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Calcolo delle probabilità






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Calcolo delle probabilità. Progetto lauree scientifiche Università dell’Insubria Facoltà di Matematica Como. Natalina Drappo. Paola Bertoncello. Introduzione alla probabilità. definizioni. Probabilità discreta. Analisi degli esiti di esperimenti aleatori.
Calcolo delle probabilità

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -




Slide 1

Calcolo delle probabilità

Progetto lauree scientifiche

Università dell’Insubria

Facoltà di Matematica

Como

Natalina Drappo

Paola Bertoncello

Slide 2

Introduzione

alla probabilità

definizioni

Probabilità discreta

Analisi degli esiti di esperimenti aleatori

in cui l’insieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile

Evento elementare

Esito di un esperimento aleatorio

Variabile aleatoria

testa testa TT

Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento

Spazio campionario

Insieme degli eventi elementari

{TT, TC, CT, CC }

Evento

Risultato del lancio

Mano di poker

didue monete

Sottoinsieme dello spazio campionario

{TT, TC, CT}

Slide 3

Probabilità classica di un evento E

E = esce almeno una testa

IEI = 3

Casi favorevoli

_____________

P(E)=

Casi possibili

Ω = spazio campionario del lancio di due

I Ω I = 4

Proprietà

P(E) = ¾

monete

0≤P(E) ≤1

Ec= non esce alcuna

testa

P(Ec)=1-P(E)

P(Ec) = 1/4

IEcI = 1

E כֿF → P(E) > P(F)

Ω

F= esce una testa = {TC, CT}

E

F

TC

CC

TT

CT

IFI=2

P(F)=1/2

Slide 4

Strumenti matematiciper lo studio della probabilità

Disposizione semplice

Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n

Elenco degli studenti seduti nella prima fila

Primi tre classificati di una gara

Problema:quante disposizioni si presentano nell’estrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse?

4 possibilità per la prima pallina

Soluzione:

per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda

per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza

Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 ·2 = 24

Slide 5

Altri esempi e relative soluzioni:

  • Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = 303600

  • le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono 90 · 89 · 88 ·87 · 86 > 5 1010

Regola:

Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è n · (n-1) ·… · (n-k+1)

Usando il fattoriale di n, definito come n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · 1 ottengo:

n!

_____

D k,n =

(n-k)!

Slide 6

Disposizione con ripetizione

Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui è prevista la ripetizione

Pin del telefono

Lancio di tre dadi

Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre?

Soluzione:

9 possibilità per la prima cifra

Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda

Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza

Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 93

Slide 7

Altri esempi e relative soluzioni:

  • Il numero di colonne possibili del totocalcio è 313 = 1594323

  • il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali è (10+26x2)8

Regola:

Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi è D k,n = nk

… nota

  • il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali è 104 · 262 = 6760000

Slide 8

Permutazione (semplice)

Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi

È una n-disposizione semplice di n elementi

Ordine di arrivo ad una gara

Posizione dei libri in una libreria

Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe?

Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho

25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25!

Regola

Le permutazioni di n elementi sono Pn = n!

Slide 9

Combinazioni

Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n

= possibili sottoinsiemi

Studenti interrogati

Estrazioni del lotto

Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25?

Soluzione:

Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21!

Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo l’ordine corrispondono alla stessa composizione

Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4!

Le combinazioni sono 25!

____

21!4!

Slide 10

Altri esempi e relative soluzioni:

  • Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è

90!

84!6!

______

Regola:

Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione n è n!

______

C k,n =

(n-k)!k!

Definisco coefficiente binomiale il valore

n!

n k

______

( )

=

(n-k)!k!

Slide 11

Probabilità composta

definizioni

Dico due variabili o due eventi indipendenti seil verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo.

A, B eventi indipendenti

P(A B) = P(A) · P(B)

A ={TT, TC}

B = {TC, CC}

CC

TT

TC

X, Y variabili indipendenti

CT

I Ωx J Ωy si ha

A

A

P(I J) = P(I) · P(J)

Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda

X = esito lancio del primo dado

Y = esito lancio del secondo dado

Slide 12

Regole

Dati due eventi E e F

CCT

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F)

TCC

E

CTT

TTC

TTT

E = esattamente due teste

TCT

F

F = la prima è testa

Ω

CTC

CCC

con E ∩ F = Φ ho

TTT

TCC

TTC

P(E F) = P(E) + P(F)

F

E

CTC

TCT

E = esattamente due teste

CCT

Ω

CTT

CCC

F = esattamente una testa

Nota: nel caso di tre eventi

P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E∩F) - P(E∩G) - P(F∩G) +

+ P(E∩F∩G)

Slide 13

Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento

Diagramma ad albero

struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati

Ogni foglia può discendere da un solo predecessore

(padre)

Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti

(figli)

Lancio di tre dadi

T C

I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima

V

V

T C

T C

V

V

V

V

T C

T C

T C

T C

Slide 14

Principio di moltiplicazione

Sia E l’evento che si ottiene percorrendo un ramo dell’albero dalla radice alla cima ed ei gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E

