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TEORIA DELLA PROBABILITA ’ PowerPoint PPT Presentation


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TEORIA DELLA PROBABILITA ’. FENOMENI DETERMINISTICI (Es: il moto di un pianeta) FENOMENI INDETERMINISTICI ( Es: il lancio di un dado ). , . Studiamo un fenomeno di cui non è possibile conoscere con certezza l’esito Consideriamo l’esito del fenomeno come puramente casuale

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TEORIA DELLA PROBABILITA ’

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TEORIA DELLA PROBABILITA’

  • FENOMENI DETERMINISTICI (Es: il moto di un pianeta)

  • FENOMENI INDETERMINISTICI ( Es: il lancio di un dado )


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,

  • Studiamo un fenomeno di cui non è possibile conoscere con certezza l’esito

  • Consideriamo l’esito del fenomeno come puramente casuale

  • Se gli esiti possibili sono n , li consideriamo

    equiprobabili , cioè aventi la stessa possibilità di verificarsi

  • Ci poniamo nell’ipotesi che gli esiti possibili siano mutuamente esclusivi , cioè che il verificarsi di uno di essi escluda il verificarsi di ciascuno degli altri


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Con le premesse precedenti diamo le

definizioni che seguono:

  • UNIVERSO DEI CASI POSSIBILI(U):

    L’insieme ciascun elemento del quale è un esito possibile

  • SPAZIO DEGLI EVENTI(Ω):

    L’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di U

  • EVENTO :

    Ciascun elemento di Ω


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  • In termini insiemistici Ω è l’insieme delle parti di U (Ω = P(U))

  • Ciascun sottoinsieme di U costituisce , quindi , un evento

  • Ciascun caso possibile( ciascun elemento di U ) costituisce un

    evento elementare


Probabilita di un evento l.jpg

PROBABILITA’ DI UN EVENTO

  • DEFINIZIONE CLASSICA(PROBABILITA’ A PRIORI)

    Indichiamo con E un evento , con n il numero dei casi possibili, con a il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento , con P(E) la probabilità dell’evento . Allora


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  • DEFINIZIONE FREQUENTISTA ( PROBABILITA’ A POSTERIORI )

    • s = numero di “ successi “ ottenuti in una serie di prove

    • T =numero totale delle prove effettuate

      Allora


Osservazioni sul concetto e sulle definizioni di probabilita l.jpg

OSSERVAZIONI SUL CONCETTO E SULLE DEFINIZIONI DI PROBABILITA’

  • La definizione classica ha carattere astratto e puramente “ matematico “

    • Essa richiede chesipostuli la eqiprobabilità degli esiti possibili ( il che ha in sé implicito il pericolo di ricorrere ad un circolo vizioso )

    • Essa risulta di scarsa utilità pratica in tutti quei problemi per i quali non è possibile determinare a priori il numero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli ( qual è la probabilità a priori che che un aereo della linea Roma-Mosca precipiti???)


Presentazione assiomatica della probabilit l.jpg

Presentazione assiomatica della probabilità

  • Definiamo una funzione di probabilità che associa ad ogni evento E appartenente a uno spazio degli eventi Ωun numero reale appartenente all’intervallo [0,1]

    P:E→P(E) con 0≤P(E)≤1

    ASSIOMI

  • Per ogni E appartenente a Ω P(E)≥0

  • U , l’insieme dei casi possibili , rappresenta l’evento certo : per esso si ha P(U)=1

  • Dati n eventi E1…En a due a due incompatibili , si ha P(E1U…UEn)=P(E1)+….P(En)


Sulla definizione frequentista l.jpg

Sulla definizione frequentista

  • La definizione frequentista riconnette la teoria della probabilità alla statistica( per essa si parla di probabilità statistica)

    • Ciò che getta un ponte tra le due definizioni è la legge empirica del caso o legge dei grandi numeri :

      • In un gran numero di prove la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilità a priori , e ciò è tanto più vero quanto più grande è il numero delle prove


Algebra nello spazio degli eventi l.jpg

Algebra nello spazio degli eventi

  • Siano E1 ed E2 eventi incompatibili

    • E1UE2 evento unione(o somma)

    • P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)

  • Siano E1 ed E2 eventi compatibili ( cioè tali che la loro intersezione non sia vuota )

    • P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)-P(E1∩E2)

  • Sia ⌐E l’evento contrario di E

    • P(⌐E)=1-P(E)

  • Siano E1 ed E2 eventi indipendenti(il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità che si verifichi l’altro)

    • E1∩E2 evento intersezione( o prodotto)

    • P(E1∩E2)=P(E1)∙P(E2)


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  • Siano E1ed E2 eventi dipendenti ( il verificarsi di uno di essi altera la probabilità del verificarsi dell’altro)

    • Poniamo P(E2\E1) = probabilità di E2 condizionata ad E1( probabilità di E2 , supponendo che E1 si sia già verificato)

    • P(E1∩E2) = P(E1)∙P(E2\E1)


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