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Atelier Fonctions. Problème 1 :. Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à l’aire du carré ?. Réalisation de la figure sous géogébra.

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Presentation Transcript

Probl me 1

Problème 1 :

Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à l’aire du carré ?



Le cadre géométrique met en évidence la solution AM=0 . Une analyse de la configuration permet d’affirmer que si le triangle a pour base le double du côté du carré alors le triangle et le carré ont la même aire.L’étude géométrique sous géogébra n’est pas précise. On trouve une valeur approchée de la solution non triviale à 0,1 près..


Diff rence des aires exp rimentalement elle n est jamais nulle
Différence des aires:Expérimentalement, elle n’est jamais nulle

La valeur approchée de AM est 2,7


Pour obtenir une plus grande précision il faut introduire le cadre fonctionnel car le solveur graphique permet d’obtenir une valeur approchée beaucoup plus précise.On a deux fonctions: f(x)=x² et g(x)= 0,5x(8-x) sur [0;8]


R solution alg brique

Résolution algébrique:

On obtient, en faisant la différence des aires :

1,5 x² - 4 x = 0.

La factorisation ici ne pose pas de problème.


Probl me 2

Problème 2 :

On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD

Quelles dimensions faut-il donner au motif ?



Nous sommes confront s nouveau aux limites du logiciel de g om trie dynamique

Nous sommes confrontés à nouveau aux limites du logiciel de géométrie dynamique.

Il faut donc revenir à la fonction donnant l’aire du motif en fonction de la distance AM.

On a alors : f(x) = 0,5 x² + 4x


R solution graphique de l quation 0 5x 4x 32
Résolution de géométrie dynamique.graphique de l’équation 0,5x²-4x=32


R solution alg brique la factorisation du trin me n cessite une aide
Résolution algébrique: de géométrie dynamique.La factorisation du trinôme nécessite une aide


On peut proposer aux l ves de v rifier l galit entre
On peut proposer aux élèves de de géométrie dynamique.vérifier l’égalité entre :

puis leur demander de terminer la factorisation.


Avec le logiciel de calcul formel xcas
Avec le logiciel de de géométrie dynamique.calcul formel Xcas

L’élève peut vérifier la factorisation puis en déduire les solutions.

Adresse: http://xcasenligne.fr/


Remarque l instruction canonical form permet dans xcas de retrouver la forme canonique

Remarque: de géométrie dynamique.L’instruction canonical_form permet dans xcas de retrouver la forme canonique


Probl me 3

Problème 3 : de géométrie dynamique.

On voudrait que l’aire du triangle soit la plusgrande possible.


Par exp rimentation sur g og bra ou sur une calculatrice on trouve comme maximum 8 obtenu pour am 4

Par de géométrie dynamique.expérimentation sur géogébra ou sur une calculatrice, on trouve comme maximum 8 obtenu pour AM=4.


Preuve fonctionnelle
Preuve fonctionnelle de géométrie dynamique.

A faire après le cours sur la

représentation des trinômes.

On sait que la courbe de la fonction donnant l’aire du triangle est une parabole.

La recherche des antécédents de 6 par exemple

permet de mettre en évidence

l’axe de symétrie de la parabole puis

d’en déduire le sommet .


Preuve alg brique

Preuve algébrique de géométrie dynamique.

L’expérimentation a donné pour maximum 8.

Il suffit donc d’étudier le signe de la différence : 0,5x (8-x)-8.

On trouve 0,5x(8-x)-8= - 0,5(x-4)².


Prolongements possibles

Prolongements possibles de géométrie dynamique.

Est-il possible que l’aire du triangle soit plus grande que celle du carré ?

(à faire au moment de la résolution des inéquations par tableau de signe)

Comment évolue l’aire du motif en fonction de AM ?


Propositions de travail
Propositions de travail de géométrie dynamique.

1ère proposition

ABCD est un rectangle tel que AB = 2.

On construit les points E et F tels que ACEF est un carré.

Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que ACEF ait une aire inférieure à celle de ABCD ?

Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que le triangle ACE ait une aire inférieure à celle de ABCD ?

Autres propositions de questions ?


2 de géométrie dynamique.ème proposition (situation n° 1 document ressources):

A chaque nombre supérieur ou égal à 1, on associe le nombre cde diviseurs de sa partie entière.

Quels sont les nombres associés à 10 ? 43,7 ? 182 / 3 ?

Quel est le plus petit nombre auquel on associe 8 ?

Représenter graphiquement la situation de départ, pour tous les nombres compris entre 1 et 25 .

Construire une activité à partir de ces éléments du document ressources.


3 me proposition
3 de géométrie dynamique.ème proposition

On considère un quart de cercle de centre A et de rayon 6 cm.

Le point M est un point libre sur le segment [AB].

A partir du point M, on construit le rectangle AMLP tel que L soit un point du quart de cercle et P un point de [AC].

Le problème : suivant les positions de M, l’aire du rectangle AMLP est-elle constante ou varie-t-elle ? Si elle n’est pas constante, pour quelle(s) position(s) de M est-elle maximale ?


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