Subset Sum Algoritmos e Estruturas de Dados – IF672

1. Subset SumAlgoritmos e Estruturas de Dados – IF672 [ibfs@cin.ufpe.br]

2. Soma de subconjuntos Dado um conjunto de inteiros, existe algum subconjunto dele tal que a soma dos seus elementos seja um valor v’ ?

3. Soma de subconjuntos • Dado um conjunto de inteiros, existe algum subconjunto dele tal que a soma dos seus elementos seja um valor v’ ? • Exemplo: Dado o seguinte conjunto de inteiros, pergunta-se se existe algum subconjunto tal que sua soma seja 15. • { 1, 3, 7, 6, 8}

4. Soma de subconjuntos • Dado um conjunto de inteiros, existe algum subconjunto dele tal que a soma dos seus elementos seja um valor v’ ? • Exemplo: Dado o seguinte conjunto de inteiros, pergunta-se se existe algum subconjunto tal que sua soma seja 15. • { 1, 3, 7, 6, 8} • Sim, o subconjunto {1, 6, 8} :)

5. Solução • Mas como fazer isto ? • Poderíamos montar todos os subconjuntos possíveis do conjunto e testar se sua soma é o valor esperado. Mas essa solução tem complexidade O(2N), já que precisamos gerar todos os subconjuntos possíveis. • :(

6. Solução • Mas como fazer isto ? • Poderíamos montar todos os subconjuntos possíveis do conjunto e testar se sua soma é o valor esperado. Mas essa solução tem complexidade O(2N), já que precisamos gerar todos os subconjuntos possíveis. • :( • Ou poderíamos usar programação dinâmica para resolver este problema. • :)

7. Programação Dinâmica • Partindo do princípio que resolver o problema para um conjunto de tamanho N-1 é mais fácil do que para um de tamanho N e de que resolver o problema para um valor v’-1 é mais fácil do que resolver para um valor v’ (Subproblemas), então podemos usar a idéia de: • Resolver a versão mais simples do problema. • Expandir até resolver o problema inicial • :P

8. Programação Dinâmica • Conjunto { 1, 3, 7, 2, 6} e valor procurado 5. • Vamos criar um array bidimensional sum, tal que: • sum[i][j] me diz se eu posso gerar o valor j usando os i primeiros elementos do conjunto. • Inicialmente, vamos usar os 0 primeiros elementos do conjunto para gerar o valor 0. • sum[0][0] = true; //Já que usando 0 elementos, a soma deles é 0. [trivial] • Agora, vamos usar os 0 primeiros elementos para gerar o valor 1. • sum[0][1] = false; //Já que a soma de 0 elementos é 0. • Para todos os outros valores, sum[0][i] será false.

9. Programação Dinâmica • Tabela para os 0 primeiros elementos • Note que não precisamos representar “valores” maiores que o nosso “valor objetivo”. Valores Quantidade de elementos

10. Programação Dinâmica • Conjunto { 1, 3, 7, 2, 6} e valor procurado 5. • Agora, vamos fazer o mesmo processo feito antes, mas agora para os 1-primeiros caras: • Para todo valor v’’ do array, faremos: • Se eu já conseguia gerar este valor usando os 0 primeiros elementos, então eu ainda posso gerar este valor com os 1 primeiros elementos.E como eu já conseguia gerar este valor v’’, então, agora eu posso gerar este valor v’’ somado ao valor do primeiro elemento do conjunto. • Ou seja, usando os 1 primeiros elementos, eu poderei gerar o 0 e o 1. • * Usar não significa necessariamente que eu estou somando ele. Significa que eu já analisei a possibilidade de usá-lo e não usá-lo.

11. Programação Dinâmica • Tabela para os 1 primeiros elementos Valores Quantidade de elementos

12. Programação Dinâmica • Conjunto { 1, 3, 7, 2, 6} e valor procurado 5. • Semelhantemente, faremos para todos os k primeiros caras, até usarmos todos os elementos do conjunto. • Para todo valor v’’ do array, faremos: • Se eu já conseguia gerar este valor usando os k-1 primeiros elementos, então eu ainda posso gerar este valor com os k primeiros elementos.E como eu já conseguia gerar este valor v’’, então, agora eu posso gerar este valor v’’ somado ao valor do k-ésimo elemento do conjunto.

13. Programação Dinâmica • Tabela para os 2 primeiros elementos Valores Quantidade de elementos

14. Programação Dinâmica • Tabela para os 3 primeiros elementos Valores Quantidade de elementos

15. Programação Dinâmica • Tabela para os 4 primeiros elementos Valores Quantidade de elementos

16. Programação Dinâmica • Tabela para os 5 primeiros elementos Valores Quantidade de elementos

17. Programação Dinâmica • Pela resultado final da tabela, podemos ver que há um subconjunto do conjunto inicial, tal que, sua soma é igual ao valor procurado 5.

18. Programação Dinâmica • Pela resultado final da tabela, podemos ver que há um subconjunto do conjunto inicial, tal que, sua soma é igual ao valor procurado 5. • Analisando um pouco mais a tabela, podemos ver que o valor 5 já poderia ser gerado usando os 4 primeiros elementos da tabela. • :)

19. Programação Dinâmica • Qual seria a complexidade deste algoritmo? • N elementos • Valor procurado V • O ( N*V) => O (N) ?

20. Programação Dinâmica • Qual seria a complexidade deste algoritmo? • N elementos • Valor procurado V • O ( N*V) => O (N) ? • Não exatamente. • Pois V não é uma constante, pois mudando a entrada o seu valor muda. • Mas V está atrelado ao valor então dizemos que o algoritmo é pseudo-polinomial.

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