Geometrijske konstrukcije Iva Jerkovic & Maja Pavic, 3.d

1. Geometrijske konstrukcijeIva Jerkovic & Maja Pavic, 3.d

2. Metodika rješavanja konstruktivnih zadataka • KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA je dio geometrije u kojem se proučavaju metode i teorija geometrijskih konstrukcija • KONSTRUKTIVNI GEOMETRIJSKI LIK je osnovni pojam konstruktivne geometrije, on se uzima bez definicije • RAVNALO i ŠESTAR su osnovni instrumenti geometrijskih konstrukcija • OSNOVNE KONSTRUKCIJE su niz jednostavnih konstrukcija na koje se svode složenije konstrukcije

3. Osnovne konstrukcije su........ • Prenošenje dužine • Prenošenje kuta • Konstrukcija simetrale i polovišta dužine • Konstrukcija simetrale kuta • Konstrukcija paralele s danim pravcem kroz danu točku • Konstrukcija okomice iz dane točke na dani pravac • Dijeljenje dužine u zadanom omjeru • Konstrukcija S-S-S • Konstrukcija S-K-S • Konstrukcija S-K-K • Konstrukcija S-S>-K>

4. Konstruktivni zadatak...... • sastoji se u konstrukciji nekog lika s unaprijed zadanim instrumentima • rješenje konstruktivnog zadatka je svaki lik koji zadovoljava postavljene uvjete • riješiti konstruktivni zadatak znači svesti taj zadatak na konačan broj osnovnih konstrukcija ili već riješenih zadataka • konstruktivni zadatak može biti: moguć, nemoguć, rješiv, nerješiv, određen, preodređen, jednoznačan, višeznačan

5. Četiri koraka rješavanja konstruktivnih zadataka: 1.Analiza konstruktivnog zadatka...je traženje načina rješavanja toga zadatka tj. proces njegovog svođenja na osnovne konstrukcije 2.Konstrukcija...izvodi se nakon provedene analize 3.Dokaz...pomoću njega se prikazuje da nađeni lik zadovoljava postavljene uvjete i da je svaki korak u konstrukciji moguć 4.Rasprava...odgovaramo na pitanja o mogućnosti izvođenja konstrukcije na odabran način, o broju rješenja za svaki izbor danih veličina....

6. postoji niz razvijenih metoda u teoriji geometrijeskih konstrukcija glavne metode rješavanja konstruktivnih zadataka su: Metoda presjeka Metoda pomoćnih likova Metoda osne simetrije Metoda rotacije Metoda centralne simetrije Metoda translacije Metoda homotetije Metoda sličnosti Metoda inverzije Metoda afinosti Metoda kolineacije Konstruktivne metode......

7. 1. Metoda presjeka...... • Osnovna ideja metode presjeka vrlo je jednostavna • Rezultat su dva skupa točaka, istaknuta točka traženog lika mora zadovoljavati oba uvjeta • BIT METODE PRESJEKA... • Zadaća se svodi na konstrukciju jedne točke • Uvjet se rastavlja na dva dijela od kojih svaki vodi na jednu krivulju za traženu točku • Tražena točka je sjecište dobivenih krivulja • Da bi konstrukcija bila elementarna, nužno je da svaka od dobivenih krivulja bude pravac ili kružnica

8. 1. primjer • Konstruirajmo trokut ABC kojemu su zadane duljine a i b dviju njegovih stranica i duljina vc visine iz vrha C • ANALIZA Budući da je zadana duljina a, vrhovi B i C lako se konstruiraju. Treći vrh A mora zadovoljavati sljedeća 2 uvjeta: 1. točka A mora biti udaljena od točke C za duljinu b 2. točka A mora biti udaljena od pravca BC za duljinu va • Skup svih točaka koje zadovoljavaju prvi uvjet je kružnica sa središtem u točki C i polumjera b • Skup svih točaka koje zadovoljavaju drugi uvjet su dva pravca paralelna s pravcem BC i od njega udaljena za va

9. KONSTRUKCIJA • Stranica BC:B, polupravac BD, C=BDk(B,a) • Kružnica k (C,b) • Okomica o točkom C na pravac BC;P,Q є o  k(C,va) • Pravci p i q točkama P i Q paralelni s pravcem BC • Vrh A: p  k(C,b), q  k(C,b) A1,A2,A3,A4 • RJEŠENJA: trokuti A1BC, A2BC, A3BC, A4BC

11. DOKAZ Dokaz je na temelju analize očigledan RASPRAVA zadatak ima 0,2 ili 4 rješenja već prema tome je li b manji, jednak ili veći od va. U slučaju kad zadatak ima 2 ili 4 rješenja, po dva su rješenja sukldna i ona se obično ne promatraju

12. 2. Metoda pomocnih likova..... • Često se koristi dio crteža kako bi se dobio neki pomoćni lik čiju konstrukciju na temelju poznatih činjenica nije teško provesti • Do njih dolazimo produživanjem ili skraćivanjem nek dužine, povlačenjem dodatnih dužina, paralela ili okomica..... • Nakon konstrukcije pomoćnog lika na lako uočljiv način slijedi konstrukcija traženog lika

13. 2. primjer • Konstruirajmo pravokutan trokut ABC ako je zadan njegov kut i zbroj a+b duljina a i b njegovih kateta ANALIZA neka je ABC traženi pravokutni trokut, trokut je potrebno nadopuniti novim elementima tako da dobije lik u kojem je jedan element dužina duljine a+b. Postoje dvije uočljive mogućnosti: produživanje katete AC i produživanje katete BC. Odabrat ćemo prvu. produžimo katetu AC za dužinu CD duljine a. Promatrajmodobiveni trokut ABC. On ima s pravokutnim trokutom zajedničku stranicu AB i može se konstruirati. Nakon toga nije teško konstruirati ni pravokutni trokut ABC

14. KONSTRUKCIJA • Dužina AD: točka A, polupravac AP, D=AP  k(A, a+b) • Kut DAK = a(prenošenje kuta) • Kut ADB = 45° (simetrala DQ pravog kuta) • Vrh B: AK  DQ • Okomica iz točke B na polupravac AP • Vrh C: presjek okomice i polupravca AP • RJEŠENJE: trokut ABC

16. RASPRAVA Zadatak ima samo jedno rješenje jer kut a jednoznačno određuje pravac i smjer hipotenuze c.