Probabilitas dan Statistika BAB 5 Distribusi Peluang Kontinu

1. ProbabilitasdanStatistikaBAB 5 DistribusiPeluangKontinu

2. Pembahasan • Distribusi Normal • LuasdiBawahKurvaNormal • HampiranNormal terhadapBinomial • DistribusiGamma danEksponensial • DistribusiKhi-Kuadrat • DistribusiWeibull

3. Distribusi normal Distribusisuatu data darisebuah sample yang memilikikurva normal (normal curve) yang berbentuklonceng. Ditemukanoleh Abraham DeMoivere (1733). Seringdisebutdistribussi Gauss (Gaussian distribution)

4. Distribusi normal • Distribusi Normal, FungsiPenuhpeubahacak normal X, denganrataan µ danvariansiσ2adalah • Dengan : 3,14159… dane=2,71828…

5. Kurva normal

6. Karakteristikkurva normal • Kurvaberbentukgenta (= Md= Mo) • Kurvaberbentuksimetris • Kurvamencapaipuncakpadasaat X=  • Luasdaerahdibawahkurvaadalah 1; ½ disisikanannilaitengahdan ½ disisikiri

7. Jenis-jenisdistribusi normal • Distribusikurva normal dengan samadan  berbeda

8. Jenis-jenisdistribusi normal • Distribusikurva normal dengan berbedadan sama

9. Jenis-jenisdistribusi normal • Distribusidengan dan  yang berbeda

10. a  b x luasdibawahkurva normal • Luasdibawahkurva normal denganbatas x1=a dan x2 = b

11. luasdibawahkurva normal • P(x1 < X < x2) = = • Integral diatastidakdapatdiselesaikansecaraanalitis. Untukmemudahkanperhitungantersediatabel normal yang berisikanluasdibawah area kurva normal baku

13. Contoh 1 • DiketahuinilaimatakuliahProbabilitasdanStatistikakelas C, berdistribusi normal dengan mean  = 55 dandeviasistandar = 15. Tentukannilaipeluang • 55 ≤ X ≤ 75 • 60 ≤ X ≤ 80X ≤ 40

14. Answer 55 < X < 75 P(55<X<75) = = = P(0≤Z ≤1,33) = 0,4082 ……(see table ….) Atau = 0,4082

15. b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293= 0,3232 atau : Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

16. c). P(x ≤ 40) = 0,5 – A • = 0,5 – 0,3412 • = 0,1588

17. Contoh 2 Tinggibadanmahasiswa UGM berdistribusi normal denganrata-rata 165 cm dandeviasistandar 10 cm. Tentukanberapaproblabilitasmahasiswa UGM dengantinggilebihdari 180 cm? Answer: P(180<X<) Z=X-/ 180-165/102,5 Dengantabeldidapatbahwapeluangnyaadalah : 0,9938 Makabesarnyapeluangnyaadalah  1 - 0,9938 = 0,0062

18. Contoh 3 Diketahuirata-rata hasiladalah 74dengansimpanganbaku 7. Jikanilai-nilaipesertaujianberdistribusi normal dan 12% pesertanilaitertinggimendapatnilai A, berapabatasnilai A yang terendah ?

19. answer

20. Hampiran normal terhadap binomial • Persamaandistribusi binomial b(x;n,p) Review :  = simpangan  = rataan • Distribusi Normal :  = npdan denganq= (1-p)

21. Hampiran normal paling bergunadalamperhitungandengannilai n yang besar • Ex: peluang yang tepatdiberikanoleh

22. Untukhampiran normal : x1= 6,5 dan x2 = 9,5 • Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26) =0,9678 – 0,6026 =0,3652 • Hasilinimendekatidenganhasil yang sebenarnya

23. Soallatihan • Peluangseorangmahasiswasembuhdari hepatitis A adalah 0,4. Bilaada 100 mahasiswa yang terkenapenyakitini, berapapeluangbahwakurangdari 30 mhs yang sembuh. • Saat UM UGM terdapat 200 soalpilihangandadengan 4 pilihandanhanya 1 pilihan yang benar. Seorangsiswamengerjakansoaltanpamembacasoalsedikitpun, berapapeluangsiswatadimenjawab 25 sampai 30 soaldenganbenaruntuk 80 dari 200 soal???

24. Penyelesaian : Misal: peubah binomial X menyatakanbanyaknyapenderita yang sembuh, Karenan = 100 maka µ = np= 100 x 0,4 = 40 Dan Untukmendapatkanpeluang yang dicaridigunakan x= 29,5 Peluang ≤ 30 pasien yang sembuhdari 100 pasien : P(X<30) ≈ P(Z < ─2.14) = 0,0162

25. Distribusi Gamma danEksponensial • Fungsi gamma didefinisikan sebagai: • Untuk • Jadi • Sifat penting fungsi gamma :

26. Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan Diperoleh Maka Jadi diperoleh

27. Dengan formula (rumus) berulang diperoleh : : dan seterusnya Jika dengan bilangan n bulat positif, maka

28. Distribusi gamma • Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk : • Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi Eksponensial

29. Distribusi gamma

30. Distribusieksponensial

31. Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk : • Rata-rata dan variansi distribusi gamma : • Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :

32. Contoh 4 • Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. • Jawab: Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah:

33. Contoh 5 • Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit. Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 sambungan telepon masuk ke gardu tadi • Jawab: Proses poisson berlaku dengan waktu sampai kejadian poisson memenuhi distribusi gamma dengan parameter Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:

34. Khikuadrat • Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma : • Laludisubstitusidengan : • Menjadi :

35. Khikuadrat • Parameter V merupakanderajatkebebasan • Rataandistribusi chi kuadrat : • Variansidistribusi chi kuadrat :

36. Distribusiweibull • Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter , jika fungsi padatnya berbentuk: • Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial. • Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong.

37. Distribusiweibull

38. Rata-rata dan variansi distribusi Weibull • Rata-rata : • Variansi : • Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.