2. Matrixs

1. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Матрицы и определители.Элементарные преобразования матрицы. Определители 2-го и 3-го порядка.

2. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Матрицейназывается прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде: или, сокращенно, , где , m – строки, (т.е. ) – номер столбца.

3. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называют ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла в правый нижний, образуют главную диагональ. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. , если , где , . Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей -го порядка. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой .

4. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Пример 1 - единичная матрица 3-го порядка. - единичная матрица -го порядка.

5. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой и имеет вид:

6. Раздел 1. Основы линейной алгебры. В матричном исчислении матрицы и играют роль чисел 0 и 1 варифметике. Матрица, содержащая один столбец или одну строку,называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строкасоответственно). Их вид: , .

7. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этимчислом, т. е. есть 5. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается. Так, если , то , если , то . Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .

8. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Действия над матрицами. Операция сложения матрицы вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц и называется матрица , такая, что . Записывают . Пример 2 Аналогично определяется разность матриц.

9. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Разностью двух матриц и называется матрица , такая, что . Записывают . Пример 3

10. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Произведением матрицы на число называется матрица такая, что Пример 4 Матрица называется противоположной матрице .

11. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Разность матриц можно определить так: Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: Где – матрицы, – числа.

12. Раздел 1. Основы линейной алгебры. К элементарным преобразованиям матриц относят: • перестановку местами двух параллельных рядов матрицы; • умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; • прибавление ко всем элементам  ряда матрицы соответствующих элементов параллельного  ряда, умноженных на одно и то же число.  Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается .

13. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.Такие матрицы называются согласованными Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , где т.е. элемент i–й строки и k – го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i–й строки матрицы на соответствующие элементы k – го столбца матрицы В.

14. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Получение элемента схематично изображается так: Если матрицы квадратные и одного размера, то произведения всегда существуют. Легко показать, что , где – квадратная матрица, – единичная матрица того же размера.

15. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Пример 5 , . Тогда произведение не определено, т.к. число столбцов матрицы A(3) не совпадает с числом строк матрицы В(2). При этом определённо произведение , которое считают следующим образом: Матрицы называются перестановочными, если

16. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Умножение матриц обладает следующими свойствами: Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:

17. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Определители. Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число , называемое её определителем, следующим образом: . .

18. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако, известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков (1,2,3) желательно уметь вычислять согласно определению. Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

19. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Пример 6.Найти определители матриц: и Решение: .

20. Раздел 1. Основы линейной алгебры. При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно изобразить так:

21. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Пример 7.Вычислить определитель матрицы: Решение:

22. Раздел 1. Основы линейной алгебры. Пример 8. Вычислить определитель матрицы: .