第十章随机信号频域分析 (Random Signal Analysis in Frequency Domain)

第十章随机信号频域分析(Random Signal Analysis in Frequency Domain) 第一节功率谱估计的古典法功率谱估计的古典法以傅利叶变换为基础，加上平滑和统计平均的方法来估计随机信号的功率谱。平滑用以消除在采样时引入的高频成分，对于确定性信号也可使用。平均用以消除随机成分，提取确定性成分。统计平均的方法，实际是去除随机性，提取确定性（趋势）的方法。对于随机信号功率谱，只是（对其中所含确定性成分的谱的）一个估计，表征它与什么样的确定性信号谱相当。偏离程度即表示随机污染的程度。

一、周期图法 周期图（periodogram）实际上就是随机信号的一个样本（如有N个点）的功率谱。假设随机信号为x(n)，则其周期图如下计算式中P上的 “∧” 号，表示估计值。下标p表示周期图。很显然，谱估计p(k) 与真实谱P(k)有一定的偏差，样本越短偏差可能越大。但样本大小又会受到采样时间和运算时间的限制。

二、平均周期图 平均周期图（averaged periodogram）法是将一段较长的随机信号的数据序列x(n)分成m段，然后分段做傅立叶变换，最后再做平均。分段法又可分为对小样本的分段重迭法(segmented overlapping method)以及对较大样本的分段不重迭法(segmented non-overlapping method)。平均方法又可分为频谱平均和功率谱平均。

三、平均法 1．向量平均法向量平均法是：先求每一段的傅利叶变换，再将正弦分量Ai(K)、余弦分量Bi(K)求平均，最后合成功率谱P(K)。 P(K) = [ΣAi(K)/M]2 + [ΣBi(K)/M]2 i = 0,1,2,…,M (10-2) 优点是既可获得功率谱，又可将平均结果。缺点是，虽然是同频分量，但由于相位的不同，可能产生相消的结果。

2．标量平均法 标量平均法是：先求每一段的傅利叶变换，并由正弦分量Ai(K)、余弦分量Bi(K)合成功率谱P(K) Pi (K) = [Ai(K)]2 + [Bi(K)]2 i = 0,1,2,…,M (10-3) 然后对功率谱进行平均 P(K) =ΣPi(K) /M i = 0,1,2,…,M (10-4) 这样的平均是在能量意义上的平均。这种平均法的缺点是丢失了相位信息，因而不能用反傅立叶变换获得平均后的时域信号。

四、平滑周期图 平滑周期图分析中的所谓平滑的方法是对样本加各种窗函数使之平滑化。加窗是用等长的窗函数序列与样本数据序列相乘。设样本数据序列为x(n)，窗函数为W(n)，则加窗后的序列xw(n)为: xw(n) = x(n) W(n) (10-8a) 加窗也可在频域完成。根据傅立叶变换定理，两信号乘积的傅立叶变换等于两信号分别进行傅立叶变换后的结果的卷积XW(K)可得： XW(K) = X(K)*W(K) (10-8b) 式中K为频域自变量。下面列举几种生物医学信号处理中常用的窗函数。

1. 矩形窗（rectangular window）函数 任何采样，都是对数据的截段。截断产生两种结果：( 1 ) 意味着加矩形窗；(2) 从傅利叶分析观点，意味着以后的数据都是按样本周期性变化。矩形窗函数为： (10-9) 矩形窗函数具有偶（关于y轴）对称性。原始数据x(n)加窗后变成w(n)x(n)。加矩形窗是加为1的等权。矩形窗有陡直的边缘，会给原始数据的谱引入附加的高频成分。

2. 三角窗（triangular window）函数 W(m) = 1 － 2|m|/N |m| < N/2 (10-10) 三角形窗函数也具有偶（关于y轴）对称性。双边三角窗函数在W(0)处不可微，即不光滑，因而不是很理想的窗函数。 3. 余弦窗（cosine window）函数很多窗函数都以余弦函数为基础，可以称为窗函数的“基”，因为它变化平滑且有偶（关于y轴）对称性。余弦窗函数形式如下： W(m) = COS(mπ/N) |m| ≤ N/2 (10-11)

4. 汉宁窗( Hanning window) 函数 W(m) = COS 2(mπ/N)= 0.5 + 0.5 COS (2mπ/N) |m| ≤ N/2 (10-12) 从上式可知，汉宁窗是余弦平方窗。展开后，成为二项窗，具有偶（关于y轴）对称性。 5. 汉明窗( Hamming window)函数 W(m) = 0.5 – 0.5 COS (2mπ/N) = SIN 2(mπ/N) |m| ≤ N/2 (10-13) 五、平均平滑周期图平均平滑周期图法就是先求信号的分段平滑（加窗）谱, 然后再求平均谱。

第二节现代谱分析法（Modern Spectral Analysis） 现代谱分析法涉及的面很广，这里只简单介绍AR模型法和高阶谱分析法的概念。一、参数模型法这是以AR模型为基础的方法。谱估计的公式为：式中Em为白噪声的方差。n = 0, 1, …, N-1。AR(k)为估计的功率谱。ak为AR模型估计的系数。

AR模型谱估计的优点:(1）可在任意频段内以任意谱分辨率观察结果;（2）适用短数据；（3）谱估计较平滑。 AR模型谱估计的缺点:(1）谱分辨率随信号的信噪比的下降而下降;（2）谱峰位置受原始数据初相的严重影响;（3）不能用于能量或功率的定量研究（不存在Parseval定理确定的时频域关系）；（4）最重要的是物理意义不清楚：公式中分子是与白噪声有关的能量，分母是AR模型参数的功率谱。当分母→0时，才有谱峰存在。（5）受原始数据长度影响较大。

图10-6 胃电的AR模型谱，示出初相位对峰位置的影响

二、高阶谱分析 高阶谱分析（higher-order spectral analysis）用于分析均值为0的非线性、非高斯信号。如果信号均值不为0，可先进行去均值预处理。均值叫一阶矩，方差叫二阶矩又叫自相关。自相关或二阶矩的傅利叶变换叫功率谱(单谱)。自相关是信号的相关性的量度。对于三阶以上的相关性的量度不用矩的概念，而改用累积量（cumulant）的概念。二阶累积量等于二阶矩。

高阶累积量(higher-order cumulant)提供了非高斯、非线性信号的高阶相关性的量度。对于高斯信号，其三阶以上的累积量皆为0。这就提供了一种可能性：采用高阶统计量分析信号，可以大大提高信噪比。高阶累积量的傅利叶变换叫高阶谱（higher-order spectrum），如三阶累积量的傅利叶变换叫二阶累积量谱或双谱（bispectrum）。高阶谱分析可用以检测被强高斯噪声淹没的有用信息。

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