1 / 72

Analiza Matematyczna część 3

[wersja z 15 III 2007]. Analiza Matematyczna część 3. Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski. Różniczkowalność. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Interpretacja geometryczna pochodnej – styczna w punkcie x 0 ma nachylenie a.

inga
Download Presentation

Analiza Matematyczna część 3

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. [wersja z 15 III 2007] Analiza Matematycznaczęść 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski

  2. Różniczkowalność

  3. Pochodna funkcji jednej zmiennej

  4. Interpretacja geometryczna pochodnej – styczna w punkcie x0 ma nachylenie a

  5. o małe, O duże, ...

  6. Obliczanie pochodnych

  7. Wyprowadzenia:

  8. Przykłady: Od wewnątrz do zewnątrz Od zewnątrz do wewnątrz Różniczkowanie po obu stronach

  9. Styczna do krzywej Znajdź styczną do okręgu w pkt. A Różniczkowanie po obu stronach Wartość pochodnej Równanie stycznej z parametrem b Wyznaczenie b – pkt. A należy do stycznej Równanie stycznej

  10. Kąt przecięcia krzywych Krzywa parametryczna

  11. Funkcja pochodna Funkcja pochodna przyporządkowuje punktowi z przedziału otwartego (a,b) wartość pochodnej funkcji w tym punkcie

  12. Pochodne wyższych rzędów Jeśli funkcja f’ jest różniczkowalna, to możemy zdefiniować jej pochodną, itd.

  13. Wzór Leibniza

  14. Tw. o ekstremach

  15. Tw. Rolle’a Kontrprzykłady: funkcja nieciągła i nieróżniczkowalna

  16. Tw. Cauchy’ego Tw. Lagrange’a (prędkość średnia i chwilowa)

  17. Przykład (tw. Lagrange’a):

  18. Tw. Taylora

  19. Znaczenie tw. Taylora: dość łatwe przybliżanie funkcji n-krotnie różniczkowalnych wielomianem stopnia n-1. Dla „regularnych” funkcji reszta jest mała i metoda jest tym dokładniejsza, im większe jest n.

  20. (RR) Przybliżanie funkcji exp(x-1) z pomocą wzoru Taylora dla kolejnych n

  21. f(x)=sin(x) n=1 n=5 n=10 n=20

  22. Szereg (rozwinięcie) Taylora

  23. Przykład funkcji mającej wszystkie pochodne i nie posiadającej rozwinięcia Taylora wokół x=0: exp(-1/x2). Pochodne nie są ograniczone! Wszystkie pochodne w x=0 znikają. f’’’(x) f’’(x) f’(x)

  24. Funkcje hiperboliczne

  25. cosh sinh tanh=sinh/cosh

  26. Tw. o ekstremach

  27. Wypukłość

  28. Reguła de L’Hospitala

  29. Badanie funkcji • 0) Dziedzina • Miejsca zerowe • Parzystość, nieparzystość, okresowość • Ciągłość, granice w punktach nieciągłości i na krańcach przedziałów określoności • Asymptoty • Różniczkowalność • Monotoniczność i ekstrema • Druga pochodna, wypukłość, punkty przegięcia • Tabela przebiegu funkcji • Szkic wykresu • Przeciwdziedzina • (kolejność dowolna!)

  30. Całkowanie

  31. Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do stałej, tzn. jeśli F(x) jest funkcją piewrotną, to F(x)+C jest również funkcją pierwotną, ponieważ (F(x)+C)’=F’(x)=f(x). Całkowanie: operacja odwrotna do różniczkowania

  32. Całkowanie przez części

  33. Całkowanie przez podstawienie

  34. Wzory rekurencyjne (użyteczne w wielu obliczeniach)

  35. Całkowanie funkcji wymiernych

  36. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

  37. Całkowanie funkcji niewymiernych podstawienia Eulera

  38. Całka oznaczona Riemanna

More Related