P(E) = p P(ei)

Probabilità di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:±1 b:cifra c:lettera

1

-1

½

½

1

1

-1

-1

0

1

2

3

9

1/10

P(-1,1,9,y)=

½

·

½

·

·

1/10

1/26

1

w

y

z

__

a

b

1/26

=

1040

Slide 15

Probabilità condizionata

e inversa

P(F|E) =

Probabilità che l’evento F si realizzi nell’ipotesi che l’evento E si sia già realizzato

E = il primo esito è testa

F = due esiti su tre sono testa

P(F)=3/8

P(F|E)=2/4

CCT

F

TCC

TCC

CTT

TTC

TTC

TTT

F

TCT

TCT

TTT

Ω

E

CTC

= Ω

E

CCC

Slide 16

Regola

P(F∩E)

_______

P(F|E)=

P(E)

Riferendosi all’esercizio precedente

P(F∩E)=2

P(E)= 4

P(F|E)= 2/4

Nota:

F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F)

e se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(E∩F)

Slide 17

Problema della probabilità inversa

Problema:

L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, l’urna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale è la probabilità che provenga dall’urna 1?

Soluzione

Uso il diagramma ad albero:

r

3/10

3/5

I

P(b)=9/20

½

b

1/5

2/5

r

½

1/4

P(r)=11/20

II

½

b

1/4

½

P(Ei) i=1…4

P(e1)

P(e2)

Evento elem.

Costruisco il diagramma inverso:

Slide 18

x = 4/9

I

P(I|b) = 4/9

1/5

9/20

b

II

P(II|b) = 5/9

1/4

5/9

6/11

I

P(I|r) = 6/11

3/10

r

11/20

II

P(II|r) = 5/11

5/11

1/4

Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due alberi è uguale, quindi:

9/20 · x = P(E2) = 1/5

P(b∩I)

P(b)

P(I|b)

Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità dell’urna I condizionata all’aver pescato b

Slide 19

Formula di Bayes

Problema:

Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilità di un evento elementare Hi al primo stadio nota la probabilità dell’evento E al secondo stadio

Regola

P(E|Hi) · P(Hi)

P(E|Hi) · P(Hi)

________________

__________

P(Hi|E) =

=

Σ P(E|Hk) · P(Hk)

P(E)

Slide 20

Probabilità discreta

e continua

definizioni

*

Dato uno spazio campionario discreto Ω

def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione

P : Ω[0,1]

che soddisfi

1)

P(Ω) = 1

2)

P( Ak) = P(Ak)

*

Finito o numerabile

Slide 21

Probabilità classica

Ω finito o numerabile con Ω = { wi }

IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω

IEI

___

A

E Ω

P(E) =

IΩI

definizione equivalente alla probabilità classica:

Sia m(x) una funzione

m : Ω[0,1]

con

m(x) =1

detta funzione di distribuzione di Ω

Sia E un sottoinsieme di Ω

definisco P(E) := m(x)

P : Ω[0,1]

P(Ω) = 1

con

Slide 22

Le proprietà sono quelle già viste

. le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi

per il caso numerabile le somme diventano serie

studio della convergenza

(esistenza di una somma finita)

Slide 23

Caso continuo

X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria

Ω = ( 0,2]

Si voglia P(E) con E = ( ,2]

Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza

M: (x,y)

(x,y) [-1,1] x [-1,1] con x2 +y2 ≤ 1

L’Hp corrisponde a X ≥ lato del triangolo equilatero .

M è interno alla circonferenza di raggio ½

Slide 24

Nota:

Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili

posso associare ad una superficie una probabilità equivalente alla sua area

π(½)2

______

P(E) = =1/4

π(1)2

Paradosso di Bertrand:

M:(x;y)

1/4

1/2

1/3

P(E) =

M:(ρ;θ)

A:(1;α)

B:(1;β)

Nota: Area e integrale

Slide 25

definizione

F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se

Proprietà

è monotona non decrescente

è continua da destra:

Slide 26

definizione

f(x) funzione di densità di X se f: IR IR e vale

+

P(a ≤ x ≤ b) =

IR

Proprietà

Scelta la variabile X non è detto che esista f(x)

P(X E) =

purché l’integrale esista

f(x) non è una probabilità.

Slide 27

Teorema

Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x)

Rappresenta la funzione di distribuzione cumulativa di X,

e si ha

Da ciò potremmo introdurre un diversa

definizione di funzione densità:

+

t.c.

f: IR IR

Slide 28

Esempi significativi di distribuzioni e densità

Distribuzione uniforme discreta

Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ωdi dimensione n

La distribuzione è rappresentata dalla funzione m(x) = 1/n = costante

Attenzione!

Sia Ω numerabile e m(x) = costante

diverge

Distribuzione uniforme

continua

Slide 29

Funzione di densità gaussiana

1

______

fx =

Slide 30

FINE


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