Transformada de Laplace y filtros analógicos

Transformada de Laplace y filtros analógicos Francisco Carlos Calderón PUJ 2010

Objetivos • Definir la transformada de Laplace y estudiar algunas de sus propiedades. • Analizar sistemas continuos utilizando la transformada de Laplace. • Conocer las características de los principales filtros analógicos. • Diseñar filtros analógicos usando MATLAB.

Transformada de Laplace Sea la entrada a un SLIT, su salida está dada por: Por lo tanto si la entrada al SLIT es una exponencial compleja , se puede reemplazar esta expresión en la ecuación de convolución y de esa forma se obtendría que:

Transformada de Laplace • Simplificando:

Transformada de Laplace • Esta integral se define como la trasformada de Laplace de h(t). • De forma más general, la trasformada de Laplace de una señal x(t) se define como:

Transformada de Laplace • Donde  es la parte real de s y  la parte imaginaria, • Al reemplazarla en la integral se obtiene:

Transformada de Laplace • La transformada de laplace puede escribirse de la siguiente forma:

Convergencia de la transformada de Laplace • Para que la transformada de Laplace converja, es necesario que la Transformada de Fourier de: • Converja, por lo tanto la transformada de Laplace posea un intervalo de valores de s para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC) • Tomando este límite por separado: Hallar X(s) = al separar los exponentes reales de el complejo se obtiene para que el límite converja es necesario que • y de esta forma el límite tiene a cero. Así:

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC) Hallar X(s) Hallar X(s) ROC = ROC =

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)

Propiedades de la transformada de Laplace • Usando la notación: • Y sean

Propiedades de la transformada de Laplace • Linealidad: • Desplazamiento de tiempo: • Desplazamiento de s

Propiedades de la transformada de Laplace • Conjugación • Escalamiento en tiempo: • Convolución: * Es el operador convolución

Propiedades de la transformada de Laplace • Diferenciación en tiempo y s • Integración en t

Propiedades de la transformada de Laplace • Teorema del valor inicial y final: Si x(t)=0 para t<0

Propiedades de la ROC • La Roc posee ciertas propiedades que ayudan en el análisis y definición de la misma. • La ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje j en el plano s. • La ROC no contiene ningún polo. • Si x(t) es de duración finita y absolutamente integrable, entonces la ROC es el plano s completo. Ejemplo: ROC = Todo el plano S • IV) Si x(t) es derecha y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de s para los cualesRe{s] > 0 también estarán en la ROC. , entonces , con ROC .

Propiedades de la ROC • v) Si x(t) es izquierda y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales Re{s] < 0 también estarán en la ROC. , entonces , con ROC VI) Si x(t) es bilateral y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces la ROC consistirá de una banda en el plano S que incluya la línea Re{s] = 0 . VII) Si X(s) es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito.

Propiedades de la ROC • VIII) Si x(t) es derecha, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la derecha del polo localizado más hacia la derecha. • IX) Si x(t) es izquierda, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la izquierda del polo localizado más hacia la izquierda.

Referencias • Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 5 • Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 9 • Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ • Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ • Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ

Transformada de Laplace y filtros analógicos