Métodos de Calibração de Modelos hidrológicos

1. Métodos de Calibração de Modelos hidrológicos Carlos Ruberto Fragoso Júnior

2. Sumário • Conceito básicos • O que é calibração? • Problemas comuns na calibração de modelos hidrológicos • Ciclo da calibração • Métodos de calibração • Função objetivo • Técnicas numéricas • Busca aleatória • Técnicas iterativas; • Busca direta; • Técnicas de otimização global; • Algoritmos genéticos • Critérios de parada

3. O que é calibração • Procura de valores dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados; • O erro é minimizado!!

4. Calibração - Otimização • Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função

5. Problemas comuns em modelos hidrológicos • Encontrar um conjunto ótimo de parâmetros que ajusta um evento de cheia ou uma série de vazões; • Encontrar o coeficiente do reservatório linear simples que ajusta adequadamente uma recessão de vazão.

6. Problema: • Encontrar o coeficiente do reservatório linear simples que ajusta adequadamente uma recessão de vazão. • Q = V / k • Q(t+dt) = Q(t) . exp(-dt/k)

9. Q(t+dt) = Q(t) . exp(-dt/k)Primeiro teste: k = 20

10. Problemas na calibração de modelos hidrológicos • Modelos hidrológicos geralmente tem muitos parâmetros • Não lineares • Técnicas de otimização automáticas • Usar Funções Objetivo

11. Ciclo da calibração Critérios para um “bom ajuste” (Função objetivo) Critérios para mudança dos parâmetros Rodar o modelo Ajustar os parâmetros Verificar o erro Critérios de parada

12. Métodos de calibração Métodos de calibração Tentativa e erro (Manual) Técnicas numéricas Ajusta os parâmetros manualmente baseado nos resultados Usa algoritmos numéricos para encontrar um conjunto de parâmetros ótimo Aleatório Assume faixa de probabilidade para cada parâmetro

13. Funções Objetivo (FO) • Medida do erro – objetivo é minimizar a FO • Diferentes funções objetivo • Somatório dos erros: compensação de erros • Somatório do módulo dos erros • Somatório dos erros ao quadrado • Somatório de erros relativos • Somatório dos desvios dos inversos da vazão • Erro de volume (bias) • Coeficiente de eficiência de Nash-Sutcliffe

14. Funções objetivo • Raiz do Erro Médio Quadrado (RSME)

15. Funções objetivo • Raiz do Erro Médio Quadrado Normalizado (NRSME)

16. Funções objetivo • Coeficiente de correlação de Pearson

17. Funções objetivo • Coeficiente de eficiência de Nash-Sutcliffe

18. Funções Objetivo Função quadrática Função módulo Função para mínimos Função relativa

19. Exemplo

20. Técnicas de otimização • Cálculo analítico • Técnicas numéricas • Busca aleatória • Busca direta • Algoritmos genéticos

21. Cálculo analítico • Encontrar pontos da função em que a derivada é zero. • vantagens (pode ser rápido, é mais elegante) • desvantagens (funções de picos múltiplos, funções descontínuas, ausência da forma analítica da função - por exemplo no problema de calibração de um modelo chuva-vazão)

22. Cálculo analítico - Conceitos Haverá sempre um ponto de máximo ou mínimo, seja no interior da região delimitada pelas restrições ou nos limites, desde que a função objetivo seja contínua. A condição necessária para que exista um ponto de máximo ou mínimo é a seguinte: pontos estacionários A condição suficiente para que um ponto estacionário seja um mínimo é a seguinte onde Ri são os menores principais da matriz Hessiana H.

24. Exemplo Determine o mínimo da função x1= 8 x2 = 2 y = -56 H = Matriz positiva definida

25. Técnicas numéricas - Busca Aleatória • Vantagens: funções descontínuas; picos múltiplos • Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global “Ótimo”

26. Características das Técnicas Numéricas • Definição do ponto de partida: o critério para inicializar o processo de tentativa em geral depende mais do problema em questão do que do método. • Direção de pesquisa: a direção de pesquisa identifica o vetor no qual serão realizadas as alterações das variáveis. • Espaçamento de cada tentativa: identifica a variação que ocorrerá na direção de pesquisa a cada tentativa. • Critérios de parada: envolve a definição dos critérios para aceitar uma determinada solução como o ótimo de uma função.

27. Técnicas numéricas - Busca direta • Estratégia de caminhar “morro acima”

28. Função objetivo: F(x1,x2) x2 Máximo local Máximo global x1

29. Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias X2=valor aleatório entre c e d X1=valor aleatório entre a e b

30. Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1 Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

31. F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

32. F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

33. F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

34. F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

35. ...e muda a direção de busca. F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

36. E assim segue até encontrar um ponto em que não existe direção de busca que melhore o valor da FO

37. Método unidirecional 1. Direção de pesquisa paralela aos eixos; 2. Pesquisa em cada direção: espaçamento constante ou variável 3. Critério de parada desvantagens: (ao lado)

38. Método da rotação das coordenadas (Rosenbrook) • Primeiro ciclo igual ao univariacional • segundo ciclo com rotação • duas alternativas para pesquisa em cada direção: método original que alterna a pesquisa de cada direção em cada tentativa;

39. Primeiro ciclo direção x1 Primeiro ciclo direção x2

40. Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO

41. Limitação da busca direta: Ótimos locais Região que atrai solução para o ótimo local

42. Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhor solução testada. Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais

43. Técnicas numéricas – Busca direta • Busca direta (Rosenbrock e cia.) • vantagens: funções descontínuas; otimização por simulação (funções que não podem ser expressas analiticamente - calibração de modelos) • desvantagens: funções com picos múltiplos

44. Técnicas numéricas – Algoritmos genéticos Início Inicialização da população Cálculo da aptidão Solução encontrada? Fim Nova população Seleção Reprodução Mutação

45. Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos • Conceitos de população, reprodução e gerações • Filhos são semelhantes aos pais • Os pais mais “adaptados” tem maior probabilidade de gerar filhos • Os filhos não são completamente iguais aos pais

46. Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos(sobrevivência do mais apto = seleção natural) Darwin

47. Algoritmos genéticos • Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução. • No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.

48. Algoritmo genético “puro” 1 - gera população (pontos aleatórios)

49. 2 - escolhe pontos para participar do processo de “reprodução” (pontos com melhor FO tem maior probabilidade de escolha

50. 2 - Exemplo de reprodução: escolhidos dois pontos Xa=8 Xb=19 binário Xa=01000 Xb=10011