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Taller “ Lógica Modal ” - Eduardo Barrio GAF - Grupo de Acción Filosófica - PowerPoint PPT Presentation


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Taller “ Lógica Modal ” - Eduardo Barrio GAF - Grupo de Acción Filosófica http://www.accionfilosofica.com Segundo Cuatrimestre de 2010. w2. w1. p q. q p. L(p q )  (Lp Lq) p q. w0. Un modelo es una estructura <W, R, V>. q p. w3.

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Presentation Transcript

Taller “Lógica Modal” - Eduardo Barrio

GAF - Grupo de Acción Filosófica

http://www.accionfilosofica.com

Segundo Cuatrimestre de 2010


w2

w1

p q

q p

L(p q ) (Lp Lq)

p q

w0

Un modelo es una estructura

<W, R, V>

q p

w3

E (Lp, w0): 1 ssi E le asigna 1 a p en w0 y en todo mundo accesible

desde w0.

E (Mp, w0): 1 ssi E le asigna 1 a p en w0 y en algún mundo accesible

desde w0.

 es válida universalmente ssi es verdadera en todo mundo de toda estructura


w2

w1

p

p

Mp p

p

w0

Modelo

<W, R, V>

p

w3

Relación de Accesibilidad entre mundos:

Reflexividad: w Rww

Transitividad: w x y (Rwx  RxyRwy)

Simetría w x (Rwx  Rxw)


Propiedades de las relaciones binarias

Reflexividad: x Rxx

Simetría: x y (Rxy Ryx)

Transitividad: x y z ((Rxy  Ryz)  Rxz)

Lineal: x y z ((Rxy  Ryz)  (Ryz v y  z v Rzy))

Serial: x y Rxy

Funcional x y (Rxy  z (Rxz  y  z))

Euclidea x y z ((Rxy  Rxz)  Ryz)

Determinista: x y z ((Rxy  Ryz)  y  z)

Reflexividad: Lp  p (T)

Simetría: p  LMp (B)

Transitividad: Lp  LLp (S4)

Lineal:

Serial: Lp  Mp (D)

Fucional: Lp  Mp

Euclidea: Lp LMp (S5)

Determinista: Mp Lp

Las propiedades impuestas sobre las relaciones de accesibilidad definen familias de estructuras.


Modelo T

La relación de accesibilidad es: reflexiva

Todos los mundos son accesibles desde sí mismos

El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito.

W, R VT

Axiomas de T

(A4) LA  A (reflexividad) (A5) L(AB)  (LA  LB)

Regla de Necesariedad:

Si  es teorema, L es teorema

p r

w0

r p

p ¬r ¬q

w1

w2


Modelo S4

La relación de accesibilidad es: reflexiva y transitiva.

El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito

S4 tiene leyes de reducción -

Axiomas de S4

(A1) (B  (A  B)) (A2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A3) (( B  A)  ((B  A)  A))

(A4) LA  A (A5) L(AB)  (LA  LB) (A6) LA  LLA (Transitividad)

p

w0

p

p

w1

w3

p

p

w2

w4


Modelo S5

La relación de accesibilidad es: reflexiva, simétrica y transitiva.

Todos los elementos del conjunto W están relacionados con todos. La relación de accesibilidad es una relación de equivalencia.

El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito.

S5 tiene leyes de reducción

Axiomas de S5

(A1) (B  (A  B)) (A2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A3) (( B  A)  ((B  A)  A))

(A4) LA  A (A5) L(AB)  (LA  LB) (A6) LA  LLA (A7) MA  LMA

w0

q

q

q

w1

w2


Modelo S5

La relación de accesibilidad es: reflexiva, simétrica y transitiva.

Todos los elementos del conjunto W están relacionados con todos. La relación de accesibilidad es una relación de equivalencia.

El número de elementos en W (el número de mundos) puede ser infinito.

S5 tiene leyes de reducción

Axiomas de S5

(A1) (B  (A  B)) (A2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A3) (( B  A)  ((B  A)  A))

(A4) LA  A (A5) L(AB)  (LA  LB) (A6) LA  LLA (A7) MA  LMA

Una  es válida-S5 

En todos los modelos-S5  W,R ,VS5, V ( , w1)  1 para todo w1  W

Para cualquier variable proposicional p y cualquier mundo w  W,

o bien V (p, w)  1 o bien V (p, w)  0

V , w1  1 si V , w1  0

V (  ), w1  1 si V  , w1  1 o V  , w1  1

V L, w1  1 si  w2 , tal que w1 R w2 V , w2  1

q

q


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