Fibonacci ( 1175 circa – 1240 circa)

1. Fibonacci(1175 circa – 1240 circa) Luciano Zazzetti

2. Ma chi era? • Leonardo Pisano, detto Fibonacci • Assimilò le conoscenze matematiche del mondo arabo • Pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi • Nel 1225 L’imperatore del Sacro Romano Impero Federico II si recò a Pisa con un gruppo di matematici per metterlo alla prova e gli pose il seguente problema “Trovare il quadrato di un numero che rimanga un quadrato sia che venga diminuito e sia che venga aumentato di 5”Fibonacci dopo averci pensato un po’ trovò il numero [soluzione] Luciano Zazzetti

3. Fibonacci e… la serie di Fibonacci Nel “Liber Abaci”, poneva il seguente problema matematico: “Se una coppia di conigli rimane isolata, quanti conigli nasceranno nel corso di un anno, ammesso che ogni mese una coppia di conigli ne produca un'altra coppia, e che i conigli incomincino a partorire due mesi dopo la propria nascita?" Luciano Zazzetti

4. La serie di Fibonacci • I termini della successione sono 1,1,2,3,5,8,13,21,… • Come si ottiene un termine della successione senza mettersi a disegnare moltitudini (greggi? mandrie?) di conigli? • Ciascun termine è la somma dei due precedenti! • Al 12° mese si avranno quindi 377 conigli Luciano Zazzetti

5. Alcune proprietà della serie di Fibonacci • F1+F2+F3+…+Fn=Fn+2-1Es. sommando i primi 6 termini si ottiene il termine 8 meno 1, cioè 1+1+2+3+5+8=20 (l’ottavo termine è 21) • F12+F22+F32+…+Fn2=Fn x Fn+1 • Fn2 – Fn-1 x Fn+1 = ± 1 • F1+F3+F5+…+F2n-1= F2n • F2+F4+F6+…+F2n= F2n+1 – 1 • Nel triangolo di Tartaglia la somma dei numeri su una diagonale è un termine della serie di Fibonacci Luciano Zazzetti

6. La serie di Fibonacci e la sezione aurea • Riscriviamo ancora i primi termini e calcoliamo il rapporto tra ciascun termine ed il suo precedente Luciano Zazzetti

7. La sezione aurea • I geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi linea data in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. La divisione della linea era detta sezione aurea, il rapporto proporzionale era la proporzione divina, e il numero con cui era possibile esprimere tale rapporto era il numero aureo o aurea mediocrità. In altre parole, l'intera linea è circa 1,618034 volte più lunga del segmento più lungo, e il segmento più lungo è circa 1,618034 più lungo del segmento più corto. Luciano Zazzetti

8. Sezione aurea 2 • Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei rettangoli aurei - rettangoli cioè in cui il rapporto fra il lato lungo e quello corto è il numero aureo. Essi ritenevano che quella figura fosse gradita all'anima. Se da uno spigolo di rettangolo aureo si taglia un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e la facciata dei templi . Il Partenone, sull'Acropoli di Atene, si conforma a questa regola. Luciano Zazzetti

9. Sezione aurea 3 • Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri umani erano costruiti secondo la proporzione divina. L'ombelico di una statua, per esempio, divideva l'altezza del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due segmenti dello stesso genere. Gli occhi, infine, dividevano in maniera analoga la testa Luciano Zazzetti

10. Sezione aurea 4 La si ritrova: • Nelle partiture musicali (il tempo sostituisce lo spazio) • In natura: parecchie varietà di comuni organismi marini, dal plancton alle lumache al nautilo, presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie. La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali auree, inducendo i costruttori navali a dare la stessa forma alle ancore. Anche la maggior parte delle corna, delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea, così come fanno le braccia a spirale della Via Lattea e di molte altre galassie. Luciano Zazzetti

11. Spirale aurea Partendo da un rettangolo aureo e tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo. L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei. Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro" Luciano Zazzetti

