Le rôle clé du tenseur de Green dans les problèmes de diffusion et sa version stratifiée

1. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 1/10 Séminaire sur Le rôle clé du tenseur de Green dans les problèmes de diffusion et sa version stratifiée Michaël Lobet

2. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 1. Introduction: le sens physique du tenseur de Green 1/10 E(r) r G(r,r’) G(r,r’) = Champ électrique E radié à la position r dû à 3 dipôles unitaires orthogonaux placés en r’ Gxu Gyu Gzu Composantes du champ E radié par un dipôle unité // à l’axe u =(x,y ou z) Eu= r' Le tenseur de Green fait le lien entre une source de courant et le champ électrique

3. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 1/10 *Système et équation de départ Soit un milieu homogène, isotrope. Le champ vérifie l’équation d’Helmoltz avec source: Si on suppose une source ponctuelle, la solution est le tenseur de Green répondant à l’équation: Ce qui donne un champ électrique s’écrivant: où est la fonction de Green scalaire

4. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 1/10 *Représentation spatiale Cette relation peut s’écrire de façon plus compacte via l’utilisation de la représentation spatiale du tenseur de Green:

5. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 1/10 * Difficultés Si r est dans V et en particulier si r=r’ Convergence non uniforme de l’intégrale et donc du champ… PROBLEME Utilisation d’un volume d’exclusion Vδ& intégration dans le plan complexe : Méthode du volume principal et avec L dépendant de la forme du volume d’exclusion Vδ définis de manière unique et

6. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 1/10 * Justification physique Placement de r dans un cavité insérée dans V • Accumulation de charges en surface de la cavité (courant discontinu à la surface) • Champ électrostatique créé (fonction de la forme de la cavité) • Champ NON PHYSIQUE!!! • Compensation par le 2e terme qui retire ces charges de surface autour du volume d’exclusion

7. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 3. Représentation spectrale du tenseur de Green 1/10 Reprenons l’équation constitutive du tenseur de Green: dont on prend la transformée de Fourier par rapport à la variable r: avec En inversant, on obtient Fonction de Green dans le domaine spectral = Fonction de Green de ligne de transmission (Line Transmission Green’s Fonction)

8. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 3. Représentation spectrale du tenseur de Green 1/10 Il est possible de réobtenir la représentation spatiale en prenant la transformée de Fourier inverse: De nouveau, intégrale non convergente MAIS plus besoin de définir Vδ Après calculs … Tenseur de Green pour milieu homogène isotrope Représentation spectrale de P.V. G(r,r’) Avec Vδ en forme de disque Effet des charges sur le disque d’exclusion où

9. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 1/10

10. Séminaire tenseur de Green Michaël Lobet 2. Représentation spatiale du tenseur de Green 1/10