutativní Symbolický zápis: • ASOCIATIVNOSToperace Při provádění početní operace se třemi čísly můžeme libovolně „přezávorkovat“, nezáleží na pořadí provedení. • sčítání a násobení jsou asociativní • odčítání a dělení nejsou asociativní Symbolický zápis:

8. BRVKA Vlastnosti číselných oborů • EXISTENCE NEUTRÁLNÍHO PRVKU Pro neutrální prvek platí: Pozn.: Hvězdička zastupuje nějakou operaci. • Sčítání má neutrální prvek číslo 0 (od Z dále) • Násobení má neutrální prvek číslo 1 (všechny obory) • Odčítání a dělení neutrální prvky nemají. Pomocí neutrální prvku definujeme INVERZNÍ PRVKY: • OPAČNÉ ČÍSLO • PŘEVRÁCENOU HODNOTU • Pokud to v dané číselné množině lze. • DISTRIBUTIVNOST NÁSOBENÍ vzhledem ke SČÍTÁNÍ Platí „roznásobení závorek“

9. BRVKA uspořádání OSTRÉ NEOSTRÉ • Pro ostré uspořádání platí: • TRICHOTOMIE – pro platí právě jedna • z možností: • TRANZITIVITA – • Podle uspořádání s číslem 0 se reálné číslo x nazývá: • kladné • záporné • nezáporné • nekladné

10. BRVKA 0 Absolutní hodnota • Absolutní hodnota je: • Platí: Trojúhelníková nerovnost • GEOMETRICKÝ VÝZNAM absolutní hodnoty je • vzdálenost od nuly na číselné ose.

11. BRVKA Podmnožiny reálných čísel INTERVALY jsou podmnožiny R s krajními body a,b: • otevřený • uzavřený • polouzavřený • polootevřený Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní. OKOLÍ BODU a z R o poloměru r> 0je definováno: PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU a z R o poloměru r> 0je:

12. BRVKA Nevlastní čísla ROZŠÍŘENÁ MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL je … k R jsme přidali „nekonečna“ Platí: Počítání s ∞: Neurčitévýrazy, nelze u nich určit hodnotu, nejsou definovány:

13. BRVKA Úlohy k procvičování • Jsou dány čtyři podmnožiny množiny přirozených čísel N. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny. • Jsou dány tři podmnožiny množiny reálných čísel R. Zakreslete je číselnou osu. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny. • Jdou dána okolí bodů, zakreslete je na číselnou osu, zapište pomocí sjednocení intervalů a množinovým zápisem a najděte jejich doplňky. Množiny a číselné obory

14. BRVKA Mocniny a odmocniny • Mocnina ar je součin r stejných činitelů. a je základ mocniny, r je exponent (mocnitel) • Pravidla pro počítání s mocninami: Výraz 00není definován. • n-tá odmocnina: • a je základ odmocniny, n je odmocnitel • Místo pravidel pro odmocniny uvedeme vztah, jak odmocninu převést na mocninu.

15. BRVKA Úlohy k procvičování • Následující výrazy zjednodušte: Mocniny a odmocniny

16. BRVKA mnohočleny • Výraz P(x) = anxn + an-1xn-1+ …+ a2x2+ a1x+ a0, kde nazýváme polynom (mnohočlen) n-tého stupně an,an-1,…se nazývají koeficienty, a0 je absolutní člen • Sčítání (odčítání) polynomů a násobení reálným číslem provádíme člen po členu: • Násobení polynomů mezi sebou provádíme systémem „každý s každým“. Každý člen jednoho polynomu násobíme s každým členem druhého polynomu a vše sečteme. • Vytýkání před závorku (opačný proces k násobení číslem) – každý člen vydělíme vytýkaným číslem, které napíšeme před závorku:

17. BRVKA Vzorce pro mnohočleny • Nejdůležitější akcí je (kromě předchozím operací) rozklad na součin, a to buď vytýkáním nebo podle vzorce. Kromě vzorců pro umocňování použitých v obráceném směru používáme vzorec: • Umocňování polynomů – buď podle definice mocniny nebo rychleji podle vzorce: Usměrňování, zbavení se odmocniny ve jmenovateli: Další vzorce pro rozklad:

18. BRVKA Úlohy k procvičování • Upravte, zjednodušte: • Rozložte na součin: • a další tisíce podobných v jakékoliv sbírce mnohočleny

19. Příklad č.1 – vzorové řešeníUpravte výraz a určete podmínky existence výrazu BRVKA • Jsou výrazy složené ze zlomků, kde se v čitateli i jmenovateli vyskytují polynomy různého stupně, cílem pak je celý výraz zjednodušit. Součástí úprav je i určení podmínek, za kterých má výraz smysl.

20. Příklad č. 2 – vzorové řešeníUpravte výraz a určete podmínky BRVKA

21. BRVKA Úlohy k procvičování • Upravte lomené výrazy, určete podmínky existence. • a k tomu další a další v jakékoliv sbírce pro SŠ. Lomené výrazy

22. BRVKA rovnice • Jsou různých typů a cílem je nalézt proměnnou – kořen rovnice, po jejímž dosazení nastane rovnost výrazů. • Algebraické – na obou stranách jsou polynomy • Nealgebraické – s goniometrickými funkce, logaritmy …. • Při hledání řešení využíváme úpravy rovnic, buď ekvivalentní (které nezmění počet řešení) nebo neekvivalentní (které řešení změnit mohou a jejichž použití vyžaduje zkoušku). • Ekvivalentní: (1) výměna stran rovnice, (2) přičtení libovolného výrazu k oběma stranám, (3) vynásobení obou stran nenulovým výrazem • Neekvivalentnínapř.: umocnění nebo odmocnění rovnice, logaritmování nebo odlogaritmování …..

23. BRVKA Rovnice v součinovém tvaru • Velmi obvyklý tvar rovnice …. V(x) = 0, kde V(x) je nějaký výraz, který umíme rozložit na součin jednodušších výrazů…. V(x) = V1(x).V2(x).V3(x) • Vyjdeme-li z toho, že součin se rovná nule právě tehdy, když je aspoň jeden z činitelů roven nule, získáme několik jednodušších rovnic: V1(x) = 0, V2(x) = 0, V3(x) = 0, …které umíme vyřešit. Řešení původní rovnice je potom sjednocením dílčích řešení.

24. BRVKA Kvadratická rovnice • Každá kvadratická rovnice má diskriminant D, což je číslo, které mimo jiné určuje počet řešení: D< 0 – žádné řešení D = 0 – jedno řešení – dvojnásobný kořen D> 0 – dvě různá řešení • Pro kvadratický trojčlen dále platí tzv. Viétovy vztahy: • Kvadratický trojčlen lze rozložit na součin:

25. BRVKA Úlohy k procvičování • V oboru reálných čísel řešte rovnice: rovnice

26. BRVKA Úlohy k procvičování • V oboru reálných čísel řešte rovnice v součinovém tvaru: Rovnice v součinovém tvaru Vytýkání nejvyšších mocnin • Z následujících výrazů vytkněte nejvyšší mocninu:

27. BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.