Sistema de equa es lineares
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Sistema de equações lineares. Caracterização. Um sistema de m equações a n variáveis é é chamado sistema de equações lineares. Ele tem a forma genérica seguinte:. Solução. Um conjunto de n valores (x 1 , ..., x n ) verificando as equações do sistema é uma solução do sistema.

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Presentation Transcript


Sistema de equa es lineares

Sistema de equações lineares


Caracteriza o

Caracterização

  • Um sistema de m equações a n variáveis é é chamado sistema de equações lineares. Ele tem a forma genérica seguinte:


Solu o

Solução

  • Um conjunto de n valores (x1, ..., xn) verificando as equações do sistema é uma solução do sistema.

  • Um sistema cujo os valores dos coeficientes bn são iguais a 0 é um sistema homogêneo:


Caracteriza o matricial

Caracterização matricial

  • O sistema pode ser escrita sobre a forma de um produto de matrizes:

    onde as matrizes são definidas por:


Combina o linear

Combinação linear

  • A combinação linear de equações é a soma dessas equações multiplicado por coeficientes reais:

    • a1eq1+a2eq2+...+aneqn onde ai¹0, iÎ{1,...,n} é uma combinação linear de eq1, eq2, ..., eqn.

  • Em relação com as variáveis envolvidas nas equações, uma equação linear, combinação linear entre as outras equações não introduz novas relações entre as variáveis.


Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes

  • Num sistema de equações lineares independentes, se uma equação é trocada por uma combinação linear dela mesma e outras equações do sistema, o novo sistema é equivalente o primeiro. Os dois sistemas têm a mesma solução.


Sistemas equivalentes1

Sistemas equivalentes

  • Num sistema, se uma equação é combinação linear das outras, ele é equivalente ao sistema sem essa equação:


Equa es e vari veis

Equações e variáveis

  • Um sistema de m equações a n variaveis:

    • Tem uma solução unica se ele pode ser reduzido a um sistema de n equações independentes a n variáveis.

    • Tem uma infinidade de soluções, se ele é equivalente a um sistema de m’ equações independentes com m’<n


Determinante

Determinante

  • Um determinante é um número associado a um matriz quadrada (mesmo número de linha e coluna).

  • A definição do determinação envolve a noção de permutação. O determinante de uma matriz A (aij é o coeficiente da i-ésima linha e j-ésima coluna) é, onde an são elementos distintos de (1,...,n) e k é o número de permutações para passar de (1,...,n) para (a1,..., an):


Calculo do determinante caso 2x2 e 3x3

Calculo do determinante, caso 2x2 e 3x3

  • O calculo do determinante 2x2:

  • O calculo do determinante 3x3 é feito da forma seguinte:

  • Det A= =


Determinante caso nxn

Determinante, caso nxn

  • O desenvolvimento de Laplace permite o calculo do determinante da forma seguinte:

    Onde Dij é o determinante da submatriz obtido de A retidando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna e multiplicado por (-1)i+j. O número i pode ser qualquer número de {1,...,n}. Esse princípio funciona para qualquer linha ou coluna.


Determinante caso nxn1

Determinante, caso nxn

  • O calculo do determinante pode ser implementado com um procedimento recursivo. O calculo de um determinante nxn é determinado a partir de determinantes (n-1)x(n-1).

  • O preço do cálculo de um determinante é elevado. Considerando a formula da definição, são necessárias n!(n-1)+(n!-1) ou seja n!n-1 operações para um determinante de dimensão n: (n!-1) somas de n!(n-1) produtos, sem considerar os elementos anexos necessários (posição de memoria, sinal, etc).


Determinante um algoritmo

Determinante, um algoritmo

  • O calculo é feito usando os coeficientes da primeira linha.

    Determinante(m) // m: matriz

    se dim(m)=2 resultado=m[0][0].m[1][1]-m[1][0].m[0][1]

    se dim(m)=1 resultado=m[0][0]

    Se dim(m)>2 resultado=0

    i de 1 a dim(m) construír a submatriz de m sem a primeira linha e a i-ésima coluna (subm)

    resultado=resultado+(-1)i.m[0][i].Determinante(subm)


Determinante e sistema

Determinante e sistema

  • Se um sistema de n equações lineares a n variáveis tem um determinante diferente de 0: det A¹0, as equações do sistema são independentes.

  • Nesse caso, o sistema tem uma solução única. Em caracterização matricial, essa solução escreve-se:

    onde A-1 é a matriz inversa da matriz A.


