Selamat datang dalam kuliah terbuka ini
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 28

Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini PowerPoint PPT Presentation


  • 92 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini. Kuliah terbuka kali ini berjudul “ Pilihan Topik Matematika -II”. Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui www.darpublic.com. Sesi 3. Integral Tak Tentu Integral Tentu. 1. Integral Tak Tentu. Pengertian-Pengertian.

Download Presentation

Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

SelamatDatangDalamKuliah Terbuka Ini


Kuliah terbuka kali ini berjudul pilihan topik matematika ii

Kuliahterbuka kali iniberjudul“PilihanTopikMatematika -II”


Disajikan oleh sudaryatno sudirham melalui www darpublic com

DisajikanolehSudaryatno Sudirhammelaluiwww.darpublic.com


Sesi 3

Sesi 3

  • Integral Tak Tentu

  • Integral Tentu


1 integral tak tentu

1. Integral TakTentu

Pengertian-Pengertian

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi xsepertiini disebut persamaan diferensial.

Contohpersamaan diferensial


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Tinjaupersamaan diferensial

Karena

maka

Suatu fungsidikatakan merupakansolusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi

fungsijugamerupakan solusi


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

dapatdituliskan

Integrasiruaskiridanruaskananmemberikansecara umum

Jadi integral dari diferensial suatu fungsiadalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentudi mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Contoh:

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahubahwa

oleh karena itu


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Contoh:

Carilah solusi persamaan

kelompokkan peubah sehinggaruaskiridankananmengandungpeubahberbeda

Jika kedua ruas diintegrasi


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstantaK.

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

3. Jika bilangan n1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

100

100

K3

50

50

K2

yi= 10x2+Ki

y = 10x2

K1

y

y

-5

-3

-1

1

3

5

-5

-3

-1

1

3

5

x

x

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.

kurva

kurva

adalah kurva bernilai tunggal

adalah kurva bernilai banyak


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Posisibendapada waktu t = 0adalah; tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Contoh:

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

kecepatanpercepatanwaktu

.

Kondisiawal: pada t = 0, s0 = 3

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Luas Sebagai Suatu Integral

Contoh:

Apx

Apx

y

y = f(x) =2

2

x

0

p x x+x q

atau

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

atau


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang

f(x+x)

y

f(x)

y = f(x)

x

0

p x x+x q

Apx

Apx

Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

Apx = f(x)xatau Apx = f(x+x)x

x0adalah suatu nilai x yang

terletak antara x dan x+x

Jika x 0:


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

y

y

y = f(x)

y = f(x)

x

x

0

0

p x2xkxk+1xnq

p x2xkxk+1xnq

y

y = f(x)

x

0

p x2xkxk+1xnq

2. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

Bidangdibagidalamsegmen-segmen

Luasbidangdihitungsebagaijumlahluassegmen

Ada duapendekatandalammenghitungluassegmen

Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk)xk

Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk+x)xk


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

y

y = f(x)

Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk)xk

Luastiapsegmendihitungsebagaif(xk+x)xk

x

0

p x2xkxk+1xnq

y

y = f(x)

x

0

p x2xkxk+1xnq

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1maka

Jikaxk 0 ketigajumlahinimendekatisuatunilai limit yang sama

Nilai limit itumerupakan integral tentu


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

y

y = f(x)

x

0

p x2xkxk+1xnq

Luasbidangmenjadi


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

20

10

x

0

-

4

-

3

-

2

-

1

0

1

2

3

4

-

10

-

20

LuasBidang

Definisi

Apxadalah luas bidang yang dibatasi olehy=f(x)dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Luasantaray = x3 – 12xdan sumbu-x

darix = 3 sampai x = +3.

Contoh:


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x

y

y = f(x)

A2

p

A4

A3

q

x

A1


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

berada di atas

Rentang

dibagi dalam n segmen

jumlah semua segmen:

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

y

y1

x

x+x

x

q

0

p

y2

Apx

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Jika

dan

dan

Jika

y2

4

y

y2

di atas

y1

y1

x

2

0

-2

-1

0

1

2

Contoh:

berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3.

Contoh:

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

dan

Jika

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

4

y

y1

2

0

x

-2

-1

0

1

2

y2

-2

-4

y1 di atasy2

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Penerapan Integral

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Contoh:

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

yang memberikan

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Contoh:

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 tampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampait = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Volume Sebagai Suatu Integral

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.

Balok

Jika A(x)adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah

Volume balok V adalah

x

luas rata-rata irisan antara A(x)dan A(x+x).

Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:

Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

P

y

x

Q

O

x

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

m: kemiringan garis OP

h : jarak O-Q.

Jikagaris OP memotongsumbu-ymakadiperolehkerucutterpotong


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

f(x)

y

0 a

x

b

x

f3(x)

f2(x)

y

f1(x)

0 a

x

b

x

Rotasi Bidang Sembarang

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di sampingini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.


Selamat datang dalam kuliah terbuka ini

Kuliah Terbuka

PilihanTopikMatematika II

Sesi 3

SudaryatnoSudirham


  • Login