Energia e potenza nei circuiti elettrici

1. Energia e potenza nei circuiti elettrici Nel circuito in figura la batteria B è connessa con fili di resistenza trascurabile ad un dispositivo conduttore non specificato. La batteria mantiene una d.d.p. ai suoi estremi. Ai terminali a b del dispositivo c’è la d.d.p. pari a V = Va – Vb . Lungo il circuito scorre la corrente i (stazionaria) nel verso indicato, che trasporta la carica dq = i dt. L’energia associata alla carica dq, dovuta alla diminuzione del potenziale nel dispositivo, è pari, per il principio di conservazione dell’energia, al lavoro dU fatto dalla forza elettrica per portare la carica dq dal punto a al punto b attraverso il circuito: dU = V dq = i V dt La potenza è quindi data da: P = V I e si misura in watt = volt x ampère Nel caso di circuiti composti da conduttori con resistenza costante R, la potenza (energia per unità di tempo) assorbita (e dissipata) nella resistenza Rè data dalla equazione precedente P = i VR in cui la d.d.p. VRè sostituita tenendo conto della legge di Ohm VR = R i da cui si ottiene La potenza dissipata nei conduttori compare sotto forma di energia termica (effetto Joule o riscaldamento ohmico: la resistenza si riscalda). Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

2. Generatori di f.e.m. Per far passare una carica attraverso una resistenza occorre stabilire una d.d.p. tra le sue estremità. Per mantenere il flusso di cariche (=corrente) costante occorre mantenere costante la d.d.p. Un dispositivo in grado di mantenere costante la d.d.p. si chiama generatore di forza elettromotrice (f.e.m.). Il termine forza elettromotrice ha origini storiche. Si noti tuttavia che esso ha le dimensioni di un potenziale non di una forza. Simbolo: Un generatore di f.e.m. è un dispositivo come nella figura in alto in grado di mantenere una d.d.p. Va - Vb > 0 costantemente. Al suo interno un campo elettrico E sposta le particelle cariche responsabili della formazione della d.d.p. Un esempio di generatore di f.e.m. è una pila. Fn = forza non conservativa qE = energia fornita dalla sorgente per portare la carica q dal punto b (polo negativo) al punto a (polo positivo) E = forza elettromotrice della sorgente (energia per unità di carica) Unità di misura nel sistema SI: volt (V) Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

3. Legge delle maglie di Kirchhoff Per una sorgente non collegata al circuito cioè la f.e.m. E è la differenza di potenziale tra i poli della sorgente a circuito aperto. Un generatore che eroga corrente (circuito chiuso) è sede di una corrente di intensità uguale a quella del circuito esterno. La corrente convenzionalmente fluisce dal polo (+) al polo (-) nel circuito esterno e dal polo (-) al polo (+) all’interno del generatore. Per una sorgente di fem collegata ad un circuito resistivo (resistenza R, simbolo), il lavoro eseguito dalla sorgente sulla carica dq per spostarla dal polo negativo al polo positivo nel tempo dt (cioè l’energia potenziale fornita alla carica dq) è dU = E dq = E i dt mentre la potenza assorbita nella resistenza R e trasformata in energia termica vale R I2 . Per il principio di conservazione dell’energia, si ha: E = R i La potenza fornita dal generatore E Iè assorbita e convertita in calore nella resistenza R come R I2 . Questo significa anche che la variazione di potenziale lungo il circuito (percorso chiuso) è zero: E - R i = 0 Questa legge è nota come seconda legge di Kirchhoff (legge delle maglie), e stabilisce che la somma algebrica delle d.d.p. rilevate su un circuito chiuso in un giro completo (maglia) è nulla. Si noti che si sarebbe giunti allo stesso risultato partendo da un punto (ad es. a) in cui il potenziale è Va, e percorrendo il circuito in un certo verso. Occorre però stabilire delle convenzioni. Convenzionalmente, E è positiva se ha lo stesso verso della corrente (il generatore fornisce energia elettrica al circuito), mentre Eè negativa se ha verso opposto a quello della corrente (il generatore assorbe energia elettrica dal circuito). Analogamente, se si passa attraverso una resistenza nel verso della corrente, la variazione di potenziale è – i R, mentre se si passa nel verso opposto è + i R. Percorrendolo il circuito in figura in senso orario, si ha: Va + E – i R = Va Lo stesso risultato si sarebbe ottenuto percorrendo il circuito in senso antiorario. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

4. Generatori di f.e.m. reali ed ideali In un generatore di f.e.m. ideale non si ha resistenza interna che ostacoli il moto dei portatori di carica da un polo all’altro, per cui la d.d.p. ai capi del generatore è esattamente uguale alla f.e.m. In un generatore di f.e.m. reale vi è sempre una resistenza al moto delle cariche, per cui, se nel circuito non circola corrente, la d.d.p. ai capi del generatore è esattamente uguale alla f.e.m., ma se nel circuito circola corrente la d.d.p. ai capi del generatore è diversa (minore) dalla f.e.m. Un generatore di f.e.m. reale può essere schematizzato utilizzando una resistenza r posta in serie al generatore stesso. Un generatore di f.e.m. reale è tanto migliore quanto più piccola è la resistenza interna r. Nel circuito in figura, poiché la variazione di potenziale lungo il circuito (chiuso) è uguale a zero, si ha: La d.d.p. fra i poli del generatore, quando eroga corrente, è minore della sua f.e.m. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

