Teorema Fundamental da Trigonometria

1. Teorema Fundamental da Trigonometria

2. sen 1 sen θ 0 1 cos -1 cos θ -1 · θ )θ Demonstração ...

3. sen 1 1 sen θ )θ 0 1 cos -1 cos θ Continuação... -1

4. 1 sen θ )θ cos θ Utilizando o teorema de Pitágorash2 = c2 + c2, temos : Continuação... C M P Q D

5. )θ Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

6. Ente Trigonométrico Relação no Triângulo Retângulo Seno de θ Cosseno de θ Tangente de θ Cossecante de θ Secante de θ Cotangente de θ Continuação ...

7. tg θ sen θ cos θ sen tg · )θ 0 cos Na Circunferência Trigonométrica

8. cotg cotg θ cossec θ secante θ · )θ 0 Continuação ...

9. sen tg 90° 120° 135° 150° 0°/360° 180° 0 cos 210° 330° 225° 315° 300° 240° 270° 60° 45° 30° Arcos Notáveis

10. Tabela de Entes Trigonométricos ...

11. Exercícios Resolvidos

12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

13. 2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

14. 3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

15. 4) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2a + cos2avale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2q + cos2q = 1 portanto

16. 5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

17. 6) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

18. C b a ( ) B A c Seja um triângulo ABC qualquer temos : Lei dos Senos

19. C b a c ( ) B A Seja um triângulo ABC qualquer temos : Lei dos Cossenos

20. Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos : Sabe-se que cos 90° = 0, logo ... Temos, portanto ... Continuação ... Teorema de Pitágoras

21. y 1 • • 270° 630° -90° -180° • • • • • • x 0° 360° 540° 720° 90° 180° 450° • • • -1 senx Gráficos das funções trigonométricas

22. y 1 • • • 180° 540° -180° • • • • • x 0° 720° -90° 630° 90° 450° 270° 360° • • • -1 cosx Continuação ...

23. y 450° 630° -90° • • • • • • • 270° • • 90° x 0° 180° 360° 540° tg x Continuação ...

24. y cossecx 1 270° 630° -90° -180° • x 0° 360° 540° 720° 90° 180° 450° -1 • • • • • • • • • • Continuação ...

25. y secx 1 • • • 180° 540° -180° x • • • • • 0° 720° -90° 630° 90° 450° 270° 360° • • • -1 Continuação ...

26. y cotg x 450° 630° 270° 90° • • • • • • • • • x 360° 540° 180° 0° 720° Continuação ...

27. • Integração por Substituição trigonométrica Demonstrando o Caso I ... C M P Q D

28. Trigonometria Algumas Aplicações

29. Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .

30. Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que: temos que: portanto:

31. Exemplo 1 A inclinação de uma rampa

32. Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

33. Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: Comprimento total da rampa 6 metros 16,4 metros 2 metros q solo

34. Observemos o triângulo retângulo em destaque . . . Temos em relação ao ângulo q: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a.

35. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a. Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

36. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

37. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

38. Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

39. Igualando o h das equações ( I ) e (II) Como

40. Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: v = 0,2 m/s De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros 30 metros