Determinante e matriz inversa

Determinante e matriz inversa

  • Se o determinante de uma matriz é não nulo, a matriz inversa pode ser calculada.

    Onde Dij é o determinante da matriz formada a partir da matriz A retirando a i-ésima linha e j-ésima coluna.


Formula de cramer

Formula de Cramer

  • Pela formula de Cramer, se o determinante do sistema é não nulo, o valor solução da variável xi é dado pela formula seguinte:

  • O numerator da fração é o determinante da matriz formada da matriz A do sistema onde a coluna dos coeficientes de xi são subsituídos pelos termos constantes bi.


Exemplo

Exemplo


Custo da formula de cramer

Custo da formula de Cramer

  • Para resolver um sistema de n equações a n variáveis, pela formula de Cramer precisam ser calculados n+1 determinante de ordem n (n linhas, n colunas).

  • O custo da resolução desse sistema é de:

    (n!n-1)(n+1) operações.

    Para 10 variaveis: 399167989


Elimina o gaussiana

Eliminação Gaussiana

  • A eliminação Gaussiana usa a propriedade de equivalência de sistema para eliminar progressivamente as variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.


Sistema triangular

Sistema triangular

  • No novo sistema, podemos determinar:

  • O sistema é chamado sistema triangular e a matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos coeficientes não nulos.


Elimina o gaussiana e determinante

Eliminação Gaussiana e determinante

  • O determinante de um sistema triangular é o produto dos termos da diagonal.

  • Em um determinante, adicionar os termos (ou os termos multiplicado por um fator) de qualquer linha (resp. coluna) a qualquer outra linha (resp. coluna) não muda o valor do determinante.


M todo

Método

  • Escolhe uma das equações (i-ésima) com o coeficiente (ai1) de x1 não nulo. Esse coeficiente é chamado de pivot (ou pivot de Gauss).

  • Adicionar a cada uma das equações restantes (j, j¹i), a primeira equação multiplicada por: -aj1/ai1

  • Aplicar de novo o algoritmo com o sub-sistema de n-1 variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.


Exemplo1

Exemplo


Matriz

Matriz

  • O processo pode ser aplicado com matrizes. Nesse caso, se considera a matriz aumentada com as constantes da matriz do sistema:

  • E as combinações lineares entre as equações são feitas entre as linhas de coeficientes.


Exemplo com matriz

Exemplo com matriz


Exerc cio

Exercício

Solução: x1=-1, x2=0, x3=1 e x4=2


Custo da elimina o gaussiana

Custo da eliminação Gaussiana

  • Para eliminar o primeiro termo das n-1 equações de um sistema a n equação, precisamos de n-1 divisões, (n-1)(n+1) multiplicações e (n-1)(n+1) adições: 2n2+n-3. Para eliminar os termos ate a ultima equação precisamos de operações, da ordem de 2n3/2.

  • A resolução do sistema triangular necessita: n divisões, n(n-1)/2 multiplicações e n(n-1)/2 adições.


Velocidade da resolu o

Velocidade da resolução

  • Uma das razões de escolher uma algoritmo no lugar de um outro é em geral baseado sobre a relação entre velocidade e precisão.

  • No caso da resolução de sistemas lineares, a formula de Cramer precisa de muito mais operações que a eliminação Gaussiana.


Estrat gia de pivoteamento

Estratégia de pivoteamento

  • Resolução do sistema seguinte usando sucessivamente 0.004 e 0.423 como pivot e calculando usando somente 4 algarismos significativos:

  • A solução do sistema e (10,1). Com 0.004 como pivot achamos (12.5,0.9994) e com 0.423 achamos (10,1).


Estrat gia de pivoteamento1

Estratégia de pivoteamento

  • No caso geral, para diminuir os erros de arredondamento, é preferível usar como pivot o maior coeficiente em valor absoluto da variável a eliminar nas equações do sistema.


Elimina o gaussiana algoritmo

Eliminação Gaussiana, algoritmo

  • n: numero de variáveis, m: matriz aumentada

  • Eliminacao_gauss(n, m)

    • para i de 1 a n

      • para j de i a n, procure o coeficiente maior em valor absolute: linha max

      • troca a linha max com a linha i de m

      • para j de i+1 a n, para k de i a n+1, subtrai m[j][i]/m[i][i] de m[j][k]


Solu es particulares

Soluções particulares

  • Certas situações precisam de determinar as soluções de sistemas onde somente os termos constantes (bi) mudam:

    • solução de:

    • e solução de:


Solu es particulares1

Soluções particulares

  • Nesses casos, é mais eficiente de triangular o sistema uma vez e resolve-lo com os diversos valores dos termos constantes (bi). Nesse caso uma segunda matriz é necessária para calcular os termos constantes do sistema triangular em fonções dos coeficientes de origem.


