TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 3 : Limit ve Süreklilik

1. TBF 121 - Genel Matematik IDERS – 3: Limit veSüreklilik Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. Limit.Bir f fonksiyonu ile c ve L reel sayıları verilmiş olsun. f nin c yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. f fonksiyonu c’de tanımlı olsun veya olmasın bazen aşağıdaki soru önem kazanır: L: x değişkeni c ye gittikçe yaklaşan değerler alırken f(x) in aldığı değerler nasıl değişir? “xdeğişkeninin c ye gittikçe yaklaşan değerler alması” ifadesinden ne anlaşılması gerekir? 1 1.00005 0.99995 0.998 1.002 0.999 1.001 1.0005 0.9995 1.0001 0.9999 1.00001 0.99999 Şekilden görüldüğü üzere, aşağıdaki listede soldan sağa doğru gidildikçe listedeki sayıla-rın1 e olan uzaklığı sıfıra yaklaşır:

3. x değişkeni bir c sayısına gittikçe yaklaşan değerler alıyorsa, x,c ye yaklaşıyor denir ve xc yazılır. x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin bir kısmı c den küçük bir kısmı c den büyük olabilir. Eğer x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin hepsi c den küçükse, o takdirde x,cye soldan yaklaşıyordenir ve xc– yazılır. Eğer x in c ye yaklaşırken aldığı değerlerin hepsi c den büyükse, o takdirde x,cye sağdan yaklaşıyordenir ve xc+ yazılır. Sayı ekseni üzerinde c den küçük olan sayıların c nin solunda, c den büyük olan sayıların ise c nin sağında yer alması neden bu isimlendirmelerin yapıldığını açıklar. x   •   x c c xc+ xc–

4. y (x,f(x)) (x,f(x)) f(x) (c,L) L x x x c (0,0) L: x değişkeni c ye gittikçe yaklaşan değerler alırken f(x) in aldığı değerler nasıl değişir? L1: x değişkeni c ye yaklaşırken f(x) de L ye yaklaşır. L2: x in c ye yeterince yakın her değeri için f(x) de L ye istenildiği kadar yakın olur. L3: x ile c arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşırsa, f(x) ile L arasındaki uzaklık da sıfıra yaklaşır.  L1, L2 ve L3 cümlelerinden herhangi birinin geçerli olması durumunda L sayısına x, cye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti denir ve iken veya yazılır.

5. y (x,f(x)) (x,f(x)) f(x) (c,L) 2 3 L x 1/2 x 1 x c y (0,0) (0,0) x 3 Örnek. veya Yukarıda verilen limit tanımı, matematiksel olarak ifade edilirse, “ -  tanımı” olarak da adlandırılan bir sonraki slaytta vereceği-miz tanım ortaya çıkar:

6. y L+ (x,f(x)) f(x) L L- (0,0) c- c+ x c x Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L R verilmiş olsun. f nin cyi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir >0 bulunabiliyorsa, L sayısına xsayısıcye yaklaşırkenffonksiyonununlimiti denir ve iken veya yazılır. Tanımdaki koşul şöyle de ifade edilebilir: Her  > 0 için olduğunda (c,L) olacak biçimde bir  >0 bulunabilmesi. Bu durumu yandaki şekilden izleyelim.

7. Daha önce verdiğimiz limit örneği için “ -  tanımı” şöyle uygulanabilir: dır; çünkü,  > 0 verildiğinde tanımdaki koşulu sağlayan >0 sayısı olarak = /2 almak yeterli olur. Gerçekten Bu muhakemenin en son kısmını gözden geçirerek  > 0 verildiğinde tanımdaki koşulu sağlayan  >0 sayısının nasıl belirlendiğini anlamaya çalışınız. Bundan sonraki uygulama ve örneklerimizde “ -  tanımı” üzerinde çok durmaya-cağız.

8. y 2 1 -1 x 1 1 y x (0,0) (0,0) Örnek. 2 x 1 için Eğer olan bir L sayısı yoksa, f fonksiyonunun x c iken limitiyoktur denir. YOK! Örnek.

