Fonctions numériques

CHAPITRE 6 Fonctions numériques

Le plan du chapitre • Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée, opérations et théorèmes sur les limites • Continuité d’une fonction en un point et sur un ensemble • Opérations sur les fonctions continues • Fonctions strictement monotones sur un intervalle • Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle • Extréma (maxima ou minima) locaux • Dérivées successives

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 1 D D l R R _ a e D f f admet une limite finiele R au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n = l

f admet une limite finiel e R au point a Pour tout e >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h) |f(x) – l | < e

Le cas particulier où le point a est un point de D • f : D ----> R • a point de D • lima f existe dans R (et vaut nécessairement f(a)) f est continue en a

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 2 D D l R R _ a e D \ D f f tend vers + l’infini au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n =+ l’infini

f tend vers + l’infini au point a Pour tout A >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h) f(x) > A

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 3 D D l R R _ a e D \ D f f tend vers - l’infini au point a si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D : lim (xn)n = a lim (f(xn))n =- l’infini

f tend vers - l’infini au point a Pour tout A >0, il existe h >0 , tel que : (x appartient à D et |x-a| < h) f(x) < - A

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 4 D _ +infinie D \ D D l R R f f tend vers l lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D lim (xn)n = +infini lim (f(xn))n =l

f admet une limite finiel e R en + l’infini Pour tout e >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) |f(x) – l | < e

Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite réelle achevée Cas 5 D _ +infinie D \ D D l R R f f tend vers + infini lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de D lim (xn)n = +infini lim (f(xn))n =+ infini

f tend vers + l’infini lorsque x tend vers + l’infini Pour tout A >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) > A

f tend vers - l’infini lorsque x tend vers + l’infini Pour tout A >0, il existe B >0 , tel que : (x appartient à D et x > B) f(x) < - A

Composition des limites (1) lima (g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lima f=le E _ liml g=L e R

Composition des limites (2) lima (g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ a e D _ lim+infini g=L e R _ lima f=+infini e E

Composition des limites (3) Lim+l’infini(g o f) = L D R E R f g f(D) l E _ + infini e D \ D _ lim+infini g=L e R _ lim+ l’infini f=+infini e E

Attention aux formes indéterminées ! ? x2 – x ? (log x) /x = (1/x) x log x quand x tend vers + l’infini Lim (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap) = + l’infini si a0 > 0 - l’infini si a0 < 0

Attention aux formes indéterminées ! ? P(x)/Q(x) ? (P(x))1/k– Q(x), k dans N*, en + l’infini (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap)1/k = a01/k xp/k( 1 + (a1/a0) x-1 + … )1/k b0 xq + b1 xq-1 + … + bq = b0 xq (1+ (b1/b0)x-1 + …)

Rappel de règles concernant les limites de suites

Limite à droite en un point a • a est adhérent à Va+:= {x dans D ; x >a} • La restriction de f à Va+ admet pour limite l au point a

Limite à gauche en un point a • a est adhérent à Va-:={x dans D ; x <a} • La restriction de f à Va- admet pour limite l au point a

« Une fonction monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert ]a,b[ (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite en tout point de ]a,b[»

Fonction continue en un point (rappel) • f : D ----> R • x0 point de D • limx0 f existe dans R (et vaut nécessairement f(x0)) Continuité à droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(x0)) Continuité à gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à f(x0))

Fonctions continues sur un segment [a,b] I. Une fonction f continue sur un segment [a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce segment) et à valeurs réelles est à la fois minorée et majorée sur [a,b]. II. Les deux bornes inf [a,b] f et sup[a,b] f sont atteintes par f en des points de [a,b]

Théorème des valeurs intermédiaires Une fonction f continue sur un segment [a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce segment) prend (sur ce segment) au moins une fois toute valeur intermédiaire y du segment [inf[a,b] f , sup[a,b] f] . Preuve par l’absurde !

