1 / 44

Diskrétní systémy 8-11

Diskrétní systémy 8-11. Zopakujte si: Z matematiky: posloupnosti limita posloupnosti z- transformace SW: Matlab Control System Toolbox. Systémy a modely 11 Diskrétní Systémy. Příklad systému. Počet studentů v jednotlivých ročnících na FEL. Stavový a vnější popis.

signe-harding
Download Presentation

Diskrétní systémy 8-11

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Diskrétní systémy 8-11 Zopakujte si: • Z matematiky: • posloupnosti • limita posloupnosti • z-transformace • SW: • Matlab • Control System Toolbox Systémy a modely 11Diskrétní Systémy Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  2. Příklad systému Počet studentů v jednotlivých ročnících na FEL Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  3. Stavový a vnější popis Stavový popis diskrétního systému z-Transformace vnější popis: přenos vliv poč. pod. Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  4. Alternativní vnější popis v z-1 = d Stavový popis diskrétního systému používáme buď z-1 nebo d vnější popis: přenos vliv poč. pod. Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  5. Řešení stavových rovnic Sekvenční metoda řešení Mkstavová matice přechodu. Vlastní čísla matice M Odezva na počáteční podmínky Odezva na daný vstupní signál Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  6. Řešení stavových rovnic Řešení pomocí z-transformace Po transformaci Odezva na vstupní signál Odezva na počáteční podmínky Je z-obrazem stavové matice přechodu Mk Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  7. Ryzost a kauzalita přenosu Racionální funkce je striktně ryzí pro n>m ryzí pro n≥m neryzí pron<m přenos fyzikálního spojitého systému bývá striktně ryzí n=mznamená, že přenáší i nekonečně velké frekvence (zjednodušené modely) n<mby dokonce vysoké frekvence více zesiloval = fyzikálně nerealizovatelné Diskrétní přenos vz -je topodobné, ale jiný význam přenos bývá striktně ryzí n=mznamená, že reaguje okamžitě (počítá nekonečně rychle) n<mby předpovídal budoucnost, byl by nekauzální Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  8. Kauzalita přenosu Diskrétní přenos vz-1=d -je to jinak má zpoždění aspoň jeden krok, když reaguje okamžitě (počítá nekonečně rychle) předpovídá budoucnost, je nekauzální Příklady: Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  9. Řád systému z přenosu nejsou-li skryté módy Diskrétní přenos vz -stejné, jako u spojitého řád systému = stupeň jmenovatele Příklad: systém s přenosem 1/z2 je řádu 2 (dvě zpoždění) Diskrétní přenos vz-1=d -je to jinak řád systému = max(stupeň čitatele, stupeň jmenovatele) Příklad: systém s přenosem z-2 = d2 je řádu 2 (dvě zpoždění) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  10. Digitalizace - Spojité řízení • Klasické spojité řízení spojité soustavy Spojitý řídicí systém soustava senzor Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  11. Číslicové řízení • Číslicové řízení Číslicový řídicí systém soustava Diferenční rovnice D/A a tvarovač hodiny senzor vzorkovač A/D Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  12. Vzorkování • Převod spojitého signálu na diskrétní: vzorkování (sampling) spojitý signál diskrétní signál • vzorkovač (sampler) • pracuje periodicky: s periodou T [s] a frekvencí vzorkování 1/T [Hz] Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  13. Vzorkování • různé realizace – podle periody (frekvence) vzorkování • typicky: logika počítače obsahuje hodiny, které každých T sekund vyšlou puls (interrupt) do vzorkovače • u pomalejších procesů může být jinak (Př.: dávkový výroba fotografických filmů Kodak ) • někdy mají různé větve různou periodu vzorkování • nebo fázové zpoždění • někdy vzorkování není periodické (free running – další vzorek se vezme, jakmile je předchozí zpracován) • to vše komplikuje návrh • budeme mít jen ten nejjednodušší případ Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  14. Kvantování • obdoba vzorkování v časové oblasti je kvantování (quantization) v oblasti hodnot signálů • kvantování je náhrada spojitého oboru reálných hodnot (nebo velmi hustého diskrétního) relativně malou množinou čísel nebo symbolů • podle reprezentace čísel v konkrétním počítači • kvantování provádí A/D převodník (analogově-digitální) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  15. Digitalizace • digitalizace je vzorkování a kvantování současně • totéž se provádí v čase i v hodnotách • často je vzorkovač součástí A/D převodníku • „digitalizovaný signál“ • Příklad audio CD disk: • vzorkování s frekvencí 44,100 Hz a • kvantovánís 216 = 65,536 možnými hodnotami (reprezentace 16 bitů= 2 bytů) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  16. Tvarování • Převod diskrétního signálu na spojitý: tvarování (holding) diskrétní signál spojitý signál • Zero-Order Hold ZOH Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  17. průměrná hodnota Tvarování • srovnání původního spojitého signálu se vzorkovaným a tvarovaným • průměrná hodnota tvarovaného signálu je oproti spojitému opožděná o T/2 • způsobeno tvarováním (hold) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  18. Vztah mezi s a z spojitý signál • má Laplaceův obraz • a pól v diskrétní signál (vzniklý vzorkováním) • má z-obraz • a tedy pól v Mezi póly spojitého a (vzorkovaného) diskrétního signálu platí vztah Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  19. Im Re Diskrétní systémy – póly a nuly • vypočtou se stejně jako u spojitých systémů ale interpretace jejich polohy je jiná • mez stability je jednotková kružnice • okolí bodu z = 1 odpovídá okolí bodu s = 0 • z je bezrozměrné – s má rozměr času • poloha v komplexní rovině dává informaci normalizovanou ve frekvenci vzorkování a ne v čase • záporná reálná osa v z-rovině reprezentuje frekvence ωs/2, kde ωs = 2π/T je frekvence vzorkování v rad/s Im Re nestabilní stabilní Im Re Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  20. Vliv polohy pólů Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  21. Diskrétní systémy • frekvence větší než Nyquistova frekvence ωs/2 se projeví jako překryté odpovídajícími nižšími frekvencemi • kvůli periodicitě funkce exp v komplexní rovině • tomu se říká stroboskopický efekt (aliasing, folding) • aby vzorky rozumě representovali signál, musí být vzorkovací frekvence > 2 × nejvyšší frekvence v signálu • kauzalita - ryzost Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  22. Doba ustálení Ts Stejná doba ustálení • v s-rovině póly ležící na vertikálních přímkách σ = konst. • v z-rovině jim odpovídají soustředné kružnice se středem v počátku Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  23. Okamžik prvého maxima Tp Stejný okamžik prvého maximaTp • v s-rovině horizontální čáry ωd = konst. • v z-rovině jim odpovídají radiální přímky vycházející z počátku Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  24. Doba náběhu Tr Stejná doba náběhu • v s-rovině póly ležící na soustředných kružnicích ωn = konst. • v z-rovině jim odpovídají křivky Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  25. Překmit a tlumení Stejný překmit a tlumení • s-rovině mu odpovídají přímky procházející počátkem • v z-rovině části spirál Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  26. Diskrétní systémy • diskrétní mřížka • v Matlabu funkce zgrid Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  27. Systémy a řízení Příklad • spojité specifikace • (podle požadované OS) • (podle požadované Tr) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 27

