関数の初歩としての倍概念－分数の乗法を目指す教材系列－日本カリキュラム学会第 25 回（関西大学）大会 2014 年 6 月 29 日 10:50 ～ 11 ： 15 自由研究発表　 C103

関数の初歩としての倍概念－分数の乗法を目指す教材系列－日本カリキュラム学会第25回（関西大学）大会2014年6月29日10:50～11：15自由研究発表　C103関数の初歩としての倍概念－分数の乗法を目指す教材系列－日本カリキュラム学会第25回（関西大学）大会2014年6月29日10:50～11：15自由研究発表　C103 正　田　　　良国士舘大学文学部

関数の初歩としての倍概念発表概要 倍操作を含む関数の初歩を、小学校の算数の中に正統に（意識的に）、かつ、系統的に（数学的にも、認識論的にも）扱うことを提案する。　　分数の乗法は、単元の導入とねらいとが乖離する。子どもにとって、実は授業者にとっても、量を表す数を扱っていたはずが、知らないうちに、倍操作という数に比べて抽象度が高いものを扱わされている。この抽象化は、分数を扱っている途中で無自覚に行われるべきものではない。　　その倍操作が関わる授業書のプランについて、DIMEプロジェクト（1980年代のスコットランドの草の根の教材開発）を参考にしたものを例に提案する。

１．分数の乗法の教えにくさ

道草学習のすすめ　　～公的カリキュラムへの挑戦！～より(「分数の割り算」での検索)道草学習のすすめ　　～公的カリキュラムへの挑戦！～より(「分数の割り算」での検索) 　　ジブリの映画で「おもひでぽろぽろ」という映画がある。主人公のタエコが回想シーンの中でリンゴをフォークでつつきながら「３分の１を４分の１で割るっていうのは…」とつぶやく印象的なシーンがある。　それに対して、タエコの姉は「ひっくり返して、掛ければいいのよ。ほら、こうして」と答える。　だけど、タエコは納得できないのだ。「えっ、だけど、リンゴ３分の１を４分の１で割るんでしょ。だから、リンゴはうんと小さくなって‥‥。どうして増えちゃうのよ」　しかし、算数の得意な姉は続ける。「そんなこと考えなくていいの、ひっくり返せば…」と。このような思いをだれもが一度か二度、抱いたことがあるのではないだろうか。 http://blog.livedoor.jp/yoursong2005/archives/50621680.html

２.　帯分数と仮分数の対立 • 分数の定義　　　 • 括線の上と下で分けること（約分での便宜）筆算を教える際にも、位を揃えて、くりあがりなどがしやすいようにという、形式を工夫することの「よさ」を教えている

（配布資料にはありませんが、予稿集によってこのページを補います）（分数×分数）の前に関数の初歩を取り込む（配布資料にはありませんが、予稿集によってこのページを補います）（分数×分数）の前に関数の初歩を取り込む • 分数を掛けるということを、数を掛けるのではなく、整数倍操作と等分操作の合成としてとらえられるようにする。 • 被乗数に対する操作を、旗の図のような図として、形にする。

３.「倍概念」への注目 「倍」は小学校２年生では、何個分の言い換えとしての意味しか持たない。しかし学年を経るにつれ、関数の初歩としての意味を取り込んでいく。藤枝美智子（1983）は、「倍は、もともと関数なのです。ですから量×量の乗法の意味がわかり使いこなせるようになってから、5，6年生あたりでとりあげた方がよいのです。」

４．関数を表す半具体物 関数は、物－（量に注目）→　数－（数と数の関係に注目）→　　関数－（　関数の関係に注目）→　関数の演算子の抽象度系列の途中（礒田正美、1987）。教具論：松下佳代(1985) ［具体物］－［準具体物］－［半具体物］－［記号］ここでの準具体物としては、具体物との形態的類似性を持つものとして、半具体物としては、記号との統辞体系の共通性が求められる。

以下、少し具体的に小石を並べます 授業書を作成する試みについては、須田・酒井（2002）に啓発されることが大きかった。須田・酒井は「単位分数」を基軸のひとつとしているが、ここでは、「関数の初歩」としての四則という立場から、「倍」と「等分」とし、単位分数は、「倍」と「等分」の合成の中での退化型として扱った。

旗の入れ替えと置き換えから、商分数へ

分数の乗法までに行っておきたい内容

授業書全体の構想（その１）

授業書全体の構想（その２）

授業書全体の構想（その3）

学習指導計画の提案と標準的な時間配当と比較学習指導計画の提案と標準的な時間配当と比較

引用参考文献など • 藤枝美智子（1983）「かけ算の導入」日本教職員組合（編）『さんすうの授業　第１階梯』一ッ橋書房､pp.149‐181。 • 礒田正美（1987）「関数の思考水準とその指導についての研究」『日本数学教育学会誌』第69巻第3号，pp.2-12。 • 松下(野中）佳代(1985)「教具の構成に関する一考察」『教育方法学研究』第11巻。 • 須田勝彦・酒井義信（2002）「学習プリント『倍と分布』と授業記録」『教授学の探究』, 19: 25-75（HSCAPhttp://hdl.handle.net/2115/13629） • 正田　良（1989）『DIME授業書による楽しい数学』明治図書。また、今回作成した授業書に関しては、二ノ宮夏奈・秋葉真子（国士舘大学文学部初等教育専攻学生）との議論に負うところが大きい。ここに記して謝意を表する。

連絡先など 正　田　　　良（しょうだ　りょう） 154-8515　世田谷区世田谷4-28-1　　国士舘大学文学部初等教育専攻 rio@kokushikan.ac.jp この電子ファイルは、私のホームページの中の、「学会での発表」 http://kks-el01.sakura.ne.jp/ACD/index.htm　に当分の間おくつもりです。ご清聴ありがとうございました。

関数の初歩としての倍概念－分数の乗法を目指す教材系列－日本カリキュラム学会第 25 回（関西大学）大会 2014 年 6 月 29 日 10:50 ～ 11 ： 15 自由研究発表　 C103