Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A

1. Selanjutnyamisalkan Y=u(X) adalahfungsidarivariabel random kontinu X denganruangA • Misalkan y=u(x) adalahfungsikontinunaik, sehinggainversnyajuga x=w(y) jugamerupakanfungsikontinunaik • Fungsidistribusidari Y adalah : G(y)=Pr(Y≤y)=Pr(u(X ≤y)=Pr(X≤w(y))= dimana f(x) adalahpdfdari X • Denganmenggunakanteoremadasarkalkulusdiperolehpdfdari Y : • B

2. dimanaB= {y: y=u(x), x εA} • Jikakonvergenabsolut, makanilai ekpektasidari Y adalah : • Karena y=u(x), makaakanditunjukkanbahwa : sehingganantinyadapatditulis :

3. Perhatikan • Lakukanmetodesubstitusi, denganmemisalkan y=u(x) atau x=w(y) dandx/dy=w’(y) > 0, maka : • Jadidapatditulisuntukkasuskontinu : dankasusdiskrit :

4. Sifat-sifat E(X) • E(k) = k, k konstanta • E(kV)= k E(V) • E(k1V1+k2V2) = k1 E(V1) + k2 E(V2) E adalah operator linier

5. Beberapaekpektasikhusus • Misalkan X adalahvariabel random yang mempunyaipdf f(x) • Berikutiniadalahbeberapaekpektasikhusus : 1. μ = E(X), disebutnilai mean dari X 2. disebutnilaivariansidari X, sedangkandisebutstandardeviasidari X 3. disebut moment generating function MGF darivariabel random X kontinu

6. Untukvariabel random diskrit X, MGF nyaadalah • MGF darivariabel random X disebutjuga MGF darisuatudistribusi, tetapitidaksetiapdistribusimempunyai MGF • Apabilasuatudistribusimempunyai MGF maka MGF nyaunik • Jadijika 2 var random mempunyai MGF yang sama, makavariabel-variabel random tersebutmempunyaidistribusi yang sama

7. Karenasuatudistribusi yang mempunyai MGF M(t) ditentukansecaralengkapoleh M(t), makadapatditentukanbeberapasifatdistribusisecaralangsungdari M(t) • Maksudnya : Keberadaan M(t) untuk –h<t<h, menyebabkanturunan-turunannyaadadi t=0 • Jadijika : maka :

8. Jika m bilanganbulatpositifdanjika adalahturunanke-m dari M(t) maka : • disebutmomenke-m darisuatudistribusi • Karena M(t) membangkitkannilai-nilaidari M=1,2,3,… maka M(t) disebutmomen generating function

9. Contoh Diketahuivariabel random diskrit X memilikipdf f(x) Hint : diketahuibahwaderetkonvergenke • MGF daridistribusiinijikaada, adalah : • Denganmenggunakanujirasiodapatditunjukkanbahwaderettersebutdivergenjika t ≥0 • Berartitidakterdapatbilanganpositif h sedemkian

10. sehingga M(t) adauntuk –h<t<h • Inimenunjukkanbahwadistribusitersebuttidakmempunyai MGF

11. ProbabilitasBersyarat • Padasuatupercobaan random misalkankitahanyatertarikmenyelidikihasil-hasilpercobaan yang merupakanelemen-elemendarisuatu subset C1 dimana C1  C • Iniberartiruangsampel yang efektifadalahC1 • SelanjutnyaakandidefinisikansuatufungsihimpunanprobabilitasdenganC1 sebagairuangsampelbaru • Misalkanfungsihimpunanprobabilitas P(C) ditentukanterhadapruangsampelC danmisalkan

12. C1  C sedemikiansehingga P(C1) >0 • Ambil C2 subset lain dariC • Relatifterhadapruangsampelbaru, akandidefinisikanprobabilitasdarikejadianC2 • Probabilitasinidisebutprobabilitasbersyaratdari C2relatifterhadapkejadian C1atauprobabilitasbersyaratdari C2 diberikan C1, dinotasikan P(C2|C1) • Karena C1merupakanruangsampelbaru, makaelemen-elemen C2 yang berhubungandenganinihanyalahelemen-elemen yang jugaelemen-elemendari C1,yaituelemen-elemendari C1 ∩ C2

13. P(C2|C1) didefinisikansehingga P(C1|C1) = 1 dan P(C2|C1)= P(C1 ∩ C2|C1) • Dalamhalini : • Berarti : • Inimerupakandefinisidariprobabilitasbersyaratkejadian C2 diberikan C1 dengansyarat P(C1)>0 • Dapatditunjukkanbahwa P(C2|C1) adalahfungsihimpunanprobabilitas : 1. P(C2|C1) ≥ 0 2. 3. P(C1|C1) = 1

14. P(C2|C1) merupakanfungsihimpunanprobabilitas yang didefinisikanuntuk subset-subset dari C1,dandisebutsebagaifungsihimpunanprobabilitasbersyaratrelatifterhadapkejadian C1ataufungsihimpunanprobabilitasbersyaratdiberikan C1 • Contoh : 5 kartudiambilsecaraacakdantanpapengembaliandarisetumpukkartupermainan yang terdiridari 52 kartu. Tentukanprobabilitasbersyaratbahwasemuakartu yang diambilialahsekop, relatifterhadaphipotesisbahwa paling sedikitada 4 kartusekop

15. Contoh 2: • Sebuahmangkokberisi 8 kepingan ; 3 kepingwarnamerahdan 5 kepingberwarnabiru. 2 kepingdiambilsecaraacaktanpapengembalian. Tentukanprobabilitasbahwapengambilanpertamaberwarnamerahdanpengambilankeduaberwarnabiru

16. Contoh 3 : • Dari setumpukkartupermainan, kartu-kartudiambilsecaraacaktanpapengembalian. • Misalkan : • C1 : kejadian 2 sekopdalam 5 pengambilanpertama • C2 : kejadiansebuahsekoppadapengambilan ke-6 • Tentukanprobabilitasbahwasekopketigamunculpadapengambilan ke-6

17. Contoh 4 : • 4 kartudiambilsecaraacakdantanpapengembaliandarisetumpukkartu • Tentukanprobabilitasuntukmendapatkansatusekop, satuhati, satuberliandansatukeriting

18. TeoremaBayes • Misalkankejadian – kejadianmerupakanpartisidariCdankejadian – kejadian mutually exclusive dan exhaustive sedemikiansehingga P(Ci)>0, i=1,2,3,…,k • Kejadiantidakperlu equally likely • Misalkan C suatukejadiandiCsedemikiansehingga dimanasalinglepasatau mutually exclusive

19. Berartiberlaku : • Sudahdiketahuibahwa : • Dengandemikianmaka : • Persamaandiatasdisebut “law of total probability”

20. Selanjutnyamisalkan P(C)>0. Berdasarkandefinisiprobabilitasbersyaratdandenganmenggunakan law of total probability diperoleh : • PersamaandiatasdisebutTeoremaBayes • Contoh : Misalkanterdapat 2 mangkok C1 dan C2 yang berisi bola. • Mangkok C1 berisi 3 bola merahdan 7 bola biru. Mangkok C2 berisi 8 bola merahdan 2 bola biru. • Pemilihanmangkok C1 dan C2 tergantungdarihasilpelemparansebuahdadu. Apabiladarihasilpelemparandadumunculmuka 5

21. ataumuka 6, makamangkok C1 yang terpilih • Kalau yang munculmuka yang lain, makamangkok C2 yang terpilih. Setelahmangkokterpilih, dilakukanpengambilansecaraacaksebuah bola darimangkoktersebut. • Misalkan yang terambiladalah bola merah. Tentukanprobabilitasbersyaratmangkok C2 yang terpilihjikadiberikanbahwa bola merah yang terambil. • Jawab : P(C1) = 2/6, P(C2) = 4/6 • Misalkankejadian bola merahterambildinotasikan C • Iniberartidan • Probabilitasbersyaratmangkok C2 yang terpilihjikadiberikanbahwa bola merah yang terambil =

22. Probabilitas P(C1) = 2/6 dan P(C2) = 4/6) disebutprobabilitas prior • Sedangkandisebutprobabilitas posterior

23. BAB 2 : DISTRIBUSI MULTIVARIAT

24. Distribusidari 2 variabel random • Perhatikanilustrasiberikutini ; • Misalkansebuahkoindilemparkansebanyak 3 kali • Ruangsampelnyaadalah : C = {c : • Selanjutnyamisalkanterdapatvariabel random X1 danvariabel random X2 , dimana : • X1 : jumlah Head pada 2 lemparanpertama • X2 : jumlah Head padaseluruhlemparan

26. Berikutiniakandibentukpasanganterurut (x1,x2) dimana x1 = X1 (c) dan x2 = X2 (c) untuk c εC • Jadipemetaannyaadalah :C→ A • Jadiuntukkasusdiatas : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} • BerikutakandidefinisikanruangA • Definisi : • Diberikansebuahpercobaan random denganruangsampelC. Ditentukan 2 var random X1 danvariabel random X2dimanapasanganfungsitersebutmemetakansetiapelemen c εCkesatudanhanyasatupasanganberurut (X1(c)=x1 , X2 (c) =x2)

27. Dengandemikianruangdari (X1,X2) adalahhimpunanpasanganberurut : A = {(x1,x2) : x1=X1(c), x2=X2 (c), c εC } • MisalkanA adalahruangdarivariabel random X1 danvariabel random X2danmisalkanA • Akandidefinisikanprobabilitasdarikejadian A, dinotasikandengan Pr((X1,X2 ) εA) • Ambil C={c : c εCdan(X1,X2 ) εA}, maka Pr((X1,X2 ) εA)=P(C) dimanaadalahfungsihimpunanprobabilitas yang didefinisikanpada C

28. Pr((X1,X2 ) εA) ditulissebagaiatau P(A) • P(A) jugamerupakanfungsihimpunanprobabilitas yang didefinisikanpadaA • Contoh : Dari ilustrasisebelumnyadiperoleh : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} • Misalkan A={(1,1),(1,2)} A } • Jadi P(A) = Pr((X1,X2 ) εA)=P(C) dimana

30. BerikutiniadalahtabelprobabilitasuntuksetiapelemendiA • Tabeldiatasmerupakandistribusiprobabilitasdarielemen-elemenpadaA • Sifat-sifatfungsihimpunanprobabilitaspada 1 var random jugaberlakudisini • Misalkan f(x,y) didefinisikanpadaAdan f(x,y)=0 untuk yang lainnya, makaberlaku :

31. P(A ) = 1, yaitu : • Contoh : Misalkan