  28. Systémy a modely Diskrétní frekvenční charakteristiky Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 28

  29. Diskrétní Bodeho graf • frekvenční přenos • je periodická funkce ω s periodou • graf proto kreslíme jen pro (tedy na horní polovině kružnice) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  30. Systémy a modely Příklad • spojitý přenos vzorkovaný s periodou Ts= 0.2, 1, 2 s >> G=tf(1,[1 1 0]) 1 ------- s^2 +s >> Gz1=c2d(G,0.2) Transfer function: 0.01873 z + 0.01752 ---------------------- z^2 - 1.819 z + 0.8187 Sampling time: 0.2 >> Gz2=c2d(G,1) Transfer function: 0.3679 z + 0.2642 ---------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679 Sampling time: 1 >> Gz3=c2d(G,2) Transfer function: 1.135 z + 0.594 ---------------------- z^2 - 1.135 z + 0.1353 Sampling time: 2 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 30

  31. Diskrétní Bodeho graf • nelze kreslit pomocí jednoduchých asymptot • neplatí vztah mezi fází a derivací amplitudy v log-log souřadnicích • vzorkování způsobuje přídavné fázové zpoždění • tato aproximace je dobrá do tj. Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  32. Diskrétní Nyquistův graf • je periodická funkce ω s periodou Diskrétní Nyquistův graf • proto ho často kreslíme jen pro (na horní polovině kružnice) • Control System Tbxho (default) kreslí na celé kružnici Příklad G = tf(1,[1 1]); nyquist(G,c2d(G,0.2), … c2d(G),1),c2d(G,2)) G = tf(1,[1 1]) nyquist(G) Gz=c2d(G,0.2), nyquist(Gz) Transfer function: 0.1813 ---------- z - 0.8187 Sampling time: 0.2 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  33. Systémy a modely Příklad • spojitý přenos vzorkovaný s periodou Ts= 0.2, 1, 2 s >> G=tf(1,[1 1 0]) 1 ------- s^2 +s >> Gz1=c2d(G,0.2) Transfer function: 0.01873 z + 0.01752 ---------------------- z^2 - 1.819 z + 0.8187 Sampling time: 0.2 >> Gz2=c2d(G,1) Transfer function: 0.3679 z + 0.2642 ---------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679 Sampling time: 1 >> Gz3=c2d(G,2) Transfer function: 1.135 z + 0.594 ---------------------- z^2 - 1.135 z + 0.1353 Sampling time: 2 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 33