9. y YOK! Örnek. (0,0) x y YOK! Örnek. (0,0) x

10. y (x,f(x)) (c,L) L x c x (0,0) veya x c iken f(x)  L olup olmadığı araştırılırken x in c ye her iki taraftan da yakın değerleri, yani hem c den küçük hem de c den büyük değerleri için f(x) in L yeyakın olup olmadığı kontrol edilmektedir. x in c ye sadece bir taraftan yakın değerleri için de f (x) in L yeyakın olup olmadığı sorgulanabilir. Bu düşünce bizi tek yanlı limit kavramına götürür. Eğer x in c ye yakın fakat cden küçük her değeri için f(x) sayısı Lye yakın oluyorsa, Lsayısına x sayısı c ye soldan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti(the limit of fas x approaches cfrom the left) denir ve veya yazılır. Bu durumu açıklayan şekli yandaki yeşil bölgeden izleyelim.

11. -1 1 1 y x (0,0) -1 Örnek. 0 Örnek. y x (0,0) (5,0)

12. y Eğer olan bir L sayısı yoksa, xsayısı cye soldan yaklaşırken ffonksi- yonunun limiti yokturdenir. YOK! Örnek. x (0,0) y YOK! Örnek. (0,0) x

13. y L+ f(x) (x,f(x)) L L- (0,0) c- x x c Soldan limit için de “ -  tanımı” verilebilir: Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L ℝverilmiş olsun. f nin c den küçük sayılar da kapsayan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa Lsayısına xsayısı cye soldanyaklaşır-ken ffonksiyonunun limiti denir ve veya yazılır. Bu tanımı yandaki şekil üzerinde açıklayalım. (c,L)

14. y (x,f(x)) f(x) (c,L) -1 L 1 x c 1 x y (0,0) x (0,0) Eğer x in c ye yakın fakat cden büyük her değeri için f(x) sayısı Lye yakın oluyorsa, Lsayısına x sayısı c ye sağdan yaklaşırken f fonksiyonunun limiti(the limit of f as x approaches cfrom the right) denir ve veya yazılır. 1 Örnek.

15. -1 1 2 y x (0,0) 1 Örnek. 0 Örnek. y x (0,0)

16. y Eğer olan bir L sayısı yoksa, xsayısı cye soldan yaklaşırken ffonksi- yonunun limiti yokturdenir. YOK! Örnek. x (0,0) y YOK! Örnek. x (0,0)

17. y L+ f(x) (x,f(x)) L L- (0,0) c+ x x c Sağdan limit için de “ -  tanımı” verilebilir: Tanım. Bir f fonksiyonu; c, L ℝverilmiş olsun. f nin c den küçük sayılar da kapsayan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa Lsayısına xsayısı cye sağdanyaklaşır-ken ffonksiyonunun limiti denir ve veya yazılır. Bu tanımı yandaki şekil üzerinde açıklayalım. (c,L)

18. Sağ Limit Sol Limit Limit İfade kolaylığı sağlamak için limitine fninx = c’dekisol limiti, limitine de fninx = c’dekisağ limiti denir. mevcut değildir.

19. (1,3) y (-1,2) y = f(x) (1,2) (0,0) x (1,-2) Örnek. Öyle bir grafik ( y = f(x)) çiziniz ki, olsun. (0,1) (2,0)

20. Limit ile ilgili bazı özellikler.f vegfonksiyonlar; c , L , M R ; olsun. Bu takdirde, Burada listelenen limit özellikleri x  c yerine x  c+veyax  c -yazıldığı takdirde de geçerli-dir.

21. Örnek.

22. -1 4 1 4 2 y 2 2 2 y y x x (0,0) (0,0) (0,0) x Süreklilik.Aşağıdaki fonksiyonlardan her birinin x = 2civarında grafiğini gözden geçirelim: x= 2’de sürekli değil x= 2’de sürekli x= 2’de sürekli değil Tanım.Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’desüreklidir denir:

23. Tanım.Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = c’de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c’desüreksiz fonksiyon denir. Yukarıda verilen örneklere ek olarak aşağıdaki şekilde gösterildiği biçimde süreksizlik örnekleri de vardır: y y y = f(x) L (c,L) f(c) (c,f(c)) x x c (0,0) (0,0) Somut bir örnek:

24. (1,3) y (-1,2) y = f(x) (1,2) (0,0) (2,0) x (1,-2) Tanım.Eğer aşağıdaki üç koşul sağlanıyorsa, f fonksiyonu x = c’de süreklidir denir: x = c’de sürekli olmayan bir fonksiyona x = c’desüreksiz fonksiyon denir. Tanım. a, b R, a < bolsun. Eğer a < c < b olan her ciçin f fonksiyonu x = c’de sürekli ise, f fonksiyonu (a , b) aralığındasüreklidir denir. fnin sürekli olduğu aralıklar: (-,-1) , (-1,0) , (0,1) , (1, )

25. y x b a (0,0) Bir aralık üzerinde sürekli olan fonksiyonların önemli bir özelliğini yansıtan aşağıdaki teorem aşikâr görünmekle birlikte ispatı göründüğü kadar kolay değildir. Teorem.f fonksiyonu (a , b) aralığında sürekli ve her x  (a , b) için f (x)  0 ise, ya her x  (a , b) için f(x) > 0 dır; ya da her x  (a , b) için f (x) < 0 dır. y = f(x) Tanım.f nin süreksiz olduğu xsayıları ile f (x) = 0 olan x sayılarına f nin parçalanış sayıları (partition numbers) veya işaret sayıları denir. Parçalanış sayıları ve yukarıdaki teorem yardımıyla, hangi x sayıları için f(x)> 0 ve hangi x sayıları için f (x) < 0 olduğu kolayca belirlenir.

26. p(x)=x–2 nin bir tek işaret sayısı vardır: x = 2. Bu fonksiyon, (–,2) aralığında negatif; Örnek. (2,) aralığında pozitif değerler alır. Bu durumu işaret tablosudediğimiz tablo ile şöyle göste-ririz: x - 2  x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + 0 p(x)=x2–1 in iki işaret sayısı vardır: x = -1 ve x = 1 . Bu fonksiyonun işaret tablosu Örnek. şöyledir: x -1 - 1  x-1 + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - x+1 0 + + + + + + + + + + + + + x2-1 0 + + + + + + + + + + + - - - - - - - - 0

27. x - -1 1  2 x-2 0 x2- 1 0 0 Örnek. x = -1 , 1 ve 2 dir. denklemi ile verilen fonksiyonun işaret sayıları f (x) > 0 ve f (x) < 0 olan bölgeler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + - - - - - - 0 + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + Bu fonksiyonun grafiği sonraki slaytta gösterilmiştir.

28. y x 1 -1 2

29. y y y x x x (0,0) (0,0) (0,0) Tanım.Eğer ise, ffonksiyonu x = c’de soldan süreklidir denir. Eğer ise, f fonksiyonu x = c’de sağdan süreklidir denir. Örnekler. x = 0’da sağdan sürekli 1 -1 x = -1’de sağdan sürekli x = 1’de soldan sürekli x = 0’da ne sağdan ne de soldan sürekli

30. c c y y x x (0,0) (0,0) ffonksiyonu bir c reel sayısını içine alan bir açık Sonsuz Limitler ve Düşey Asimptotlar. aralığın belki chariç her noktasında tanımlı olsun. Eğer x , cye (soldan ve sağdan) yaklaşırken f (x) değerleri sınırsız olarak artıyorsa, x , cye yaklaşırkenffonksiyonu-nun limitisonsuzdur veya x , cye yaklaşırken f (x)sonsuza ıraksar denir. Bu durumda, veya yazılır. Benzer şekilde, eğerx , c ye (soldan ve sağdan) yaklaşırkenf (x) değerleri sınır- sız olarak azalıyorsa,x , c ye yaklaşırkenffonksiyonunun limiti eksi sonsuzdur veyax , c ye yaklaşırkenf (x) eksi sonsuza ıraksardenir. Bu durumda, veya yazılır. Yandaki şekillerin bu tanımlar için açıklayıcı olacağını düşünüyoruz.

