Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu

1. DistribusiProbabilitasDiskritdanKontinu OlehAzimmatulIhwah

2. DistribusiProbabilitasDiskrit • Fungsiprobabilitasdarivariabel random diskritdapatdinyatakandalam formula matematiktertentuyang dinamakanfungsidistribusidiskrit. • Distribusidiskrit yang akandijelaskandisiniantara lain distribusi uniform diskrit, distribusi binomial, distribusigeometrikdandistribusi Poisson

3. Distribusi Uniform Diskrit • Distribusi uniform diskritmerupakandistribusivariabel random diskrit yang mengasumsikanbahwasemuanilaimempunyaikemungkinan yang samauntukmuncul. • Definisi : jikavariabel random diskrit X dengannilai-nilaimempunyaiprobabilitas yang sama, makavariabel random X disebutmempunyaidistribusi uniform diskrit, dinotasikandengan, jikafungsiprobabilitasnyaberbentuk :

4. Distribusi Uniform • Contoh: padapemilihanwarnakemasanpermen, semuatitiksampeldalam S = {merah,kuning,hijau,biru,ungu,orange} mempunyaiprobabilitas yang samauntukmuncul, yaitusebesar. Jadiuntuk x = merah, kuning, hijau, biru, ungu,orange. • Untukvariabel random X yang mempunyaidistribusi uniform diskrit, maka

5. Distribusi Binomial • Bila dalamsatueksperimendengannpercobaan, kejadiandalamtiappercobaandiklasifikasikanmenjadi ‘sukses’ atau ‘gagal’, denganprobabilitassuksesdalamtiappercobaanadalahp, makadistribusiprobabilitasnyadinamakandistribusi binomial. • Suatuvariabel random diskrit X dikatakanberdistribusi binomial dengan parameter ndanp, dinotasikandenganmakafungsiprobabilitasnyaberbentuk : , untuk x = 0,1,2,…,n x = banyaknyasukses, n = banyakpercobaan, p = probabilitassukses

6. Distribusi Binomial • Contoh : tersedia 3 mesinpengemas yang dijalankanbersamaan. Berapaprobabilitasbahwadalam 5 kali keluaranmesin, terdapat 2 kemasan yang rusakpadamesinpertama? Jawab : x = 2, n = 5 , p = , maka b(2;5,) = • Jikavariabel random diskrit X mempunyaidistribusi binomial dengan parameter n dan p maka

7. DistribusiGeometrik Contohkasus : dalamtransmisigelombang, probabilitasgelombang yang ditransmisikanditerimabersifateroradalah 0,1. Asumsikanbahwasetiaptransmisigelombangadalahkejadianindependen (salingbebas), danmisalkan X menotasikanjumlahgelombang yang ditransmisikansampaiterjadinyagelombangeror yang pertama. Jadi P(X=5) merupakanprobabilitasbahwa 4 gelombangpertama yang ditransmisikantidakmengalamierordangelombang ke-5 barumengalamieror. Kejadianinidapatdinotasikan {OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang diterimatidakmengalamieror).

8. DistribusiGeometrik • Karena setiaptransmisigelombangadalahkejadianindependen, maka P(X=5) = P({OOOOE}) = • Variabel random X yang menyatakanbanyaknyapercobaansampaiterjadinyasukses yang pertama kali dikatakanberdistribusigeometrikdengan parameter p, dinotasikandenganfungsi probabilitasberbentuk untuk x = 1,2,3,…

9. DistribusiGeometrik • Jika X berdistribusiGeometrikdengan parameter p, maka

10. Distribusi Poisson • Jika padadistribusi binomial parameter n cukupbesar (secarateoritis n), makadiperolehdistribusi Poisson dengan parameter . • Jadisuatuvariabel random diskrit X dikatakanmempunyaidistribusi Poisson dengan parameter , dinotasikan, jikafungsiprobabilitasnyasbb: ; untuk x = 0, 1, 2, 3, …

11. Distribusi Poisson • Contoh : jikaprobabilitasseseorangterkenapenyakitdemamadalah 0.005, berapaprobabilitasbahwaterdapat 18 orang yang terkenapenyakitdemamdari 3000 orang? Jawab : diperoleh, sehingga p(18;15) = • Jikavariabel random X mempunyaidistribusi Poisson, dengan parameter λ, maka

12. DistribusiProbabilitasKontinu • Fungsidensitasprobabilitasdarivariabel random kontinudapatdinyatakan pula dalam formula matematiktertentuyaitufungsidistribusikontinu. • Distribusikontinu yang akandipelajaridisiniadalahdistribusi uniform kontinu, distribusi normal, distribusi Chi-Square, distribusi Student’s t dandistribusi F.

13. Distribusi Uniform Kontinu • Definisi : suatuvariabel random kontinu X mempunyaidistribusi uniform kontinupadaselang, dinotasikandenganjikafungsidensitasnyaberbentuk: ,untuk x yang lain

14. Distribusi Uniform Kontinu • Jika variabel random kontinu X berdistribusi uniform kontinupada interval , maka :

15. Distribusi Normal • Fungsidistribusidarivariabel random kontinu yang paling luaspenggunaannyaadalahfungsidistribusi normal. • Kurva normal berbentuksepertilonceng (bell), sehinggakurvanyadisebutbell curve. • Kurva normal adalahsimetris, dengan mean dan median berada di tengah-tengah.

