Espad iii tc 20
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ESPAD III * TC 20. APLICACIONES Teorema de Pitágoras. l. CUADRADO Diagonal de un cuadrado Recta que une dos vértices opuestos. Por el Teorema de Pitágoras: d=d’ = √( l 2 + l 2 ) = √2. l 2 = l.√2

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Espad iii tc 20

ESPAD III * TC 20

APLICACIONES Teorema de Pitágoras


Espad iii tc 20

l

  • CUADRADO

  • Diagonal de un cuadrado

  • Recta que une dos vértices opuestos.

  • Por el Teorema de Pitágoras:

  • d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2

  • Las diagonales son rectas que se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Las dos son iguales en medida.

  • Ejemplo:

  • Hallar la diagonal del cuadrado de lado l= 5 cm

  • d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2

  • d=√( 52 + 52 ) = √(25+25)=

  • = √2.25 = 5.√2 cm

d

d’

l

l

l

d = l.√2


Espad iii tc 20

  • RECTÁNGULO

  • Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos.

  • Por el Teorema de Pitágoras:

  • d=d’ = √( b2 + h2 )

  • Las diagonales se cortan en su punto medio. Son iguales.

  • Ejemplo:

  • Hallar la diagonal del rectángulo de 8 cm de base y de 6 cm de altura.

  • d=d’ = √( b2 + h2 )

  • d=√( 82 + 62 ) =

  • = √( 64 + 36) = √100 = 10 cm

b

d’

d

h

h

b

d = √( b2 + h2 )


Espad iii tc 20

  • ROMBO

  • Las diagonales son rectas que unen vértices opuestos.

  • Las dos diagonales son distintas y perpendiculares.

  • En el triángulo rectángulo resaltado, en rojo, por el Teorema de Pitágoras:

  • l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]

  • Ejemplo:

  • Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24

  • l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] =

  • = √ [ (24/2)2 + (10/2)2 ] =

  • = √ (122 + 52) = √ 169 = 13 cm

l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]

l

l

d

D

l

l


Espad iii tc 20

TRAPECIO ISÓSCELES

Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES.

P = B + b + 2.l

A = [ (B+b)/2 ].h

EJEMPLO_1

En un trapecio isósceles las bases miden 13 y 5 cm y la altura mide 3 cm.

Hallar el lado oblicuo, el perímetro y el área.

Por Pitágoras:

Cateto mayor = altura= 3 cm

Cateto menor = (B – b) / 2 = (13-5)/2 = 4 cm

Hipotenusa = lado oblicuo = l

Luego l = √(h2 + [(B–b)/2]2) = √ (32 + 42) =

= √ (9 + 16) = √25 cm = 5 cm

P = 13+5+2.5 = 13+5+10 = 28 cm

A = [(13+5)/2].3 = (18/2).3 = 9.3 = 27 cm2

b

l

l

h

B

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b ) / 2 )2 ] }

l = hipotenusa.

h = un cateto.

(B-b)/2 = el otro cateto.


Espad iii tc 20

EJEMPLO_2

En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2.

Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo.

b=5

l

l

h

h

B = 11

Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h

Luego 48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm

Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo:

Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l

Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm


Espad iii tc 20

TRAPECIO RECTÁNGULO

Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

PERÍMETRO: P = B + b + l + h

AREA: A = [ ( B + b ) / 2 ].h

En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }

l = hipotenusa.

h = un cateto.

(B - b) = el otro cateto.

b

l

h

h

B


Espad iii tc 20

Ejemplo_1

Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm y cuya altura mide 5 cm

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }

Sustituyendo los valores conocidos:

l = √ { 52 + [ ( 16 – 12 )2 ] } =

= √ (52 + 42) = √ (25 + 16) =

= 6,40 cm

Ejemplo_2

Hallar la altura del trapecio rectángulo cuyas bases miden 22 cm y 16 cm y cuyo lado oblicuo mide 10 cm

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ { h2 + [ ( B – b )2 ] }

Sustituyendo los valores conocidos:

10 = √ ( h2 + 62 ) ; 100 = h2 + 36 ;

64 = h2 h = 8 cm

b

h

l

h

B


Ex gono

EXÁGONO

  • Es un polígono regular de SEIS lados.

  • Se compone de 6 triángulos equiláteros.

  • Todos sus ángulos miden 60º

  • La altura de cada uno de los seis triángulos se llama Apotema.

  • La apotema se puede deducir por el Teorema de Pitágoras, pues:

  • l= hipotenusa.

  • l/2= un cateto.

  • apo= otro cateto.

  • Teniendo:

  • l2 = (l/2)2 + apo2

  • apo2 = l2 - (l/2)2

  • De donde:

  • apo = l. √3 / 2

l

l

l

l

apo

l

P = 6.l

A = P.apo / 2

l

apo

l / 2


Espad iii tc 20

  • Ejemplo_1

  • Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm

  • Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2

  • Sustituyendo los valores conocidos:

  • 62 = 32 + apo2

  • Despejando: apo2 = 62 - 32 apo2 = 36 – 9 = 27  apo = √27 = 5,20

  • Ejemplo_2

  • Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm.

  • Como en un hexágono se cumple que l2 = (l/2)2 + apo2

  • Sustituyendo los valores conocidos:

  • l2 = (l2 / 4) + 42

  • Operando: 4.l2 = l2 + 64  3.l2 = 64  l = √(64/3) = 4,6188 cm


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