Solu es particulares2

Soluções particulares

  • Nesse caso, a matriz coluna dos termos constantes é considerada como o produto da matriz identidade como essa matriz coluna. As transformações operadas pela triangularização serão aplicadas à matriz identidade e não à matriz coluna dos termos constantes.


Matriz inversa

Matriz Inversa

  • Se o processo de transformação do sistema continua ate obter um sistema cuja matriz é a matriz identidade, a matriz de transformação dos termos constantes é a matriz inversa da matriz do sistema inicial:


Exemplo2

Exemplo


Erros de aproxima o

Erros de aproximação

  • Os erros de arredondamento têm um papel importante na solução de sistemas de equações lineares, principalmente por conto do grande número de calculo a ser efetuados.

  • A um efeito de “condensação pivotal” no caso da eliminação gaussiana. Cada calculo depende dos resultados anteriores.


Avalia o dos erros

Avaliação dos erros

  • Uma forma de avaliar o erro é trocar as variáveis nas equações pelos valores determinados e comparar os resultados com os termos constantes:

    Sistema: soluções:

    Trocando nas equações:


Avalia o dos erros1

Avaliação dos erros

  • Um pequeno erro sobre os resultados conduz a considerar que os valores das variáveis determinados são boas aproximações dos resultados exatos.

  • Existem casos nos quais não podemos afirmar isso.


Sistema mal condicionado

Sistema mal condicionado

  • Considerando o sistema seguinte:

  • Uma solução como x1=100, x2=-98 é uma solução aceitável do ponto de vista do critério precedente, porém ela é longe da solução exata (70,-68).


Sistema mal condicionado1

Sistema mal condicionado

  • Um sistema de equações que pode ser satisfeito por soluções erradas é um sistema mal condicionado.

  • Do ponto de vista gráfico, no caso da dimensão 2, o sistema é mal condicionado quando as duas retas representando as equações são próximas:


Sistema mal condicionado2

Sistema mal condicionado

  • Um sistema é mal condicionado quando seu determinante é próximo de zero.

  • O que significa, um determinante próximo de zero ? Como multiplicando qualquer equação por um fator não muda a solução do sistema, enquanto multiplica o determinante por esse fator, falar de um valor pequeno do determinante não significa nada.


Sistema mal condicionado3

Sistema mal condicionado

  • Para determinar se um sistema é mal condicionado, existem duas possibilidades:

    • O determinante normalizado é próximo de 0: cada linha é dividida por um fator de proporcionalidade, raiz quadrada da soma dos

      quadrados dos coeficientes da linha.

    • Se uma pequena mudança de um termo constante do sistema provoca uma uma mudança importante no resultado, o sistema é mal condicionado.


M todo iterativo de gauss seidel

Método iterativo de Gauss-Seidel

  • O sistema é transformado de tal forma que cada equação pode dar o valor de uma variável (no caso que um dos aii é nulo, o sistema pode ser reordenado para ter a condição: aii, i={1,...,n}):


M todo iterativo de gauss seidel1

Método iterativo de Gauss-Seidel

  • Em seguida, a cada passo e a partir de valor iniciais de (x2, ..., xn), novos valores de (x1, ..., xn) são calculados.

  • Quando converge, esse processo pode exigir muitas iterações para chegar a um resultado razoável. Ele é aconselhado somente quando o sistema é mal condicionado ou quando muitos coeficientes do sistema são nulos (convergência rápida)


M todo iterativo de gauss seidel2

Método iterativo de Gauss-Seidel

  • O algoritmo pode ser parado quando:

    • É atingido um número de iteração dado.

    • A diferencia entre dois valores sucessivas dos xi é menor que um valor limito: e. Critério particularmente delicado a manipular (convergência muito lenta).


M todo iterativo de gauss seidel3

Método iterativo de Gauss-Seidel

  • Se o método não converge, ele pode ser aplicado mudando a ordem das equações (ou seja mudando as equações determinando cada xn).

  • Existe um teorema que garante a convergência: Se o termo da diagonal principal é maior em valor absoluta que a soma dos valores absolutos dos outros termos da linha do coeficiente e que a soma dos valores absolutos dos outros termos da coluna do coeficiente, a convergência é garantida.


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