5. Attraverso tre o più resistenze in serie circola la stessa corrente i. La d.d.p. ai capi delle tre resistenze, Vab, è pari alla tensione erogata dal generatore. Le resistenze possono essere sostituite da una resistenza equivalente Req attraverso cui scorre la medesima corrente i ed ai capi della quale c’è la medesima d.d.p. Vab. Resistenze in serie Applicando la legge delle maglie ai due circuiti a sinistra, si ha: E – i R1 – i R2 – i R3 = 0E – i Req = 0 Da cui si ottiene: E quindi Un altro esempio (più complicato, con due batterie) è quello a destra, dove nella tabella sottostante c’è la ricostruzione dell’andamento del potenziale lungo il circuito. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

6. Legge dei nodi di Kirchhoff Nei circuiti con più maglie sono presenti dei punti in cui si intersecano più rami del circuito, detti nodi. Nel circuito in figura, i nodi sono b e d, mentre a e c non sono nodi. Nel nodo b si intersecano il ramo bad, il ramo bd ed il ramo dcb, ed analogamente succede nel nodo d. Ogni ramo è attraversato da una corrente che in linea di principio è diversa da quella circolante negli altri. Per risolvere il circuito, ossia calcolare le correnti circolanti nei vari rami, occorre innanzitutto dare un nome ed un verso di percorrenza (arbitrario) alle correnti, ad esempio i1, i2 e i3 come indicato. Se, poi, il calcolo del valore della corrente ij darà un risultato negativo, vorrà semplicemente dire che il verso di percorrenza inizialmente scelto per la corrente ij era opposto a quello reale. Nell’esempio in figura, nel nodo d entrano le correnti i1 e i3 ed esce la corrente i2 . Dal momento che la corrente è un moto di cariche e che la carica totale si deve conservare, si deve avere i1+ i3 = i2 Tale legge è nota con il nome di prima legge di Kirchoff (legge dei nodi), e stabilisce che la somma delle correnti entranti in un nodo deve essere uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso (o, in modo equivalente, che la somma algebrica delle correnti deve essere nulla). Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

7. Resistenze in parallelo Nel caso di tre o più resistenze collegate in parallelo, le resistenze sono sottoposte alla stessa d.d.p. o f.e.m., e si vengono ad individuare tre maglie e quattro nodi. Come nel caso delle resistenze in serie, le resistenze possono essere sostituite da una resistenza equivalente Req alla quale il generatore eroga la stessa corrente che erogava al gruppo di resistenze ed ai capi della quale c’è la medesima d.d.p. Vab. Per quanto visto precedentemente, si può scrivere: Inoltre, nei nodi a e b valgono le leggi dei nodi, per cui i = i1 + i2 + i3 e risolvendo le espressioni precedenti sostituendo al posto di i1 i2 i3 i loro valori, si ottiene: Il che fornisce l’equazione Che può essere generalizzata, nel caso di più resistenze, come: Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

8. Lo strumento utilizzato per misurare la corrente è detto amperometro. Il metodo più comune per effettuare una misura di corrente è quello di interrompere il filo ed inserire l’amperometro A in serie in modo che la corrente da misurare passi attraverso lo strumento. Si consideri il circuito a due resistenze R1 e R2 in figura, e si supponga per semplicità r=0 (resistenza interna del generatore nulla). Senza amperometro la corrente circolante nel circuito vale i, mentre tenendo conto dell’amperometro e della sua resistenza interna rA, la corrente diventa i’. Esse sono date da: Amperometri e voltmetri Siccome lo strumento dovrebbe perturbare il meno possibile il circuito per fornire un valore i’ il più possibile vicino ad i, si vede che deve essere rA << R1 e R2 (in un buon amperometrola resistenza interna dell’amperometro deve essere trascurabile rispetto a quelle del circuito). Lo strumento utilizzato per misurare la tensione è detto voltmetro. Il metodo più comune per effettuare una misura di tensione è quello di porre il voltmetro in parallelo rispetto all’elemento del circuito di cui si vuole conoscere la tensione. Considerando lo stesso circuito a due resistenze R1 e R2 in figura, e supponendo sempre r=0, senza voltmetro la caduta di tensione su R1 vale V1, mentre con il voltmetro la caduta di tensione su R1 (e sul voltmetro che ha resistenza interna RV) vale V1’. Esse sono date da: Senza amperometro la corrente circolante nel circuito vale i, mentre tenendo conto dell’amperometro e della sua resistenza interna rA, la corrente diventa i’. Esse sono date da: dove R1V è il parallelo tra R1 e RV; si ha che V1 e V1’ sono tanto più simili quanto più RV >> R1: in un buon voltmetrola resistenza interna deve essere molto più grande di quella del circuito. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

9. Circuiti RC – carica di un condensatore Nel circuito C è inizialmente scarico. L’equazione del circuito (legge di Kirchhoff generalizzata) è:   e integrando cioè Da cui si ha dove e è la costante di tempo capacitiva del circuito (s), e dove le condizioni iniziali sono La corrente i(t) si ottiene mediante derivata:  dove Si noti che per t = 5tC si haq = 0.993 Qe i = 0.006 I Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

10. Nel caso della scarica del condensatore, C è inizialmente carico (per t = 0 q=Q) e all’accensione del tasto T si scarica sulla resistenza R. L’equazione del circuito può essere scritta (legge Kirchhoff) come:    Da cui si ottiene cioè Per quanto riguarda la corrente, essa vale:  cioè dove Anche in questo caso si può notare come, per t = 5tC, si abbiaq = 0.006 Q e i = - 0.006 I Nel circuito RC, l’energia dissipata nella resistenza R durante la scarica del condensatore e quella fornita dal generatore ed accumulata nel campo E del condensatore valgono rispettivamente: cioè cioè E tale uguaglianza dimostra che l’energia accumulata nel condensatore sotto forma di campo elettrico si è dissipata sotto forma di calore nella resistenza per effetto Joule. Circuiti RC – scarica di un condensatore Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02