Il lavoro

1. Il lavoro • Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo: L < 0 L > 0 d L = 0 d d F F F [L]=[F][L]=[ML-2T -2] S.I.: 1 Joule = 1 m2 kg s-2

2. Il lavoro • È una grandezza scalare • Indipendente dalla scelta degli assi coordinati

3. Applicazione: Lavoro ed energia Una persona traina una cassa di 50kg per 40 m lungo un pavimento orizzontale applicando una forza costante Fp=100N e agente con un angolo di 37o. Il pavimento è scabro ed esercita una Fatt=50N. Determinare il lavoro compiuto da ciascuna forza e il lavoro totale.

4. f g i Il Lavoro • Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo: • dividere il percorso in tratti infinitesimi in modo da poter considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto • Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti • Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti

5. Il Lavoro • Nel caso di più forze: Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere: positiva, negativo oppure nullo

6. Il lavoro della forza elastica B A Posizione di riposo F pForza esterna applicata F ksi oppone alla forza applicata (f. di richiamo) in verso tale da riportare la molla nella posizione di riposo

7. Il lavoro della forza elastica A B

8. Il lavoro dipende dal percorso?? y B 1 2 x A P

9. y B 2 1 x P A Il lavoro della forza peso 1 2

10. Le forze conservative e l’energia potenziale Iniziale Finale • Una forza si dice conservativa se: il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione A alla posizione B dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da A a B, né da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato. • Allora esiste una funzione U, energia potenziale della posizione del punto materiale P U(P) = U(x,y,z) tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, A e B, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale A meno quello che assume nel punto finale B. Per l’energia potenziale non esiste una espressione generale, ma essa dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce.!!

11. Il lavoro della forza elastica B A La forza elastica è una forza conservativa

12. Il Lavoro delle forze conservative Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo

13. Ancora sull’energia potenziale Considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio: costante Non è necessario specificare la traiettoria • Per derivare la funzione energia potenziale occorre: • Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po. • Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po. • Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.

14. Ancora sull’energia potenziale Per esempio per la forza peso: • Un punto arbitrario dello spazio Po. • Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale in Po. • Calcolare il lavoro effettuato dalla forza peso da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P. h U(P0)=0

15. Il lavoro della forza di attrito La forza di attrito statico fa un lavoro è nullo costante • Il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta • Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero La forza di attrito dinamico non è conservativa

16. Teorema dell’energia cinetica A B • Si definisce Energia cinetica della particella

17. Teorema delle forze vive • Teorema delle forze vive: la variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di Dr risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso. • L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente del fiume fa muovere le macine di un mulino!! [Ek]=[M][v2] S.I.: 1 m2 kg s-2 =1 Joule

18. Energia-Lavoro: riassumiamo • l’energia cinetica è una grandezza che caratterizza il punto materiale: dipende dallo stato di moto del corpo • I corpi possono scambiarsi energia: il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia. • Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice, concorde con il moto), allora Ek del punto materiale aumenta. Ossia: • l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale • il punto materiale ha acquisito Ek dall’ambiente esterno. • Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora Ek diminuisce. Ossia: • il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno • a spese della sua energia cinetica

19. Conservazione dell’energia Se agiscono solo forze conservative: + La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ET (energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.

20. Conservazione dell’energia generalizzata Se agiscono anche forze non conservative: + L’energia meccanica non resta costante ma la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.

21. Applicazioni : il pendolo. (Ec + U) Punto generico = (Ec + U) Punto più alto Nel punto più basso, la velocità è massima: U=mgl(1-cos ) Ec + U = costante

22. Piano inclinato La forza spostamento non produce lavoro ET si conserva !! Punto di partenza EC = 0 U=mgho Punto di arrivo EC = ½ mVf2 U = 0 Punto generico EC = ½ mV 2 U = mgh mgh0 = ½ mVf2 Vf =

23. Forza elastica F = -Kx Forza conservativa ETSi conserva!! Ec = 0 Punto più a destra U = ½ k X0 2 Punto più a sinistra Ec = 0 U = ½ k X0 2 Punto centrale Ec =1/2 mVo 2 U = 0

24. Forza elastica Punto generico Oppure

25. Il giro della morte Da quale altezza si deve partire per fare correttamente il giro? Se il corpo parte da un’altezza generica h, alla base V = 2 Perché il corpo possa arrivare in C 2 Attenzione:vc 0! 2

26. Il giro della morte VC0 Altrimenti il corpo si stacca!! Condizione limite: N si annulla in C. Nel punto C Conservazione dell’energia tra A e C

27. Potenza e lavoro • Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo Dt, si definisce potenza media nell’intervallo Dt il rapporto : • La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per Dt che tende a zero: Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3] Nel SI si misura in watt (W) Kilovattora come unità di misura del lavoro 1kwattora=3.6MJ

28. Ancora sull’energia potenziale Per le forze conservative La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa.

29. Ancora sull’energia potenziale In generale U(x,y,z) Esempio: U=mgz

30. Ancora sull’energia potenziale Forza peso U=mgz Percorso 1 : L = 0 Percorso 2 : L = mg(h2-h1) Percorso 3 : L = mg(h2-h1) Superficie a Z = cost. si chiama Superficie “equipotenziale”. La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.

31. Le curve di energia potenziale Forza elastica U=1/2 KX2 In generale F=-dU/dX se dU/dX=0 U=Max o min

32. Forze centrali • Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà: • per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale, • il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso. • la forza di gravitazione universale. • Forza di Coulomb • La forza elastica

33. Forze centrali: forze conservative dr La soluzione di questo integrale dipende solo da Energia potenziale

34. Quantità di moto • Quantità di moto: • (dipende dal sistema di riferimento scelto) p’ Δp F p1 Se la m è costante Posiamo definire la forza anche come la rapidità di variazione con il tempo della quantità di moto

35. L’impulso e teorema dell’impulso impulso di una forza:J Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante che agisce su una particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto della particella in quell’intervallo di tempo.

37. Conservazione della quantità di moto Se Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale è costante, ossia la quantità di moto si conserva.

38. Momento Angolare per un punto materiale Moti Traslatori Conservazione della quantità di moto!! Moti Rotatori Momento angolare di una particella rispetto ad O O Sia xy il piano individuato dai vettori r e p

39. Momento angolare O braccio di p rispetto ad O ossia la distanza della retta di azione di p rispetto ad O

40. Applicazione.. Una particella di massa 13.7 g è in moto alla velocità costante di 380 m/s. La traiettoria rettilinea della particella passa a distanza di 12 cm dall’origine. Si calcoli il momento angolare della particella rispetto all’origine. O

41. Momento angolare ed il momento angolare torcente Il momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.

42. Teorema del momento dell’impulso Se la forza è applicata per un tempo t breve r è praticamete costante: Teorema del momentodell’impulso: la variazionedimomentoangolare è uguale al momentodell’impulsoapplicato al punto.

43. Conservazione del momento angolare costante Il momentoangolaredi un puntomateriale è costantenel tempo (ossiasiconserva) se ilmomentodelleforze è nullo.

44. y x O y x O Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale • Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo. La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli • Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante • Direzione: Il moto è un moto piano • Verso: La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario • Modulo: La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali.