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Modelos de Equações Estruturais Lúcia P. Barroso [email protected] Modelos de Equações Estruturais. É uma evolução da modelagem de multiequações (Econometria) e dos princípios de mensuração (Psicologia e Sociologia);. Modelos de Equações Estruturais. Problemas Básicos :

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Presentation Transcript


Modelos de equa es estruturais l cia p barroso lbarroso@ime usp br

Modelos de Equações EstruturaisLúcia P. [email protected]


Modelos de equa es estruturais

Modelos de Equações Estruturais

  • É uma evolução da modelagem de multiequações (Econometria) e dos princípios de mensuração (Psicologia e Sociologia);


Modelos de equa es estruturais1

Modelos de Equações Estruturais

  • Problemas Básicos:

    1) O que a medida observada realmente está medindo?

    2) Como inferir relações causais complexas entre as variáveis que não são observáveis diretamente?

Modelo de Mensuração

Modelo Estrutural


Modelos de equa es estruturais2

Modelos de Equações Estruturais

= B++

y =y+ 

x =X+

Equações simultâneas


Modelos de equa es estruturais l cia p barroso lbarroso imep br

Variáveis x:

Variáveis y:

Modelagem


O diagrama de caminho

O diagrama de caminho

Círculos:erros

Elipses:variáveis latentes

Retângulos:variáveis observadas

Setas com um sentido:indicam que variável exerce influência sobre outra (causa)

Setas com ambos os sentidos:indicam correlação

Duas setas, uma em cada sentido:indicam relações recíprocas – uma variável é causa e é causada pela outra


Nota o

Notação

Indicadores: variáveis mensuráveis

  • X: indicador de variáveis latentes exógenas

  • Y: indicador de variáveis latentes endógenas

    Variáveis latentes

  • ξ: variável latente exógena

  • : variável latente endógena


Nota o1

Notação

Erros

  • :erro associado a X

  • : erro associado a Y

  • : erro associado a ξ


Nota o2

Notação

Coeficientes

  • x:entre X e ξ

  • y: entre Y e 

  • B:entre ’s

  • : entre  e ξ

  • : vetor de parâmetros


Nota o3

Notação

Matrizes de covariâncias

  • :matriz de covariância estruturada

  • S:matriz de covariância amostral

  • : covariâncias entre ξ’s

  • :covariâncias entre os erros ’s

  •  : covariâncias entre os erros ’s

  •  : covariâncias entre os erros ’s


Matriz de covari ncia imposta pelo modelo

Matriz de covariância imposta pelo modelo - ()


Estima o dos par metros

Estimação dos parâmetros

Σ = Σ()

: vetor de parâmetros do modelo

Estamosinteressadosemencontrarvaloresparaosparâmetrosqueminimizemalgumafunção de S e

Função de discrepância

Se a função é contínua e é um escalarmaior do que zero, sendoigual a zero somente se osargumentosforemiguais, entãoteremosestimadoresconsistentesparaosparâmetros


Estima o dos par metros1

Estimação dos parâmetros

Máximaverossimilhança

(normal multivariada)

(N-1)FMLavaliadanasestimativasobtidas tem distribuiçãoassintótica qui-quadrado com ½(p+q)(p+q+1) – t graus de liberdade

(t = número de parâmetroslivres)


Estima o dos par metros2

Estimação dos parâmetros

Mínimos quadrados


Estima o dos par metros3

Estimação dos parâmetros

Mínimosquadradosgeneralizados

W-1 é estimadorconsistente de -1 (usal S-1)

(N-1)FGLSavaliadanasestimativasobtidas tem distribuiçãoassintótica qui-quadrado com ½(p+q)(p+q+1) – t graus de liberdade


Estima o dos par metros4

Estimação dos parâmetros

Mínimosquadradosponderadosgeneralizados

Nãodepende de distribuição, mas de momento de quartaordem e requeramostrasmuitograndes


Estima o dos par metros5

Estimação dos parâmetros

Mínimosquadradosponderadosdiagonalmente

wgh é estimativadavariânciaassintótica de sgh


Modelos de equa es estruturais l cia p barroso lbarroso imep br

Método de Máxima Verossimilhança

ou

Método de Mínimos Quadrados Generalizados

Variáveis seguem

distribuição normal

Método de Máxima Verossimilhança

ou

Método de Mínimos Quadrados Generalizados

ou

Método de Mínimos Quadrados Ponderados Generalizados

Variáveis contínuas

e não-normais

Método de Mínimos Quadrados Ponderados Generalizados

Variáveis categóricas


Como avaliar o ajuste do modelo

Como avaliar o ajuste do modelo?

  • Avaliar o sinal dos coeficientes

  • Avaliar a magnitude dos efeitos

  • Avaliar se osefeitossãoestatisticamentesignificantes

  • Validação do modelo:

  • Hipótesede interesse: Σ = Σ()

  • Como Σ é desconhecida, usa-se S


Como avaliar o ajuste do modelo1

Como avaliar o ajuste do modelo?

Hipótese de interesse: Σ = Σ()

Teste qui-quadrado

Resíduos

Bomajuste: resíduospróximos de zero,resíduospadronizadosmenores do que 0,05.


Modelos de equa es estruturais l cia p barroso lbarroso imep br

Raiz do Quadrado Médio Residual (RMR)

é o ij-ésimo elemento da matriz de covariância amostral;

é o ij-ésimo elemento da matriz de covariância ;

é a matriz de covariância avaliada no ponto ;

é o número total de variáveis observadas.

Medidas de Ajuste


Modelos de equa es estruturais l cia p barroso lbarroso imep br

Raiz do Quadrado Médio Residual (RMR)

Bom ajuste: RMR  0.

Pode ser afetada por variáveis de escalas diferentes. Alternativa:

Medidas de Ajuste


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Teste Qui-quadrado

N é o tamanho amostral;

F é a função de ajuste utilizada ML, GLS ou ULS.

Medidas de Ajuste

Bom ajuste: valor-p grande.

Cautela:

Curtose próxima da normal, matriz de covariâncias analisada, amostra grande, estrutura imposta possível no problema analisado.


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Discrepância Mínima da Amostra (CMIN)

Medidas de Ajuste

Ajuste de modelos para comparação:

  • Modelo de independência (baseline) – ruim

  • Seu modelo

  • Modelo saturado (sempre se ajusta)

Bom ajuste: CMIN pequeno.


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Índice de Ajuste Normalizado (NFI)

Fb é o valor da função do modelo “baseline”;

Fm é o valor da função de ajuste do “seu modelo”.

Medidas de Ajuste

0  NFI  1 Bom ajuste: NFI  1.

NFI pode aumentar com a adição de parâmetros e com tamanho da amostra.

Considerando que média Fm  glm/(N-1)


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Índice de Ajuste Corrigido (IFI)

glm é o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado do “seu modelo”

Medidas de Ajuste

Não varia entre 0 e 1.

Bom ajuste: IFI  1.


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Índice de Ajuste Relativo (RFI)

Bom ajuste: RFI  1.

Índice de Tucker-Lewis (TLI)

Medidas de Ajuste

Bom ajuste: RFI  1.


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e

Medidas de Ajuste

Índice de Qualidade do Ajuste (GFI) e Índice de Qualidade do Ajuste Corrigido (AGFI)

  • Método de Máxima Verossimilhança:

Bom ajuste: GFI  1 AGFI  1.


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  • Método de Mínimos Quadrados Não-Ponderados:

e

  • Método de Mínimos Quadrados Generalizados:

e

Medidas de Ajuste

Índice de Qualidade do Ajuste (GFI) e Índice de Qualidade do Ajuste Corrigido (AGFI)


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Índice de Qualidade do Ajuste de Parsimônia (PGFI)

Índice de Ajuste Normalizado de Parsimônia (PNFI)

Medidas de Ajuste


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Índice de Ajuste Comparativo (CFI)

é a discrepância mínima da amostra do “seu modelo”;

é a discrepância mínima da amostra do modelo “baseline”.

Medidas de Ajuste

Bom ajuste: CFI  1.


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Raiz do Erro Quadrático Médio de Aproximação (RMSEA)

em que .

  • Limites de Confiança de 90%:

e

com e obtidos através das equações:

e

Medidas de Ajuste


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Qui-quadrado Relativo

Qui-quadrado Padronizado

Medidas de Ajuste


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Critério da Informação de Akaike (AIC)

é a discrepância mínima da amostra do modelo prosposto;

é o número de parâmetros livres.

Critério da Informação de Bayes (BIC)

é o número de variáveis observadas.

Medidas de Ajuste


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Critério de Browne-Cudeck (BCC)

em que .

Critério da Informação de Akaike Consistente (CAIC)

Medidas de Ajuste


Ndices de modifica o

Índices de Modificação

  • MI : estatística do teste score – quantidade mínima esperada para decréscimo do qui-quadrado se o correspondente parâmetro fixado fosse considerado como livre.

  • EPC : estimatedparameterchanges

  • Estratégia: excluir parâmetros não significantes e incluir parâmetros a serem estimados no modelo, 1 a 1, pelo maior valor do MI.


Softwares

Softwares

  • LISREL

  • EQS

  • AMOS

  • CALIS

  • MPLUS

  • R lavaan


Exemplo 1

Exemplo 1

Stress em atletas de basquete

  • n = 123

  • Escala de 0 a 6

    0: não provoca stress

    Quanto maior, mais stress


Estado psicol gico

Estado psicológico

X1: Necessidade de sempre jogar bem

X2: Perder

X3: Auto cobrança exagerada

X4: Pensamentos negativos sobre sua carreira


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Jogo

X5: Perder jogo praticamente ganho

X6: Repetir os mesmos erros

X7: Cometer erros que provocam a derrota da equipe

X8: Adversário desleal

X9: Arbitragem prejudica você


Pessoas

Pessoas

X10: Falta de humildade de um companheiro de equipe

X11: Pessoas com pensamento negativo

X12: Companheiro desleal

X13: Diferenças de tratamento na equipe

X14: Falta de confiança por parte do técnico


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Estudo:

Um questionário foi aplicado a 36 agricultores familiares de Salto, ao norte de Uruguai.

Objetivo:

Avaliar a “estrutura financeiro-tecnológica” (EFT) e a “estrutura social e familiar” (ESF) dos agricultores.

Exemplo 2


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0 – manual

1 – mecânica

  • “tipo de fertilização”

0 – não possui

1 – possui

EFT

  • “veículo”

1 – mochila na mão

2 – mochila com motor

3 – pulverizador no trator

  • “tipo de dedetização”

  • “número de parentes”

0 – pai não trabalhou na horticultura

1 – pai trabalhou

  • “pai”

ESF

  • “trabalhadores permanentes”

Variáveis Observadas:


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Tipo de Fertilização = EFT +

Veículo = EFT +

Tipo de Dedetização = EFT +

Equações de Mensuração

Número de Parentes = ESF +

Pai = ESF +

Trabalhadores Permanentes = ESF +


Indicadores formativos defini o

Indicadores Formativos - definição

  • Direção Causal:o indicador formativo é definido por causar o construto e não ser causado por ele. Podemos dizer que esse comportamento é contrário ao usual.

Formativos Reflexivos


Exemplos de indicadores

Exemplos de indicadores

  • Reflexivo: “Número de vezes que uma criança tenta montar um quebra-cabeça até desistir” - efeito da variável latente “persistência”.

  • Formativo: “Número de participações em um comitê executivo” – causa a variável latente “experiência”.


Motiva es para o estudo dos indicadores formativos

Motivações para o estudo dos Indicadores Formativos

  • Desconhecimento do assunto: muitos usuários de modelos estruturais simplesmente desconhecem a existência e a forma de uso dos indicadores formativos.

  • Literatura escassa: são muito raros os trabalhos que têm como tema os indicadores formativos.

  • Uso incorreto: muitas vezes o indicador reflexivo não é apropriado, mas é usado.


Componentes da rela o causal

Componentes da relação causal

  • Definição: se tivermos duas variáveis, X e Y, isoladas de qualquer influência externa, e se a cada mudança em X, Y também sofre uma mudança, então dizemos que X causa Y

  • Isolamento: X e Y estão isolados de influências externas.

  • Associação: se X causa Y, deve haver associação entre X e Y.

  • Direção: X causa Y e não o contrário.


Qual a dire o da causa

Qual a direção da causa?

  • É comum, ao construirmos o diagrama de caminho, termos dúvida quanto à direção da causa

  • Exemplo:

    percepção da propaganda  intenção de compra

    outros fatores  intenção de compra 

    percepção da propaganda


M todos usuais de especifica o da dire o causal

Métodos usuais de especificação da direção causal

  • Precedência temporal: a variável que acontece primeiro no tempo é a causadora e a outra é a causa.

  • Experimentos mentais: imagina-se o que faz mais sentido, qual a direção da causa que é mais sensata.

  • Experimentos práticos: tenta-se isolar as variáveis o máximo possível e fazer uma delas sofrer uma variação para verificar se a outra também varia.


Implica es da dire o causal consist ncia interna

Implicações da direção causal:Consistência interna

  • Indicador reflexivo:os indicadores devem ser correlacionados entre si pois são causados pela mesma fonte. Isso é chamado consistência interna dos indicadores.

  • Indicador formativo:os indicadores não precisam ter qualquer relação entre si.


Multicolinearidade

Multicolinearidade

  • Indicador reflexivo:a multicolinearidade entre os indicadores é desejável pois além de fornecer indícios de que os indicadores são de fato causados por um mesmo construto, ela não causa problema algum.

  • Indicador formativo:a multicolinearidade pode existir ou não. Muita sobreposição entre os indicadores pode causar os mesmos problemas que temos em regressão.


Confiabilidade

Confiabilidade

  • Indicador reflexivo:existem métodos para se calcular a confiabilidade tratando os indicadores como um grupo, como no caso do Alfa de Cronbach.

  • Indicador formativo:os indicadores não formam um grupo, não existe um métodos amplamente aceito para se calcular a confiabilidade. Não tem sentido agrupar para verificar a consistência.


Representa o amostral do constructo

Representação amostral do constructo

  • Indicador reflexivo:teoricamente a ausência de um ou mais indicadores não é muito problemática, já que eles são correlacionados e os que estão no modelo trazem grande parte da informação dos que ficaram de fora.

  • Indicador formativo:a ausência de um indicador invalida o construto, visto que os indicadores formativos são variáveis exógenas, com causas desconhecidas na maioria das vezes, e por isso são teoricamente insubstituíveis.


Identifica o

Identificação

  • Principal fator que leva ao receio do uso dos indicadores formativos.

  • Um modelo é identificado se o sistema de equações  =  () tem apenas uma solução.

  • Var(Y1) = 1 + 2 -> não é Identificado.

  • Var(Y1) = 1 + 2 com a restrição 1 = 2 -> é identificado

  • A identificação de um modelo estrutural típico é difícil de ser provada. Mas há algumas regras úteis para se verificar a identificação do modelo. Às vezes são necessários métodos numéricos para verificar a identificação.


Regra da escala

Regra da escala

  • Toda variável latente precisa ter uma escala, o que é feito fixando-se o seu coeficiente ou sua variância.

  • Y =  + X +  -> O coeficiente de  é 1.


Regra t

Regra t

  • O número de parâmetros a serem estimados (t) deve ser menor ou igual o número de elementos diferentes na matriz de covariâncias -> p(p+1)/2, onde p = nº variáveis observadas .

3 Coeficientes + 4 variâcias = 7 parâmetros

4 variáveis observadas = 10 elementos diferentes na matriz .


Regra dos dois caminhos emitidos

Regra dos dois caminhos emitidos

  • Toda variável latente que tem indicadores formativos tem que emitir pelo menos dois caminhos e ambos devem levar a conjuntos de indicadores diferentes.

Neste modelo 2 emite dois caminhos, portanto ele obedece a regra dos dois caminhos emitidos.


Regra mimic

Regra MIMIC

  • Modelos do tipo MIMIC são modelos em que todas as variáveis latentes têm indicadores formativos e reflexivos ao mesmo tempo.

    1 – Cada variável latente deve afetar pelo menos dois indicadores reflexivos.

    2 – Cada variável latente deve ter pelo menos um indicador formativo.

    3 – A matriz de variâncias e covariâncias dos erros devem ser diagonais (erros não correlacionados).

    4 - O modelo que relaciona os indicadores formativos às variáveis latentes e as variáveis latentes entre si tem uma estrutura identificada.


Modelos n o identificados

Modelos não identificados

Modelo original não identificado

Modelo em sua Forma Parcialmente Reduzida (FPR)

Identificado


Modelos n o identificados1

Modelos não identificados

Modelo Original Não Identificado

Latente sem Erro

Forma Parcialmente Reduzida


Simula es objetivos

Simulações - objetivos

  • Estudar as consequências da especificação incorreta do indicador formativo como indicador reflexivo (o inverso é menos frequente).

  • Consequências de interesse:

  • Alterações nos valores dos coeficientes do modelo;

  • Alterações nos valores de outros parâmetros estimados do modelo;

  • Alterações no ajuste do modelo e na estatística qui-quadrado;

  • Indícios de que o modelo com indicadores reflexivos está incorreto.


M todo

Método

  • Foi utilizado o software SAS (PROC CALIS).

  • Os modelos estudados foram restritos aos do tipo MIMIC.

  • 1000 amostras (n=1000) que satisfazem um modelo formativo foram geradas e usadas para a estimação de um modelo reflexivo, como se o modelo correto para os dados estivesse especificado incorretamente.

  • As amostras foram previamente testadas ajustando-se a elas o modelo correto e confirmando o bom ajuste.

  • Finalmente as amostras foram ajustadas considerando-se o modelo incorreto e os valores médios dos parâmetros para as 1000 amostras foram considerados para a análise dos resultados.


Mimic 3 formativos e 3 reflexivos

MIMIC: 3 formativos e 3 reflexivos.

Modelo para a geração dos dados

Modelo para o ajuste


Ajuste do modelo correto

Ajuste do modelo correto

  • Estimativas: distribuição empírica simétrica, centrada no valor do parâmetro.

  • O histograma da distribuição acumulada empírica mostrou-se próximo da U(0,1) como esperado.

  • Embora os indicadores formativos tenham sido gerados sem correlação, na estimação do modelo foi incluída uma possível correlação (próxima de zero e não significante).


Distribui o da estat stica qui quadrado

Distribuição da estatísticaqui-quadrado


Ajuste do modelo correto1

Ajuste do modelo correto

Aprox. 5% dos modelos

foram rejeitados com

nível de significância

de 5%.

A estatística qui-quadrado

teve distribuição qui –quadrado aproximada

e sua média foi

em torno de 7.


Ajuste do modelo incorreto

Ajuste do modelo incorreto

O coeficiente do indicador incorretamente especificado e a variância do

erro da variável latente tiveram estimativas bem diferentes do valor

correto.


Ajuste do modelo incorreto1

Ajuste do modelo incorreto

O ajuste do modelo incorreto foi sempre muito ruim.

  • Valor médio do 2 = 144,9.

  • Mínimo valor do 2 = 83,7.

  • Desvio padrão do 2 = 22,7.

  • Todos os valores-p foram menores do que 0,00001 (rejeitando para todas as amostras).


Invertendo a rela o de causa entre x 2 e 1 e entre x 3 e 1

Invertendo a relação de causa entre X2 e 1 e entre X3 e 1


Re especifica o do modelo incorreto

Re-especificação do modelo incorreto

  • O índice de modificação aponta para a existência de uma correlação muito grande entre o erro de X1 (4) e o erro do constructo.

  • Maiores índices de modificação para covariâncias de X1, X2 e X3 com 4. Maiores resíduos também.

  • A inclusão dessa correlação no modelo por si só corrige o problema do mau ajuste.

  • O modelo reespecificado passa a ter um bom ajuste mas não é o modelo correto sob o qual os dados foram gerados.


Conclus o das simula es

Conclusão das simulações

  • A especificação incorreta faz o ajuste ser muito ruim.

  • A maior parte dos parâmetros são estimados corretamente.

  • O erro do constructo tem sua variância incorretamente estimada.

  • A re-especificação do modelo leva a um modelo de bom ajuste, mas incorreto.


Simula o mimic com indicadores formativos correlacionados

Simulação: MIMIC com indicadores formativos correlacionados

Modelo correto: média do 2 = 6,08

Simulação: a, b, c ~ N(0,1)

X1 = a

X2 = 1,5 X1 + b

X3 = 0,5 X2 + c

Mudança nas estimativas de 11, 12 e 13

(a variância 11foi pouco afetada)


Ajuste do modelo incorreto2

Ajuste do modelo incorreto


Outras simula es do modelo mimic

Outras simulações do modelo MIMIC

  • 3 indicadores formativos e 5 indicadores reflexivos.

  • 5 indicadores formativos e 3 indicadores reflexivos.

  • Com 2 constructos, sendo um sem indicadores formativos e causado pelo outro.

    Mesmas conclusões


Conclus es

Conclusões

  • A relação de causa nem sempre é estudada como deveria ao se postular um modelo estrutural;

  • A Análise Fatorial com seus indicadores reflexivos parece ser um padrão também adotado nos modelos estruturais;

  • Os modelos estruturais são muitas vezes utilizados com a direção causal incorretamente especificada;

  • A literatura especializada ainda é muito pobre na abordagem dos indicadores formativos;


Conclus es1

Conclusões

  • Vimos que há possibilidade de indicadores formativos estarem sendo incorretamente especificados, e na busca do bom ajuste, o modelo todo estar sendo re-especificado de forma incorreta.


Modelos de equa es estruturais l cia p barroso lbarroso@ime usp br1

Modelos de Equações EstruturaisLúcia P. [email protected]


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