Lógica Auto-epistémica

1. Lógica Auto-epistémica • Proposta por Moore (1985) • Contempla reflecção sobre conhecimento próprio (auto-epistémico) • Permite falar não só do mundo exterior, como também do conhecimento que tenho dele.

2. Sintaxe de AEL • Lógica de 1ª ordem, mais operador L (aplicado a formúlas) • Lj significa “sei j” • Exemplos: lugar →L lugar (ou  L lugar → lugar) jovem(X) Lestuda (X) → estuda (X)

3. Significado de AEL • O que é que sei? • Aquilo que consigo derivar (em todos os modelos) • E o que é que não sei? • Aquilo que não consigo derivar • Mas aquilo que se deriva depende do que sei • Adiocinar conhecimento, e depois testar

4. Semântica AEL • T* é expansão de teoria T sse T* = Th(T{Lj : T* |= j}  {Lj : T* |≠j}) • Assumindo a regra de inferência j/Lj : T* = CnAEL(T  {Lj : T* |≠j}) • Uma teoria AEL é sempre a dois valores em L, ou seja, para toda a expansão: j | Lj T* Lj T*

5. Conhecimento vs. Crenças • Crenças é um conceito mais fraco • Para toda a fórmula, ou sei ou não sei • Podem haver fórmulas em que não acredito, nem no seu contrário • Lógica auto-epistémica de conhecimento e crenças (AELB), introduz também operador B j – acredito em j.

6. Exemplo AELB • Alugo filme se acredito que nem vou ao baseball nem ao futebol Bbaseball Bfutebol → alugar_filme • Não compro bilhetes se não sei que vou ao baseball nem sei que vou ao futebol  Lbaseball  Lfutebol → comprar_bilhetes • Vou ao futebol ou ao baseball baseball  futebol • Não devo concluir que alugo filme, mas concluo que não compro bilhetes

7. Axiomas sobre crenças • Axioma da consistência B • Axioma de normalidade B(F → G) → (B F →B G) • Regra de necessitação F B F

8. Modelos minimais • Em que é que eu acredito? • Naquilo que faz parte de todos os modelos preferidos • Quais os modelos preferidos? • Os que para um mesmo conjunto de crenças, tem um número mínimo de coisas verdadeiras • Um modelo M é minimal sse não existe modelo menor N, coincidente com M em átomos Bj e Lj • Se j é verdadeiro em todos os modelos minimais de T, escrevo T |=minj

9. Expansões AELB • T* é expansão estática de T sse T* = CnAELB(T  {Lj : T* |≠j}  {Bj : T* |=minj}) onde CnAELB denota o fecho usando os axiomas de AELB mais a necessitação para L

10. Caso particular de AEB • Pelas suas propriedades, o caso de teorias sem operador de conhecimento é especialmente interessante. • Nesse caso, a definição de expansão fica: T* = YT(T*) onde YT(T*) = CnAEB(T  {Bj : T* |=minj}) e CnAEB denota o fecho usando os axiomas de AEB

11. Menor expansão • Teorema: O operador Y é monotónico, i.e. T  T1 T2→YT(T1) YT(T2) • Logo existe sempre uma expansão mínima de T, que se pode obter por indução transfinita: • T0 = CnAEB(T) • Ti+1 = YT(Ti) • Tb = Ua < b Ta (para ordinais limite b)

12. Consequências • Toda a teoria AEB tem pelo menos uma expansão • Se a teoria é afirmativa (i.e. todas as cláusulas têm pelo menos um literal positivo) então tem pelo menos uma expansão consistente. • Há procedimento para calcular a semântica