12. La serie di Fibonacci in natura • In molte specie vegetali, prime fra tutte le Astaracee (girasoli, margherite, ecc.), il numero dei petali di ogni fiore è di solito un numero di Fibonacci, come 5, 13, 55 o perfino 377, come nel caso della diaccola. • Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l'esterno - una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci - per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell'altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell'altro. • Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas. • Su molti tipi di alberi le foglie sono allineate secondo uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima. a seconda delle specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l'ottava o la tredicesima foglia. Luciano Zazzetti

13. Esempi La distribuzione a spirale dei semi di un girasole. La spirale più interna rossa è costituita da 55 semi, in quella più esterna verde se ne contano 89. Ogni dieci semi si trova una marcatura bianca. Luciano Zazzetti

14. Esempi Una pianta illustra che ciascun livello successivo è spesso basato sulla sequenza di Fibonacci. Luciano Zazzetti

15. Esempi Se si taglia trasversalmente un frutto oppure un ortaggio spesso si trovano simmetrie di ordine corrispondente ai numeri della serie di Fibonacci (3 nella banana e 5 nella mela Luciano Zazzetti

16. Esempi La successione di Fibonacci si ritrova di frequente anche nel campo animale costituendo un utile riferimento anche per lo studio di canoni artistici grazie al particolare rapporto anche con la sezione aurea. Le proporzioni dell'indice della mano evidenziano le relazioni tra gli elementi della sua struttura ossea Luciano Zazzetti

17. Fibonacci e la borsa • Secondo Elliott (inizio ‘900) l’universo è regolato da leggi naturali ben definite, il principio di base che regola lo sviluppo di ogni forma di vita e di ogni fenomeno è quello della crescita secondo un ordine prestabilito che Elliott credette rintracciare nella serie di Fibonacci • Questa legge della natura che lui classifica con una ciclicità associata alla serie Fibonacci caratterizza tutti gli eventi della terra, dove ad ogni azione corrisponde una reazione in modo costante ed immutabile. Questa è la regola principale vuol dire che ad ogni salita corrisponde una discesa. • Egli considerava la borsa ed i mercati in generale, un fenomeno di tipo puramente psicologico, dove le valutazioni delle aziende quotate non rispecchiavano le reali condizioni patrimoniali od i fattori politici e sociali, ma solo le reazioni che aveva l’uomo al manifestarsi di questi eventi. Luciano Zazzetti

18. Le onde di Elliott La teoria si basa su onde di impulso alternate da onde di correzione. Guardando il trend avremo 5 onde nel trend principale (1 2 3 4 5 ) e 3 onde nel trend secondario (A B C) che correggono il movimento del trend principale. Le onde 1,3,5 sono onde di impulso del trend principale, mentre la 2 e la 4 sono onde di correzione sempre del trend principale Il movimento viene corretto da un movimento secondario che sarà contro il trend principale che era quello rialzista e sarà il movimento correttivo, verrà giù con un’onda A, tornerà su con una B per fare un nuovo minimo in C. E da qui inizierà un nuovo ciclo. Luciano Zazzetti

19. Elliott e Fibonacci • Elliott notò che in un periodo di 80 anni il mercato si era mosso al rialzo in una serie di cinque onde e quindi era declinato in una serie di tre onde. Concluse che un singolo ciclo comprendeva otto onde (3, 5, 8 naturalmente sono…) • Senza entrare nei dettagli: i rapporti tra le varie ‘altezze’ delle onde dipendono dal rapporto aureo che a sua volta… Luciano Zazzetti

20. Ma allora… “Fibonacci spiega tutto”? A guardar bene… • Molte grandi opere d'arte non hanno nessun rapporto apparente con la proporzione aurea; • In natura troviamo che alcuni dei fenomeni citati non sono che manifestazioni occasionali o approssimative della spirale aurea o della sequenza di Fibonacci. Luciano Zazzetti