  34. Systémy a řízení Stroboskopický efekt - Aliasing Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 34

  35. Systémy a řízení Příklad: • Když sinusový signál o frekvenci 60Hz • vzorkujeme se vzorkovací frekvencí 50Hz • vlivem stroboskopického efektu „vidíme“ jiný signál: o frekvenci 10Hz • musíme vzorkovat s frekvencí větší než 2x120 Hz • 50 Hz • 120Hz • 240 Hz • v angličtině: aliasing (od alias = falešné jméno, přezdívka) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 35

  36. Spektrum vzorkovaného signálu • v oboru komunikace vzorkování reprezentujeme impulsní modulací • vzorkovanou verzi r*(t) spojitého signálu r(t) vyjádříme jako • funkce (distribuce) se nazývá Diracův hřeben nebo š-funkce (shah-function, protože připomíná písmeno ш v Cyrilice) • protože je periodická, vyjádříme ji Fourierovou řadou • kde Fourierovy koeficienty jsou obecně • protože v rozsahu integrálu je jediný impuls: v počátku δ(t) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  37. Spektrum vzorkovaného signálu • tedy celkem kde jsme označili • Laplaceův obraz (v oboustranné LT) vzorkovaného signálu vypočteme z • jako s posunutým argumentem • tedy celkem kde • v radiotechnice: řadě impulsů odpovídá řada nosných frekvencí v celočíselných násobcích • a když r(t) moduluje všechny tyto nosné, vytváří nekonečnou posloupnost postraních pásem Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  38. Spektrum vzorkovaného signálu spektrum r(t) • pro signál s L-obrazem vzorkovaný s • spektrum vzorkovaného signálu obsahuje nekonečně mnoho kopií spektra spojitého signálu • pokud se překrývají, je to problém - aliasing • pro frekvenci ω1 se spektrum skládá „správného“ plus „nesprávného“ = alias spektrum r*(t) Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  39. Spektrum vzorkovaného signálu • v důsledku vzorkování s frekvencí má výsledný signál harmonický obsah pro frekvenci ω1 nejen s originálního signálu na frekvenci ω1, ale i na všech frekvencích, které jsou aliasy ω1, • tj. obsahuje komponenty od všech frekvencí • pokud původní spojitý signál obsahuje významné komponenty s vysokými frekvencemi, dochází k velkému překryvu a tedy k velkým chybám • překryté kopie spektra • při zpětné rekonstrukci se použije rozdělené na • to vede k chybám Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  40. Systémy a modely Příklad: • Když signál • vzorkujeme s periodou 1/8 s, • dostaneme po zpětné rekonstrukci velmi zkreslený signál • aliasing způsobí ztrátu informace o vysokých frekvencích • současně se ale vysoké frekvence objeví v nízkých frekvencích a zkreslí jejich obsah v signálu Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 Michael Šebek - ČVUT - 2005 40

  41. Jak zabránit aliasing? • zmenšit periodu vzorkování (hustěji vzorkovat) aby se spektrum vzorkovaného signálu nepřekrývalo • musíme mít HW, který to stihne • před vzorkováním odfiltrovat ze signálu vysoké frekvence (anti-aliasing filter – dolní propust) • tím se sice informace o vysokých frekvencích také ztratí • ale aspoň nezkreslí obsah nízkých frekvencí • asynchronní nebo adaptivní vzorkování • v řízení se neužívá • tyto a další jevy a triky – viz obor zpracování signálů Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  42. Věta o vzorkování (Sampling Theorem) • vzdálenost mezi sousedními vrcholy je • kde je frekvence vzorkování • šířka jednoho „kopce“ (= spektra spojitého signálu) je • kde je maximální frekvence obsažená v původním signálu Z toho je zřejmé, že • k překrytí a tedy k aliasing nedojde • když • Takový signál může být plně obnoven ze svých vzorků • Naopak daný signál musíme vzorkovat frekvencí • Shannon - Kotělnikova(Nyquist -Whittaker): Věta o vzorkování Nyquistova frekvence Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  43. Volba periody vzorkování • Pro dosažení malé chyby při řízení obvykle volíme • kde je maximální frekvenceobsažená v původním signálu • Pro systémy typu dolní propust ji určíme jako frekvenci,kde dojde k poklesu amplitudy o -3 dB • Podle doby náběhu Tr z přechodové charakteristiky Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006

  44. Systémy a modely C. E. Shannon Claude Elwood Shannon 1916 –2001 • americký elektroinženýr a matematik • „otec teorie informace“ • zakladatel teorie návrhu digitálních obvodů • vzdálený příbuzný Edisona • Bc. a MSc. na Univ. Michigan • PhD. na MIT • za války v Bell Labs (řízení střelby, kryptografie) • od 1956 učí na MIT Jindřich Fuka – SAM11 - ČVUT - 2006 S využitím: Systémy a řízení,Michael Šebek - ČVUT - 2005 44

More Related