16. Distribusi Normal • Kurva normal sangatbaikuntukdipakaidalammenggambarkan data yang munculdalamkehidupansehari-hari. • Misaldiketahui data nilaiakhirmahasiswaStatistikaIndustri I TIP FTP UB yang berdistribusi Normal, makadikatakanbahwasebagianbesarnilaimahasiswaberada di sekitarrataandansangatsedikitsekalimahasiswa yang nilainyasangatbagusdansangatsedikit pula yang nilainyasangatjelek. • Contohdalamindustripertanian??

17. Distribusi Normal • Definisi : variabel random kontinudikatakanberdistribusi normal dengan parameter dan, dinotasikandengan, jikafungsidensitasprobabilitasnyaberbentuk : untuk Apabila dan = 1, makadiperolehdistribusi normal standar, dinotasikandenganseringdisebutdengandistribusi Z, fungsidensitasnyasbb :

18. Distribusi Normal Teorema :Luasdaerah di bawahkurva normal (normal biasamaupun normal standar) dan di atassumbu X adalah 1 satuan. Yaitu Sifatkurva normal : • Asimtotikterhadapsumbu X. • Simetristerhadapgaris. • Mempunyaititikkoordinatmaksimum • Mempunyaiduatitikbelokygberjarakdrsbsimetri

19. MencariLuas di BawahKurva Normal denganMenggunakanTabelKurva Normal Standar • Jika variabel random X berdistribusi normal biasadenganfungsidensitasprobabilitas, maka • Ataudengan kata lain kitamencariluas di bawahkurva normal dandibatasi x = a dan x = b Namunbukanpekerjaan yang mudahmengingatbentukfungsidensitasprobabilitasdarivariabel random X ygcukuprumit. Sehinggaparaahlistatistikmenyediakantabel yang menyatakanluas di bawahkurva normal standar, di atassumbu Z dandibatasioleh Z = 0 dan Z = z

20. MencariLuas di BawahKurva Normal denganMenggunakanTabelKurva Normal Standar • Dengan cara mentransformasikan nilaivariabel X ke variabel Z dengan . • Tabelkurva normal standar

21. MencariLuas di BawahKurva Normal denganMenggunakanTabelKurva Normal Standar Dari tabeltersebutcarilahluas di bawahkurva normal baku: • Yang dibatasioleh Z = 0 dan Z = 1.34 • Yang dibatasioleh Z = -0.57 dan Z = 0 • Yang dibatasioleh Z = -0.57 dan Z = 1.34 • Yang dibatasioleh Z = 1.34 dan Z = 2.56 • Di sebelahkanan Z = -0.57 • Di sebelahkanan Z = 1.87

22. ContohKasus 1. Rataannilaikinerjapegawaidari 2500 pegawai di Perusahaan MajuTerusadalah 85 danmempunyaistandardeviasi 20. Denganmenganggapbahwa data tersebutadalah data yang berasaldaripopulasiberdistribusi normal, cariberapabanyakpegawai: • Yang nilaikinerjanyalebihdari 90? • Yang nilaikinerjanyaantara 75 dan 90?

23. ContohKasus 2. Rataanskormasuksuatuperguruantingginegeriadalah 120.5 denganstandardeviasi 20. Sesuaidenganformasi yang ada, darikeseluruhanpesertateshanyaakandiambil 30% saja. Berapaskorterendah yang diterima di perguruantingginegeritersebutjikadistribusiskordianggap normal?

24. Titik Dalam aplikasistatistikainferensialmenyangkutujihipotesis, seringdiperlukannilaitertentusehinggaluas di sebelahkanandan di bawahkurva normal standarsamadengan. Titik yang sepertiinidinamakan. Jadidiperoleh, dimana

25. Titik Jika digambarkan: Denganmelihattabeldistribusi normal standar, akandiperolehnilai-nilai:

26. Distribusi Chi-Square • Suatu variabel random X dikatakanberdistribusi Chi-square denganderajatkebebasanjikafungsidensitasprobabilitasnyaberbentuk: denganbilanganaslidan. Fungsidisebutfungsi gamma

27. Distribusi Chi-Square • Distribusi Chi-square denganderajatkebebasandisajikandengan, danjikaberditribusi Chi-square denganderajatkebebasandisajikandengan. • Grafikdistribusi Chi-square • Jika var. random X berdistribusi, maka

28. Distribusi Chi-Square • Untuk nilaidantertentu, hargadapatdicarimelaluitabel. • Contoh

29. Distribusi Student’s • Suatu variabel random X dikatakanberdistribusistudent’s denganderajatkebebasanjikafungsidensitasprobabilitasnyaberbentuk: dengan Distribusitersebutdisajikandenganatau. • Grafikdistribusi student’s

30. Distribusi Student’s • Nilai-nilai yang bersesuaiandenganderajatkebebasandandapatdilihatpadatabelberikut: • Misal

31. Distribusi Student’s • Jika variabel random kontinu X berdistribusi student’s denganderajatkebebasanmaka:

32. Distribusi F Suatu variabel random kontinu X dikatakanberdistribusi F denganderajatkebebasandanjikafungsidensitasnyaberbentuk: Distribusitersebutdisajikandenganatau X. Grafikdistribusi F:

33. Distribusi F Tabel distribusi F yang tersediahanyaterdapatnilai dandannilai-nilaidantertentu. Contoh: Jika variabel random kontinu X berdistribusi F denganderajatkebebasandanmaka: • , untuk • , untuk

34. Tabel F untuk

35. Tabel F untuk