31. Sonsuz limitlerin de “ -  tanımı” verilebilir. Tanım. Bir f fonksiyonu; c R verilmiş olsun. fninc yi içine alan bir açık aralığın belki c dışında her noktasında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir >0 bulunabiliyorsa,x , c ye yaklaşırkenffonksiyonununlimiti sonsuzdurveyax , c ye yaklaşırkenf (x)sonsuza ıraksardenir. Bu durumda, veya yazılır. Benzer şekilde, eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir >0 bulunabiliyorsa,x , c ye yaklaşırkenffonksiyonununlimiti eksi sonsuzdurveyax , c ye yaklaşırkenf (x) eksi sonsuza ıraksardenir. Bu durumda, veya yazılır.

32. 2 Örnek. y x 2 (0,0) y (0,0) x

33. c c y y x x (0,0) (0,0) x , cye soldan veya sağdan yaklaşırkenfnin limitinin sonsuz veya eksi sonsuz olma-sıda yukarıdakilere benzer biçimde tanımlanabilir. Örneğin,x , cye sağdan yaklaşır-kenf nin limitinin sonsuz olması vex , cye sağdan yaklaşırken f nin aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir. limitinin eksi sonsuz olması

34. 1 Örnekler. y x (0,0) y x (0,0)

35. Eğer aşağıdaki durumlarından biri geçerli ise, x = c doğrusu f fonksiyonunun grafiğine düşey asimptot-tur veya f fonksiyonunun düşey asimptotudur denir. Yukarıdaki örneklerden, x = 1 doğrusunun nin grafiğine ve in grafiğine düşey asimptot olduğu görülür. aynı zamanda ün grafiğine düşey asimptottur. ve x = 2 doğrusu ün grafiğine bir düşey asimptot daha vardır: x = -2 , çünkü

36. b b y y x x (0,0) (0,0) c herhangi bir reel sayı olmak üzere (c , ) aralığında tanımlı bir f Sonsuzda Limitler. fonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x  için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğerx sınırsız olarak artarken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, xsonsuza ıraksarkenfnin limitibdir denir ve veya yazılır. Eğer ise, x in büyük değerleri için fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir

37. b b y y x x (0,0) (0,0) Benzer biçimde, c herhangi bir reel sayı olmak üzere (-,c) aralığında tanımlı bir f fonk-siyonu için x sınırsız olarak azalırken, yani x - için f (x) değerlerinin nasıl değiştiğini bilmek isteriz. Eğer x sınırsız olarak azalırken f (x) değerleri bir b sayısına yaklaşıyorsa, bu takdirde, xeksi sonsuza ıraksarkenfnin limitib dir denir ve veya yazılır. Eğer ise, x in küçük değerleri için fonksiyonunun grafiği aşağıdaki iki durumdan birine benzeyecektir

38. Bütünlüğü korumak adına sonsuzda limitler için de “ -  tanımı” nı verelim. Tanım. Bir ffonksiyonu; b, cℝverilmiş olsun. fnin(c , )aralığında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer verilen her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, xsonsuza ıraksarkenfnin limitibdir denir ve veya yazılır. Benzer biçimde, f nin (- , c) aralığında tanımlı olduğunu kabul edelim. Eğer veri- len her  > 0 için koşulunu sağlayan bir  >0 bulunabiliyorsa, xeksi sonsuza ıraksarkenfnin limitibdir denir ve veya yazılır.

39. Örnekler. ise, y = bdoğrusu f fonksiyonunun grafiğine veya Eğer yatay asimptottur denir. Örnek. in düşey ve yatay asimptotları: olduğundan, x = 1 düşey asimptot. ve ve olduğundan, y = 2 yatay asimptot.

40. Sonsuzda Sonsuz Limitler. cherhangi bir reel sayı olmak üzere (c , ) aralığında tanımlı bir ffonksiyonu için x sınırsız olarak artarken, yani x   için f (x) de sınırsız olarak artıyorsa, x sonsuza ıraksarken fnin limiti sonsuzdur denir ve veya yazılır. Benzer şekilde, xsınırsız olarak artarken, yani x   için f (x) sınırsız olarak azalıyorsa, x sonsuza ıraksarken fnin limiti eksi sonsuzdur denir ve veya yazılır. Bu tanımlara ek olarak ve gösterimlerinin hangi anlamda kullanıldığının okuyucu tarafından kolayca anla-şılabileceğini kabul ediyoruz.

41. Örnekler. y y y x (0,0) x x (0,0) (0,0) y x (0,0)

42. Örnekler.