Fonctions strictement monotones et continues sur un intervalle(1) M = sup {f(x), x dans I} I intervalle de R f(I) f(I) intervalle de R (du même type) I m=inf {f(x), x dans I} f : I  f(I) bijective f admet une application inverse f-1 : f(I)  I

Fonctions strictement monotones sur un intervalle(2) f-1strictement monotone (même type que f) y f(I) I f continue f-1 continue f-1(y-) c f-1(y) c f-1(y+) = =

Fonction réciproque d’une fonction strictement monotone f : I  J=f(I) [(x e I) et (y=f(x))] [(y e J) et (x=f-1(y))] Graphe (f) = {(x,y) e I x J ; y =f(x)} Graphe (f-1) = {(y,x) e J x I ; y=f(x)}

Droite ‘miroir’ y=x (x0,y0) (y0,x0)

Dérivabilité en un point et sur un intervalle • f définie dans un intervalle ouvert contenant un point donné x0 • f(x0+h) = f(x0) + a(x0) h + he(h) pour tout h de valeur absolue assez petite • e défini dans un intervalle ]-h,h[ (privé de 0) et lim0e = 0

Interprétation géométrique (x0+h, f(x0+h)) (x0, f(x0)) y=a(x0)(x-x0)+ f(x0)

Dérivabilité en un point Continuité en ce point Isaac Newton (1643-1727)

Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x0 f+ g dérivable en x0 , (f+g)’(x0)= f’(x0)+g’(x0) fg dérivable en x0 , (fg)’(x0)= f’(x0) g(x0)+g’(x0) f(x0)

Dérivabilité de x  xn n > 0 (x0+h)n = x0n + n x0n-1 h + o(h) n > 0 et x0 non nul (x0+h)-n = x0-n-n x0-n-1 h + o(h)

Règle de Leibniz G.W. von Leibniz (1646-1716) f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 g définie au voisinage de f(x0) et dérivable en f(x0) (gof)’(x0) g o f dérivable en x0 car : (g o f) (x0+h) = g (f(x0+h)) = g (f(x0) + h f’(x0) + o(h)) = g(f(x0)) + h g’(f(x0)) xf’(x0) + o(h)

Opérations sur les fonctions dérivables f et g dérivables en x0 et g(x0) non nul f/g dérivable en x0 et f’(x0) g(x0) - g’(x0) f(x0) (f/g)’(x0) = ______________________ (g(x0))2

Dérivabilité de la fonction inverse Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I On suppose f’ R 0 sur I (f’>0 ou f’<0) f-1 : f(I)  I est dérivable sur f(I) 1 (f-1)’(y0) = -------------- f’ ( f-1 (y0))

y= y0 + f’(x0) (x-x0) (x0,y0) x= y0 + f’(x0) (y-x0) (y0,x0)

Remarque : un énoncé admis Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I , de dérivée identiquement nulle sur I , est constante sur I. Attention cependant Aux escaliers du diable !

Maximum local en un point Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans un intervalle ouvert I contenant un point x0 admet un maximum local en x0 Il existe e>0 tel que [x0 - e, x0+ e] c I et que,pour tout x dans [x0 – e , x0+ e], f(x) est inférieur ou égal à f(x0)

Minimum local en un point Une fonction (à valeurs réelles) f définie dans un intervalle ouvert I contenant un point x0 admet un minimum local en x0 Il existe e>0 tel que [x0 - e, x0+ e] c I et que,pour tout x dans [x0 – e , x0+ e], f(x) est supérieur ou égal à f(x0)

Extréma locaux et dérivabilité Si une fonction à valeurs réelles, définie et dérivable sur un intervalle ouvert I de R, admet un extrémum local (maximum ou minimum) en un point x0 de I, alors : f’(x0) = 0 Mais la réciproque est fausse !!

Dérivées successives Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est dérivable en tout point de I assez voisin d’un point x0 de I donné et que de plus f’ est dérivable en x0 On dit que f est deux fois dérivable en x0 et on pose f’’(x0) = (f’)’(x0)

Dérivées successives(suite) Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est deux fois dérivable en tout point de I assez voisin d’un point x0 de I donné et que de plus f’’ est dérivable en x0 On dit que f est trois fois dérivable en x0 et on pose f’’’(x0) = (f’’)’(x0)

Dérivées successives(suite) Si f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R est n fois dérivable en tout point de I assez voisin d’un point x0 de I donné et que de plus la fonction dérivée n-ème f (n) est dérivable en x0 On dit que f est n+1 fois dérivable en x0 et on pose f (n+1) (x0) = (f(n))’(x0)

Fonctions de classe C sur un intervalle ouvert de R 8 Une fonction admettant des dérivées à tout ordre en tout point d’un intervalle ouvert I de R est dite de classe C sur I . 8

Fin du Chapitre 6

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